2026届辽宁省铁岭市高三下学期联考数学试题（含答案解析）

这是一份2026届辽宁省铁岭市高三下学期联考数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了函数的图象大致是，设集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）．
A．B．C．D．
2．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关
C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列
3．已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
4．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A．
B．
C．
D．
5．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．函数的图象大致是( )
A．B．
C．D．
7．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
9．已知，椭圆的方程，双曲线的方程为，和的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
10．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．
11．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式的展开式中项的系数为_____．
14．展开式中项的系数是__________
15．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______.
16．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱锥中，，是的中点，点在上，平面，平面平面，为锐角三角形，求证：
（1）是的中点；
（2）平面平面.
18．（12分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．
19．（12分）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，丄底面.
（1）证明：平面平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.
20．（12分）如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥．
（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）若平面．
①求二面角的大小；
②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值．
21．（12分）在如图所示的多面体中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，且， ，
（1）若分别为，的中点，求证：平面；
（2）若，与平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值．
22．（10分）已知函数．
（1）解不等式；
（2）若函数存在零点，求的求值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.
【详解】
因为终边上有一点，所以，
故选：B
此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.
2．D
【解析】
由折线图逐项分析即可求解
【详解】
选项，显然正确；
对于，，选项正确；
1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.
故选：D
本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题
3．C
【解析】
根据题意，知当时，，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.
【详解】
解：由于在区间有三个零点，，，
当时，，
∴由对称轴可知，满足，
即.
同理，满足，即，
∴，，
所以最小正周期为：.
故选：C.
本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.
4．B
【解析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．
【详解】
因为该程序图是计算值的一个程序框圈
所以共循环了5次
所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，
即判断框内的不等式应为或
所以选C
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．
5．A
【解析】
解出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】
因为，又，所以.
故选：A.
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
6．B
【解析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.
【详解】
设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.
本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.
7．C
【解析】
根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，
由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，
即函数为偶函数，由，得，
函数在区间上单调递增，则，得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题.
8．D
【解析】
根据题意，求出集合A，进而求出集合和，分析选项即可得到答案.
【详解】
根据题意，
则
故选：D
此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,
9．A
【解析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合和的离心率之积为，即可得的关系，进而得双曲线的离心率方程.
【详解】
椭圆的方程，双曲线的方程为，
则椭圆离心率，双曲线的离心率，
由和的离心率之积为，
即，
解得，
所以渐近线方程为，
化简可得，
故选：A.
本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.
10．D
【解析】
将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得的值.
【详解】
∵
所以展开式中的系数为，
∴解得.
故选：D.
本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.
11．A
【解析】
结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】
由，则，所以；而
当，则，解得或.所以
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.
12．C
【解析】
需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，
，结合比值与正切二倍角公式化简即可
【详解】
如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，
所以，，，，
所以.
故选：C
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．15
【解析】
由题得，，令，解得，代入可得展开式中含x6项的系数.
【详解】
由题得，，令，解得，
所以二项式的展开式中项的系数为.
故答案为：15
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.
14．-20
【解析】
根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解．
【详解】
解：展开式中项的系数：
二项式由通项公式
当时，项的系数是，
当时，项的系数是，
故的系数为；
故答案为：
本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题．
15．
【解析】
先根据茎叶图求出平均数和中位数，然后可得结果.
【详解】
剩下的四个数为83，85，87，95，且这四个数的平均数，这四个数的中位数为，则所剩数据的平均数与中位数的差为.
本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.
16．2
【解析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值．
【详解】
二项式的展开式中的通项公式为，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
（1）推导出，由是的中点，能证明是有中点．
（2）作于点，推导出平面，从而，由，能证明平面，由此能证明平面平面．
【详解】
证明：（1）在三棱锥中，
平面，平面平面，
平面，
，
在中，是的中点，是有中点．
（2）在三棱锥中，是锐角三角形，
在中，可作于点，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，，
，，
平面，
平面，平面平面．
本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
18． (Ⅰ). (Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先计算其逆事件，即人都认为不很幸福的概率，再用减去人都认为不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量，列出分布列，根据公式求出期望即可．
【详解】
(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福
(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为
；；
；
所以随机变量的分布列为：
所以的期望
本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型．
19．（1）见证明；（2）
【解析】
（1）先证明等腰梯形中，然后证明，即可得到丄平面，从而可证明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如图的空间坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，由可得到答案．
【详解】
（1）证明：在等腰梯形，，
易得
在中，，
则有，故，
又平面，平面，，
即平面，故平面丄平面.
（2）在梯形中，设，
，，
，而,
即，.
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图的空间坐标系，则，，
设平面的法向量为，
由得，
取，得，，
同理可求得平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为.
本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题．
20．Ⅰ详见解析；Ⅱ①，②或．
【解析】
Ⅰ可以通过已知证明出平面PAB，这样就可以证明出；
Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC的法向量为、平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积，求出二面角的大小；
求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出的值.
【详解】
证明：Ⅰ在图1中，，，
为平行四边形，，
，，
当沿AD折起时，，，即，，
又，平面PAB，
又平面PAB，．
解：Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD
则0，，0，，1，，0，，1，
1，，1，，0，，
设平面PBC的法向量为y，，
则，取，得0，，
设平面PCD的法向量b，，
则，取，得1，，
设二面角的大小为，可知为钝角，
则，．
二面角的大小为．
设AM与面PBC所成角为，
0，，1，，，，
平面PBC的法向量0，，
直线AM与平面PBC所成的角为，
，
解得或．
【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.
21． (1)见解析(2)
【解析】
试题分析：（1）第（1）问，转化成证明平面 ,再转化成证明和.(2)第（2）问，先利用几何法找到与平面所成角，再根据与平面所成角的正弦值为求出再建立空间直角坐标系，求出二面角的余弦值.
试题解析：
（1）连接,因为四边形为菱形，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.
又平面，所以.
因为，所以.
因为，所以平面.
因为分别为，的中点，所以，所以平面
（2）设，由（1）得平面.
由，，得，.
过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，，如图所示，
又，所以为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，故平面.
因为为平行四边形，所以，所以平面.
又因为，所以平面.
因为，所以平面平面.
由（1），得平面，所以平面，所以.
因为，所以平面，所以是与平面所成角.
因为，，所以平面，平面，因为，所以平面平面.
所以，，解得.
在梯形中，易证，分别以，，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，，，
由，及，得，所以，，.
设平面的一个法向量为，由得令，得m=(3,1,2)
设平面的一个法向量为，由得令，得.
所以
又因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值是.
22．（1）或 ；（2）．
【解析】
（1）通过讨论的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；
（2）将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数形结合得到结果.
【详解】
（1）有题不等式可化为，
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式可化为，解得，不满足，舍去；
当时，原不等式可化为，解得，
所以不等式的解集为．
（2）因为，
所以若函数存在零点则可转化为函数与的图像存在交点，
函数在上单调增，在上单调递减，且.
数形结合可知．
该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目.