江苏省南京师范大学附属中学、海安中学、天一中学、海门中学G4联考2026届高三上学期12月测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省南京师范大学附属中学、海安中学、天一中学、海门中学G4联考2026届高三上学期12月测试数学试卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了6B， 已知双曲线， 设复数，满足，，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等差数列公差d不为0，若,,成等比数列，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4 随机变量，且，则（ ）
A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3
5. 在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 先将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将图象上的所有点向左平移个单位；所得图象的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
8. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记的面积为，的面积为.若双曲线的离心率为，，则（ ）
A. 3B. 2C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设复数，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，D是AC的中点，则（ ）
A. B. 的面积为
C. D.
11. 我们知道圆锥曲线的名称源于用平面截圆锥面所得的截线.已知圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，过底面的一条直径作一个与底面夹角为的平面，在圆锥侧面上形成的截线记为.则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，为双曲线的一部分
B. 当时，存在一种建系方式，使得符合方程
C. 当时，与底面直径围成的图形面积小于
D. 当时，的离心率大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为______.
13. 已知，，则______.
14. 一个几何体T垂直投影到平面上，形成图形S，我们就称S为T在平面上的正投影.在长方体中，，，，AD，的中点分别是E，F，G，则平面EFG截长方体所得截面的边数为______；长方体在平面EFG上的正投影的面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 数列中，，，.
（1）证明：是等差数列；
（2）设，求.
16. 为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
（1）对照列联表，能否有99.9%的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？
（2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望.
附：，.
17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，.
（1）求证：平面PAD：
（2）设点G是重心.
（i）求直线GB与平面PBD所成角的正弦值；
（ii）设平面，求.
18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，为的左、右顶点.
（1）求的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线分别交轴于两点.
（i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）当面积取最大值时，求的值.
19. 已知、，函数，.
（1）求在处切线的斜率；
（2）对任意，都有，求的取值范围；
（3）若，使得，求证：.
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A
解析：可化为，
解得，所以，
而，所以．
故选：A．
2. C
解析：因，，成等比数列，则，
即，化简得，
又，则.
故选：C.
3. B
解析：取，此时满足，但不满足；
反之，若，则，又，故，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. D
解析：因为随机变量，则，
且，则，
所以.
故选：D.
5. B
解析：
由梯形ABCD中，，可得，
即，则，
因为，，所以，
故选：B.
6. D
解析：将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数；再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是的图象．
故选：D.
7. A
解析：由是奇函数可知：，
再令得：，
又因为当时，，所以，
再令得：，又因为是偶函数，所以，
即可得，又因为，所以，
再令得：，所以，
又因为当时，，所以，
即当时，，则，
故选：A.
8. C
解析：因双曲线的离心率为，不妨设，则，
则双曲线的方程为，
因过点的直线的斜率，则可设其方程为，
代入，整理得，
由，可得，且，
设，则，
由题意，，即，
代入①，化简得，再代入②，可得，
化简计算得，因，则，故，则符合题意.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BC
解析：对于A，假设， 则，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，设，则，
又，，故C正确，
对于D，假设时，，，，故D错误.
故选：BC.
10. ACD
解析：对于A，已知，所以，
也即，
所以可得，又，故，故A正确；
对于B，，
又由正弦定理，，可得，
所以，
又，所以，
所以，也即，又，
解得，所以，故B错误；
对于C，因为，，所以，
又，当且仅当时取等号，
故，也即，故C正确；
对于D，D是AC中点，所以，
因为，所以，
当且仅当时取等号，
所以，故D正确．
故选：ACD．
11. BCD
解析：如下图建立空间直角坐标系，截面与圆锥侧面交线上的一点，与轴截面一边交于点，是底面的直径，则，圆锥的高为，
其中截面上构建以为原点，分别为轴的直角坐标系，且，
令且，是在底面上的投影，则，故，
圆锥被平行于底面的平面截得的截面是圆，假设是该圆与截线的一个交点，
该圆离底面高为时，截面圆的半径，而点的高度是，则
所以，且到圆锥轴的距离为，
综上，，整理得，即为在截面上的轨迹方程，
A：当时，，即，所以，即两条直线，错；
B：当时，，则（应用换元法可化为形式），对；
C：当时，，则为椭圆的一部分，
当，则，不妨令，
当，则（负值舍），则，
该椭圆的一部分在半径为1的圆内，故其面积小于，对；
D：当时，，则为半椭圆，
所以，则离心率为，对.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
解析：圆 的圆心为 ，半径为 ，
与 轴相切时，圆心到 轴的距离等于半径，即 ，所以 ，
圆在 轴上截得的弦长即为圆与直线 相交所得弦的长度，
圆心到直线 的距离为 ，半径 ，
弦长为 ，
因此，这个圆截 轴所得的弦长为 .
