江苏省G4联考（南师大附中、天一中学、海安中学、海门中学）2026届高三下学期四月调研测试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份江苏省G4联考（南师大附中、天一中学、海安中学、海门中学）2026届高三下学期四月调研测试数学试卷含解析（word版+pdf版），文件包含十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类教师版docx、十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 空间中两条直线 ,则 “ ” 是 “ 与 相交” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】 时, 可为异面直线， 与 相交; 与 相交时,夹角可不为 与 相交 , 既不充分也不必要条件.
2. 在集合 中随机取一个数 ,在集合 中随机取一个数 ,复数 ,则在 为虚数的条件下 为纯虚数的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 为虚数 ,此时 ,共 3 种; 为纯虚数 ,共 1 种, .
3.函数 大致图象可能是
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】 为奇函数,图象关于原点对称,排除 CD 时,
令 在 上单调递减, 有且仅有一个零点, 有且仅有一个极值点 .
4.已知直线 是函数 图象的对称轴,则 的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,
. 又 .
5.已知圆锥的顶点为 ,底面圆心为 为圆锥的母线, , 且二面角 的大小为 ,则圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取 中点 ,则
二面角 为
.
6.记等比数列 的前 项和为 ,若 ,且 ,则正整数 的值为
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】A
【解析】等比数列 中,若 ,则 ,此时 或 -1 (舍), .
7.一位速算大师事前贴出的广告说，他能当着大家的面在几秒钟之内把一个几十位数的几十次方根迅速算出来. 当然, 涉及的全体数都是整数. 某个观众准备的题目是 “计算一个 35 位整数的 31 次方根 ", 魔术师很快就给出正确答案, 事实上魔术师仅用了部分数的常用对数近似值 (如下表).
那么, 观众准备的题目的正确答案为
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】A
【解析】设 35 位整数为 ,其 31 次方根为 (整数),则 ,35 位整数满足 ,即 .
8.点 在以 为焦点的椭圆 上,若 , 且 ,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一: ,则
,则
.
方法二: 且 .
.
且 .
在 中,由正弦定理得 .
由椭圆定义得 .
.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法中正确的是
A. 一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第 60 百分位数为 4
B. 两个随机变量的线性相关程度越强,则样本相关系数 的绝对值越接近于 1
C. 根据分类变量 与 的成对样本数据,计算得到 ,根据小概率值 的 独立性检验: ,可判断 与 有关联,此推断犯错误的概率不超过 0.5%
D. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
【答案】BC
【解析】 ,故第 60 百分位数为第 5 个数 5, A 错误;
线性相关程度越强, 越接近 正确;
,故判断 与 有关联,犯错误的概率不超过 , 正确;
,关于 对称, ,
, D 错误.
10.设函数 . 若方程 有三个不等的实数根 ,且 ,则
A. 是函数 的极大值点 B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】方法一: 或 在 单调递增, 单调递减， 单调递增， 在 处取极大值， 对.
有三个根,
则 对.
有三个根 ,即 有三个根, 而 , D 对.
方法二: ,
时, 时, 时, ,
是 的极大值点, 正确;
,方程 有三个不等实根, 正确;
取 ,则 ,
为一根, ,
, C 错误;
由函数单调性及 得 ,又 , ,且 , 即 ，D 正确.
11.已知圆 过抛物线 上的两点 ，则
A. 圆 的面积存在最大值
B. 若线段 为圆 的直径，则圆 与抛物线 的准线相离
C. 若圆 与抛物线 还有另外两个交点 ,则 的纵坐标之和为 4
D. 当圆 与抛物线 仅有三个公共点时,圆 面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】 在抛物线上, ,抛物线 ,以 为直径的圆的面积最小, 无最大值, A 错.
以 为直径的圆,圆心 ,半径 到准线的距离 ,
此时圆 与准线相离, 对.
设圆 在圆上，则 , ,
圆 与 联立
消去 可得 ,
即
则 对.
圆与抛物线仅有三公共点, 说明四次方程 (*) 有二重根
时二重根时,则 (*) 有四个根 ,圆与抛物线没有三个交点
是二重根时,另一个根为 12,另一个点
对.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在 的展开式中 的系数为________.
【答案】25
【解析】 . 的系数为 .
