2025-2026学年浙江省杭州市高考临考冲刺数学试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年浙江省杭州市高考临考冲刺数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了一个四棱锥的三视图如图所示等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．2
4．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A．9B．10C．18D．20
6．在正方体中，点、分别为、的中点，过点作平面使平面，平面若直线平面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．
A．B．C．D．
9．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．0B．4C．D．
10．中，角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙
D．甲的六大素养中数据分析最差
12．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆，，若椭圆上存在点使得为等边三角形（为原点），则椭圆的离心率为_________．
14．已知函数，则________；满足的的取值范围为________.
15． “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______.
16．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点.
（1）若平面，证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
18．（12分）如图，在三棱锥中，，是的中点，点在上，平面，平面平面，为锐角三角形，求证：
（1）是的中点；
（2）平面平面.
19．（12分）已知圆外有一点，过点作直线．
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．
20．（12分）购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示
.
（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取人，记对购车补贴金额的心理预期值高于万元的人数为，求的分布列和数学期望；
（3）统计最近个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：
试预计该品牌汽车在年月份的销售量约为多少万辆？
附：对于一组样本数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
21．（12分）等差数列的前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列{}的前项和为，求使成立的的最小值．
22．（10分）设函数，是函数的导数.
（1）若，证明在区间上没有零点；
（2）在上恒成立，求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.
【详解】
实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示：
将线性目标函数化为，
则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，；
当经过时，截距最大值，，
所以线性目标函数的取值范围为，
故选：B.
本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.
2．A
【解析】
首先求出样本空间样本点为个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
样本空间样本点为个，
具体分析如下：
记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，
有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．
剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是，
但合并计算时会有重复，重复数量为，
事件的样本点数为：个．
故不同的样本点数为8个，.
故选：A
本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题
3．B
【解析】
首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.
【详解】
根据圆柱的三视图以及其本身的特征，
将圆柱的侧面展开图平铺,
可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，
所以所求的最短路径的长度为，故选B.
点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.
4．D
【解析】
分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.
【详解】
设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.
本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.
5．B
【解析】
由已知可得函数f（x）的周期与对称轴，函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）图象在上交点的个数，作出函数f（x）与g（x）的图象如图，数形结合即可得到答案.
【详解】
函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）图象在上交点的个数，
由f（x）＝f （2﹣x），得函数f（x）图象关于x＝1对称，
∵f（x）为偶函数，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函数周期为2.
又∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，且f（x）为偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，
g（x），
作出函数f（x）与g（x）的图象如图：
由图可知，两函数图象共10个交点，
即函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数为10.
故选：B.
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题.
6．B
【解析】
作出图形，设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，推导出，由线面平行的性质定理可得出，可得出点为的中点，同理可得出点为的中点，结合中位线的性质可求得的值.
【详解】
如下图所示：
设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，
四边形为正方形，、分别为、的中点，则且，
四边形为平行四边形，且，
且，且，则四边形为平行四边形，
，平面，则存在直线平面，使得，
若平面，则平面，又平面，则平面，
此时，平面为平面，直线不可能与平面平行，
所以，平面，，平面，
平面，平面平面，，
，所以，四边形为平行四边形，可得，
为的中点，同理可证为的中点，，，因此，.
故选：B.
本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7．B
【解析】
分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．
【详解】
如下图所示，
分别取、的中点、，连接、、，
由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，，
，且、分别为、的中点，所以，，所以，，所以二面角的平面角为，
，则，且，所以，，，
是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，同理可知，的外心为点，
分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示，
由图形可知，，
在中，，，
所以，，
所以，球的半径为，因此，球的表面积为.
故选：B.
本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．
8．A
【解析】
作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.
【详解】
根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，，
平面，且，
∴，，，，
∴这个四棱锥中最长棱的长度是．
故选．
本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．
9．A
【解析】
令，进而求得，再转化为函数的最值问题即可求解.
【详解】
∵∴（），∴，
令：，，在上增，
且，所以在上减，在上增，
所以，所以的最小值为0.故选：A
本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示和是本题的关键，属于中档题.
10．A
【解析】
先求出，由正弦定理求得，然后由面积公式计算．
【详解】
由题意，
．
由得，
．
故选：A．
本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解．
11．C
【解析】
根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.
【详解】
根据雷达图得到如下数据：
由数据可知选C.
本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.
12．D
【解析】
先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.
故选：D
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据题意求出点N的坐标，将其代入椭圆的方程，求出参数m的值，再根据离心率的定义求值.
