2026年江苏省连云港市高考临考冲刺数学试卷（含答案解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．5B．10C．15D．20
2．已知向量，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，则的值等于（ ）
A．2018B．1009C．1010D．2020
5．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题：
①在抛物线上满足条件的点仅有一个；
②若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；
③无论过点的直线在什么位置，总有；
④若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上.
其中所有正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）
A．20B．24C．25D．26
7．已知底面为边长为的正方形，侧棱长为的直四棱柱中，是上底面上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）
①与点距离为的点形成一条曲线，则该曲线的长度是；
②若面，则与面所成角的正切值取值范围是；
③若，则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为.
A．B．C．D．
8．执行程序框图，则输出的数值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（ ）
A．B．C．D．
10．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A．2B．3C．4D．1
11．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
12．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．9B．27C．81D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.
14．在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是______.
15． “”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）
16．在中，已知，，是边的垂直平分线上的一点，则__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线：（为参数），曲线（为参数）．
（1）设与相交于，两点，求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．
18．（12分）设椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点D在椭圆C上， 的周长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆上任意一点P作圆E的切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：为定值.
19．（12分）在中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值．
20．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
21．（12分）曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.
22．（10分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
利用等差通项，设出和，然后，直接求解即可
【详解】
令，则，，∴，，∴.
本题考查等差数列的求和问题，属于基础题
2．C
【解析】
求出，进而可求,即能求出向量夹角.
【详解】
解：由题意知，. 则
所以，则向量与的夹角为.
故选:C.
本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式 进行计算.
3．D
【解析】
由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式.
【详解】
由图象可得，函数的最小正周期为，.
将点代入函数的解析式得，得，
，，则，，
因此，.
故选：D.
本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
4．C
【解析】
首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可．
【详解】
解： ．
，
，
的周期为，
，， ，，
．
．
故选：C
本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．
5．C
【解析】
①：由抛物线的定义可知，从而可求 的坐标；②：做关于准线的对称点为，通过分析可知当三点共线时取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值；③：设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求，从而可判断出的关系；④：计算直线 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点在同一条直线上.
【详解】
解：对于①，设，由抛物线的方程得，则， 故，
所以或，所以满足条件的点有二个，故①不正确；
对于②，不妨设，则关于准线的对称点为，
故，
当且仅当三点共线时等号成立，故②正确；
对于③，由题意知， ，且的斜率不为0，则设方程为：，
设与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为，
，整理得，则，所以
，
则
.故的倾斜角互补，所以，故③正确.
对于④，由题意知 ，由③知，
则 ，由，
知，即三点在同一条直线上，故④正确.
故选:C.
本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.
6．D
【解析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.
【详解】
混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），
故选：D.
本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.
7．C
【解析】
①与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，利用弧长公式，可得结论；②当在（或时，与面所成角（或的正切值为最小，当在时，与面所成角的正切值为最大，可得正切值取值范围是；③设，，，则，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和．
【详解】
如图：
①错误， 因为 ，与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，长度为；
②正确，因为面面，所以点必须在面对角线上运动，当在（或）时，与面所成角（或）的正切值为最小（为下底面面对角线的交点），当在时，与面所成角的正切值为最大，所以正切值取值范围是；
③正确，设，则，即，在前后、左右、上下面上的正投影长分别为，，，所以六个面上的正投影长度之，当且仅当在时取等号.
故选：.
本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．
8．C
【解析】
由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.
【详解】
，，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，不满足条件，
输出.
故选：C
本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.
9．B
【解析】
先根据复数的乘法计算出，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.
【详解】
由，所以其共轭复数.
故选：B.
本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.
10．B
【解析】
将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.
【详解】
根据实际问题可以转化为等比数列问题，
在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．
因为，解得，，解得．故选B．
本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.
11．C
【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.
【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.
综上所述，年纪最大的是丙
故选：C.
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
12．A
【解析】
根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值.
【详解】
设等比数列的公比为q.
由，得，解得或.
因为.且数列递增，所以.
又，解得，
故.
故选：A
本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长．
【详解】
抛物线E: 的准线为，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得，所以圆心的坐标为，半径为5，则圆心到准线的距离为1，
所以弦长．
本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式．
14．
【解析】
利用等体积法求解点到平面的距离
【详解】
由题在长方体中，，
，
所以，所以，
设点到平面的距离为
，解得
故答案为：
此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.
15．充分不必要
【解析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.
【详解】
由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要
本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.
16．
【解析】
作出图形，设点为线段的中点，可得出且，进而可计算出的值.
【详解】
设点为线段的中点，则，，
，
.
故答案为：.
本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）．
【解析】
(1)将直线和曲线化为普通方程，联立直线和曲线，可得交点坐标，可得的值；
（2）可得曲线的参数方程，利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案.
【详解】
解：（1）直线的普通方程为，的普通方程．
联立方程组，解得与的交点为，，则．
（2）曲线的参数方程为（为参数），故点的坐标为，
从而点到直线的距离是，
由此当时，取得最小值，且最小值为．
本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等，属于中档题.
18．（1）（2）见解析
【解析】
(1) 由，周长,解得,即可求得标准方程.
(2)通过特殊情况的斜率不存在时,求得,再证明的斜率存在时,即可证得为定值.通过设直线的方程为与椭圆方程联立,借助韦达定理求得,利用直线与圆相切,即,求得的关系代入,化简即可证得即可证得结论.
【详解】
（1）由题意得，周长，且.
联立解得，，所以椭圆C的标准方程为.
（2）①当直线l的斜率不存在时，不妨设其方程为，
则，
所以，即.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为，并设，
由，
，，
由直线l与圆E相切，得.
所以
.
从而，即.
综合上述，得为定值.
本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生计算求解能力,难度较难.
19． (1) ;(2) .
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以 ．
进而得到角A；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到，联立两式得到．
解析：
（I）因为，所以，
由正弦定理，
得．
又因为 ，，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
（II）由，得，
由余弦定理，
得，
即，
因为，
解得 .
因为 ，
所以 .
20．（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理，证得底面，由此证得，结合证得平面，由此证得：平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴
∵平面底面，平面底面，
∴底面平面，∴
又由题意可知为正方形，
又，∴平面
平面，∴平面平面
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，由已知，得，
设平面的法向量为，则
令，则，
∴
由（1）知平面的法向量可取为
∴
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21．（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）
【解析】
(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.
(2)解法1：设直线的倾斜角为，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得，再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；
解法2：设直线的极坐标方程为，分别代入曲线，的极坐标方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.
【详解】
(1) 由题曲线的参数方程为（为参数），消去参数，
可得曲线的直角坐标方程为，即，
则曲线的极坐标方程为，即，
又因为曲线的极坐标方程为，即，
根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程.
(2)解法1：设直线的倾斜角为，
则直线的参数方程为（为参数，），
把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，
解得，，，
把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，
解得，，，
，
，即，，，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
解法2：设直线的极坐标方程为），
代入曲线的极坐标方程，得，，
把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得：，
，即，，
曲线的参，即，
，，，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
22．（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.
【解析】
（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.
【详解】
（1），
当时，，在上单调递增；
当时，，，，，
∴在上单调递减，在上单调递增；
当时，，，，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知：
当时，，∴成立.
当时，，
，∴.
当时，
，
，∴，即.
综上.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.