13.已知过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 ，则直线 的斜率为_______.
【答案】
【解析】设 ,
代入椭圆得
由 得 ,
14.设 一般地, ,其中 ,则 的零点个数为________.
【答案】2028
【解析】
作出 的大致图象如下:
共有 3 个实根
作出 的大致图象如下
共有 4 个实根
作出 的大致图象如下
共有 5 个实根
共 6 个实根,
,以此类推 共有 2028 个实根 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中,角 的对边分别为 . 且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)已知 在 边上，且满足 ，求 的长 .
【解析】(1) ，即 ， ， .
(2) .
16.袋中装有大小相同的 2 个白球、 2 个红球和 1 个黄球，且规定白球、红球和黄球的分值分别是 0 分、 1 分和 2 分. 一项游戏的每一局设置为:在袋中取出三
个球,计算完得分后将球放回袋中. 若出现第 局得 分的情况就算游戏过关,同时游戏结束. 若四局过后仍未过关. 也结束游戏. (其中 )
(1)求在一局游戏中得 3 分的概率;
(2)求游戏结束时所用局数 的分布列和数学期望 .
【解析】(1)在一局中得 3 分说明取到 1 白, 1 红, 1 黄所求概率 .
(2) 的所有可能取值为1,2,3,4
每局得 1 分的概率为: ,每局得 2 分的概率为
每局得 3 分的概率为: ,每局得 4 分的概率为
的分布列如下:
17.如图，已知四棱锥 的底面 是边长为 2 的菱形， ， 平面 是 的中点， 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，
①求直线 与平面 所成角的正弦值；
②平面 将四棱锥 分成两部分，求较小部分的体积.
【解析】
(1)证明:取 中点 ，连接 ，
为 的中点， ，
四边形 为平行四边形,
平面 平面 平面 .
(2)① ， 四边形 为正方形，如图建系.
设平面 的一个法向量为 ,直线 与平面 所成角为
.
②延长 交 的延长线于点 ,连接 交 于点 ，
易知
.
18.已知 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，若 恒成立，求 的最小值；
( 3 ) 已知当 时，存在 ，使得函数 有三个零点 ,且 成等差数列,求 的值.
【解析】(1)
① 当 时， 在 上单调递增；
② 当 时，令
且当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
(2) 对 恒成立
当 时,
当 时, ,下证: ,
即证: ,令
在 上单调递减; 上单调递增; 上单调递减
注意到 对 恒成立
对 恒成立, 的最小值为 1 .
(3) ,若 ,则 在 上单调递增, 至多一个零点, 至多两个零点,舍去,
有一个零点为 0
在 上单调递减; 上单调递增要使 有三个零点,首先
注意到 时,
在 和 上各有一个零点 ,且 在 上单调递增; 上单调递减; 上单调递增,作出 大致草图如下:
要使 有三个零点 (其中 ),
则必有 成等差数列,
由
.
19.已知一簇双曲线 ，当 时，双曲线 右顶点为 . 现按照如下规则依次构造点 : 过点 作 轴的垂线交第一象限的渐近线于点 ,再过点 作 轴的平行线与曲线 的右支交于点 . 记点 坐标为 .
(1)求点 的坐标；
(2)双曲线 的左焦点为 ，右焦点为 ，记 ，求 的值;
(3)设 为射线 与 轴正半轴的夹角，已知 ，存在实数 ，使得对任意 ,不等式 均成立,求 的最小值.
【解析】 (1) ,双曲线的第一象限的渐近线方程为: ,将 代入
(2) ，而
而 时,
而 也满足上式, ,
(3) 它关于
单调递增,
当 取遍所有正整数时, 的终边不能落在图中阴影处 (含边界)
即 的任意两条终边所夹的角 .
① 若 是 的整数倍，即
当 取 时, 有且仅有 条不重合的终边,这 条终边等分圆周
相邻两条终边所夹的角为
要使 取最小值取
例如此时取 ,对 恒成立,符合
② 当 不是 的整数倍，当 取遍所有正整数时， 的终边都不重合存在无数条不同的终边,总有一条落在图中阴影区域,舍去, .11
12
13
14
15
16
17
18
1.04
1.08
1.11
1.15
1.18
1.20
1.23
1.26
1
2
3
4