故答案为：
13.
解析：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
故答案为：
14. ①. 6 ②. 3
解析：如图，记直线分别与直线交于点，连接，并延长与直线交于点.
则由三点均是平面与平面的公共点，所以三点共线.
易知均是平面与平面的公共点 .
连接，分别交棱于点.
连接，则六边形为平面截长方体所得的截面.
所以平面截长方体所得截面的边数为.
如图以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则.
所以.
所以.
设平面的一个法向量是.
则，所以
令，则. 所以平面的一个法向量.
易知平面，平面，平面的法向量分别为.
所以平面，平面，平面与平面的夹角的余弦值分别为
，，.
所以平面，平面，平面在平面上的投影面积分别为
.
所以长方体在平面上的正投影的面积为.
故答案为：①6，②3
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）对任意的，，
等式两边同时除以得，即，
又，所以是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，所以，
因为，则，
对任意的，，
所以.
16. （1）提出假设：关注“苏超”赛事与性别无关，
，则假设不成立，
所以有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关.
（2）关注赛事市民中，男性150人，女性75人，
由分层抽样知，抽取男性市民人，女性市民人，
的取值为，
，
，
，
所以.
17. （1）在中，由余弦定理得，
即，则，可知，
因为平面ABCD，平面ABCD，则，
且，平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD.
（2）（ⅰ）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，，，，
因为G是的重心，则，
可得，，
设平面PBD的法向量为，则，
令，则，，可得，
则，
所以直线GB与平面PBD所成角的正弦值为；
（ⅱ）设，则，
法一：因为平面PBD，且，不共线，
所以存在实数m，n，使得，
可得，解得，所以；
法二：由（ⅰ）知平面PBD的法向量为，
则，解得，
所以.
18. （1）由已知，，解得，
所以C的方程为；
（2）（i）设过点的直线，
由，消去x得，
，，
，，
由（1）知，
则直线，，
直线，，
，
所以存在，使得；
（ii）法一：，
，
因为，所以，
，
因为M在第一象限，所以，
令，
，
令，解得或，
在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取最大值，所以.
法二：，
，
设，，
所以，
令，
，
令，解得或，
因为，所以，
所以存在唯一的，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以当时取最大值，所以.
法三：设，则，所以，
直线，
由，得，
，
令，
，
令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值，
所以.
19. （1）对函数求导得，
所以，所以在处切线的斜率为.
（2）方法一：因为即对成立，所以，
令，
所以，
令得，可得，
当时，，，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
当时，由可得，解得，
由可得，解得，
所以函数在上递减，在上递增，
故的极小值为，
故当时，只需，可得，解得，此时.
综上：；
方法二：由即，
先证，令，可得，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即.
下证：当时，，
，
令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以成立，
当时，，
综上.
（3）因为，所以，
即，
方法一：表示原点与直线上一点距离的平方，
所以，即，
当时，构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数，当时，，此时，
当时，，故，
综上所述，当时，；
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，即，即.
由（2）知，
故当时，，
故；
方法二：设，，
因，
所以，
即，
所以，即.
当时，构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数，当时，，此时，
当时，，故，
综上所述，当时，；
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，即，即.
由（2）知，
故当时，，
故.
性别
不关注赛事
关注赛事
合计
男性
25
150
175
女性
50
75
125
合计
75
225
300
0.01
0.005
0.001
6.635
7879
10.828
X
0
1
2
P