【详解】
由题意得，
将其代入椭圆方程得，
所以.
故答案为：.
本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题.
14．
【解析】
首先由分段函数的解析式代入求值即可得到，分和两种情况讨论可得；
【详解】
解：因为，
所以，
∵，
∴当时，满足题意，∴；
当时，由，
解得.综合可知：满足的的取值范围为.
故答案为：；.
本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.
15．
【解析】
用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得.
【详解】
由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为.
故答案为：
本题考查随机事件的概率，是基础题.
16．{5}
【解析】
易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）因为，利用线面平行的判定定理可证出平面，利用点线面的位置关系，得出和，由于底面，利用线面垂直的性质，得出
，且，最后结合线面垂直的判定定理得出平面，即可证出平面.
（2）由（1）可知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，标出点坐标，运用空间向量坐标运算求出所需向量，分别求出平面和平面的法向量，最后利用空间二面角公式，即可求出的余弦值.
【详解】
（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，所以可设平面平面，
又因为平面，所以.
因为平面，平面，
所以，从而得.
因为底面，所以.
因为，所以.
因为，所以平面.
综上，平面.
（2）解：由（1）可得，，两两垂直，以为原点，，，所在
直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
则，，，，
所以，，，.
设是平面的法向量，
由取
取，得.
设是平面的法向量，
由得
取，得，
所以，
即的余弦值为.
本题考查线面垂直的判定和空间二面角的计算，还运用线面平行的性质、线面垂直的判定定理、点线面的位置关系、空间向量的坐标运算等，同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
（1）推导出，由是的中点，能证明是有中点．
（2）作于点，推导出平面，从而，由，能证明平面，由此能证明平面平面．
【详解】
证明：（1）在三棱锥中，
平面，平面平面，
平面，
，
在中，是的中点，是有中点．
（2）在三棱锥中，是锐角三角形，
在中，可作于点，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，，
，，
平面，
平面，平面平面．
本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
19．（1）或（2）．
【解析】
(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;
(2)先求出直线方程，然后求得圆心与直线的距离,由弦长公式即可得出答案.
【详解】
解: (1)由题意可得,直线与圆相切
当斜率不存在时，直线的方程为,满足题意
当斜率存在时，设直线的方程为,即
∴,解得
∴直线的方程为
∴直线的方程为或
(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为
圆心到直线的距离为
∴弦长为
本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.
20．（1）1.7；（2），见解析；（2）2.
【解析】
（1）平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和；
（2）易得，由二项分布列的期望公式计算；
（3）利用所给公式计算出回归直线即可解决.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为
，所以方差的估计
值为
；
（2）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的
频率为，则，所以的分布列为
，数学期望；
（3）将 2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为 1，2，3，4，5，
记 ，，，，，，由 散 点 图可知，
5组样本数据呈线性相关关系，因为，，，
，则，，
所以回归直线方程为，当时，，预计该品
牌汽车在年月份的销售量约为2万辆.
本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用，是一个概率与统计的综合题，本题是一道中档题.
21．（1）；（2）的最小值为19.
【解析】
（1）根据条件列方程组求出首项、公差，即可写出等差数列的通项公式；
（2）根据等差数列前n项和化简，利用裂项相消法求和，解不等式即可求解.
【详解】
(1)等差数列的公差设为，，，
可得，，
解得，，
则；
(2)，
，
前n项和为
，
即，
可得，即，
则的最小值为19.
本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，裂项相消法求和，属于中档题
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出，再由函数的导数可知，
函数在上单调递增，在上单调递减，而，，可知在区间上恒成立，即在区间上没有零点；
（2）由题意可将转化为，构造函数，
利用导数讨论研究其在上的单调性，由，即可求出的取值范围．
【详解】
（1）若，则，，
设，则，，
，故函数是奇函数．
当时，，，这时，
又函数是奇函数，所以当时，.
综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.
又，，
故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点.
（2），由，所以恒成立，
若，则，设，
.
故当时，，又，所以当时，，满足题意；
当时，有，与条件矛盾，舍去；
当时，令，则，
又，故在区间上有无穷多个零点，
设最小的零点为，
则当时，，因此在上单调递增.
，所以.
于是，当时，，得，与条件矛盾.
故的取值范围是.
本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．
月份
销售量（万辆）
数学抽象
逻辑推理
数学建模
直观想象
数学运算
数据分析
甲
4
5
4
5
4
5
乙
3
4
3
3
5
4