2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高一上学期第二学段检测考试数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高一上学期第二学段检测考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】写出，，根据补集含义得出答案.

【详解】由题意得，，.

故选：C.

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义，利用基本不等式定理与举特例判断可得．

【详解】解：当时，有；

当时，有成立，

综上，“”是“”的充分不必要条件，

故选：A．

3．函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由复合函数的单调性求解，

【详解】由题意得定义域为，

的单调递减区间即为的单调递增区间，

故选：C

4．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.

【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，

所以解得：.

故选：A.

5．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】A

【分析】由已知确定函数的周期，利用周期性和奇偶性进行求解.

【详解】∵为上的偶函数，∴，

又当时，，

∴，

当时，，

∴.

故选：A.

6．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）参考数据：

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】近似化简，结合对数运算求得正确答案.

【详解】，令，两边同时取常用对数得，

∴，∴，结合选项知与最接近的数为.

故选：C.

7．设，且，则的最小值为（    ）

A．7 B．6 C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.

【详解】因为，，，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：C.

8．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】解：因为，

当时函数单调递减，且，

当时函数单调递减，且，

所以函数在上是单调递减，

所以不等式等价于，解得．

即不等式的解集为；

故选：C

二、多选题

9．下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据奇函数的定义即可逐一选项求解.

【详解】对于A,的定义域为R,关于原点对称，而，为偶函数，

对于B,的定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，

对于C，的定义域为R，关于原点对称，且，为奇函数，

对于D,的定义域为R，关于原点对称，而，不是奇函数，

故选：BC

10．下列函数中，与函数不是同一个函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.

【详解】解：的定义域为．

对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；

对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；

对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；

对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．

故选：ACD．

11．已知函数在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】AB

【分析】探讨分段函数的单调性，再根据给定条件求出m的取值范围即可判断作答.

【详解】当时，函数是单调递减的，，，

当时，是单调递增的，，，

因函数在R上存在最小值，则当且仅当，解得，

所以实数m的可能取值为-1，0.

故选：AB

12．已知关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】考虑和两种情况，不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可.

【详解】当时，不等式，即，，A满足；

当时，，即，

当时，；

当时，不等式无解；

当时，，B满足.

故选：AB.

三、填空题

13．函数的零点是___．

【答案】8

【分析】根据零点定义解方程可得.

【详解】由得，解得，即的零点为8.

故答案为：8

14．若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．

【答案】；

【分析】设这两个角的弧度数分别为，，先将 化为弧度，然后由条件可得方程，解出方程可得到答案.

【详解】设这两个角的弧度数分别为，，，因为，

所以，则，即这两个角的弧度数分别为，．

故答案为：，

15．已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．

【答案】

【分析】根据对数型函数的性质，结合幂函数的定义进行求解即可.

【详解】因为，所以，设幂函数，

因为幂函数 的图象经过，

所以，

因此，

故答案为：

16．若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用复合函数单调性的原则进行计算即可.

【详解】由函数在区间上是单调增函数，只需

函数在上是单调增函数，且当时恒成立，所以满足解得．

故答案为：

四、解答题

17．已知.

(1)写出与角终边相同的角的集合；

(2)写出在内与角终边相同的角.

【答案】(1)

(2)，，

【分析】（1）根据任意角的定义，即旋转周期，可得答案.

（2）由（1）结论，可得，解出的值，即可得到答案.

【详解】（1）与角终边相同的角的集合为.

（2）令，得.

又，∴k=-2，-1，0，

∴在内与角终边相同的角是，，.

18．已知函数是奇函数．

(1)求的值；

(2)已知，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由求出参数值，再检验即可；

（2）先判断函数的单调性，然后根据单调性列出不等式求解即可．

【详解】（1）函数的定义域为，又因为是奇函数，

则，解得；

经检验，故成立；

（2）因为

对任意，有

所以在上单调递增

又，所以

解得

19．某地为践习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，使森林面积的年平均增长率为，且年后森林的面积为亩．参考数据：，

(1)列出与的函数解析式并写出函数的定义域；

(2)为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林多少年？

【答案】(1)，

(2)使森林面积至少达到亩至少需要植树造林14年.

【分析】（1）根据题意列出解析式，然后确定定义域即可；（2）由题可知，然后计算出的值，进一位取整数即可，注意不能四舍五入.

【详解】（1）由题意可知，即，其定义域为；

（2）由题可知，得

化简可得，所以

得

所以使森林面积至少达到亩至少需要植树造林14年.

20．已知对数函数（且）．

(1)若对数函数的图像经过点，求的值；

(2)若对数函数在区间上的最大值比最小值大2，求的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）已知对数函数的图像经过点，将此点代入函数即可求出的值；

（2）对数函数在区间上的最大值比最小值大2，分类讨论，时函数的单调性，并求出最大值与最小值，列出方程即可求出的值.

【详解】（1）解：若对数函数的图像经过点，则，

，即.

（2）解：当时，在上是增函数，

，，

因为最大值比最小值大2，

所以，解得；

当时，在上是减函数，

，，

则，

，

综上或.

21．已知函数是偶函数.当时，.

(1)求函数在上的解析式；

(2)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由函数的奇偶性即可求出函数在上的解析式

（2）由函数在区间上具有单调性，结合函数图像即可求出实数a的取值范围.

【详解】（1）由题意

在中，当时，

设，则，

∴，

∵为偶函数，

∴，

综上，有

；

（2）由题意及（1）得

作出的图像如下图所示：

∵函数在区间上具有单调性，

由图可得或，

解得或；

∴实数a的取值范围是

22．已知函数.

(1)判断的奇偶性；

(2)若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.

【答案】(1)为奇函数

(2)

【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，

（2）将问题等价转化为在区间上有两个不同的实数根，构造函数，数形结合即可求解.

【详解】（1）为奇函数，理由如下：

由题意得，解得，

即函数的定义域为，故定义域关于原点对称.

又，

故为奇函数.

（2）由，

得，

所以，

所以，

故方程有两个不同的实数根可转化为方程

在区间上有两个不同的实数根，

即函数与在区间上的图像有两个交点.

设，，

则，.

作出函数，的图像如图所示.

当时，函数与，的图像有两个交点，

即关于x的方程有两个不同的实数根，

故实数a的取值范围是.