2026年铁岭市高三下学期一模考试数学试题（含答案解析）

这是一份2026年铁岭市高三下学期一模考试数学试题（含答案解析），文件包含历史卷-2412诸暨诊断pdf、历史答案-2412诸暨诊断pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
2．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
3．已知，，则等于（ ）．
A．B．C．D．
4．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种.
A．408B．120C．156D．240
5．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知实数满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．-5B．2C．7D．11
7．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则( )
A．2020B．4038C．4039D．4040
8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A．2B．3C．4D．1
9．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ）
A．2B．4C．D．8
10．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形，将平行四边形沿对角线折起，使平面平面，则直线与所成角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）
A．B．C．D．
12．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于；④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )
A．①③B．②④C．①②③D．②③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________.
14．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为______.
15．已知角的终边过点，则______.
16．设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：四边形是平行四边形；
（Ⅲ）若，试判断二面角的大小能否为？说明理由.
18．（12分）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
19．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；
（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.
20．（12分）已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
21．（12分）已知.
（1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值；
（2）试讨论函数零点的个数.
22．（10分）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
2．D
【解析】
利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．
【详解】
当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.
故选：D
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
3．B
【解析】
由已知条件利用诱导公式得，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.
【详解】
由题意得 ，
又，所以，结合解得，
所以 ，
故选B.
本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.
4．A
【解析】
利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；
【详解】
解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有（种），
当“乐”排在第一节有（种），
当“射”和“御”两门课程相邻时有（种），
当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有（种），
则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种），
故选：．
本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题．
5．A
【解析】
作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．
【详解】
作出函数的图象如图，
由图可知，，
函数有2个零点，即有两个不同的根，
也就是与在上有2个交点，则的最小值为；
设过原点的直线与的切点为，斜率为，
则切线方程为，
把代入，可得，即，∴切线斜率为，
∴k的取值范围是，
∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件，
故选A．
本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．
6．A
【解析】
根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.
【详解】
由约束条件，画出可行域如图
变为为斜率为-3的一簇平行线，为在轴的截距，
最小的时候为过点的时候，
解得所以，
此时
故选A项
本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.
7．D
【解析】
计算，代入等式，根据化简得到答案.
【详解】
，，，故，
，
故.
故选：.
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
8．B
【解析】
将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.
【详解】
根据实际问题可以转化为等比数列问题，
在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．
因为，解得，，解得．故选B．
本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.
9．B
【解析】
根据题意得到，，解得答案.
【详解】
，，解得或（舍去）.
故.
故选：.
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.
10．C
【解析】
利用建系，假设长度，表示向量与，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
由平面平面，
平面平面，平面
所以平面，又平面
所以，又
所以作轴//,建立空间直角坐标系
如图
设，所以
则
所以
所以
故选：C
本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.
11．A
【解析】
根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．
【详解】
在中，，，，由余弦定理，得，
所以.
所以所求概率为.
故选A.
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
12．B
【解析】
利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④.
【详解】
，
解得（当且仅当时取等号），则②正确；
将和联立，解得，
即圆与曲线C相切于点，，，，
则①和③都错误；由，得④正确.
故选：B.
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围．
【详解】
函数的图象如图所示：
因为方程有且只有两个不相等的实数根，
所以图象与直线有且只有两个交点即可，
当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点，
由图象可知，直线向下平移后有两个交点，
可得，
故答案为：．
本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题．
14．
【解析】
分两种情况讨论：（1）斜边在BC上，设，则，（2）若在若一条直角边在上，设，则，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值.
【详解】
（1）斜边在上，设，则，
则，，
从而.
当时，此时，符合.
（2）若一条直角边在上，设，则，
则，，
由知.
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
.
当，即时，最大.
故答案为：.
此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.
15．
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，求得的值．
【详解】
解：∵角的终边过点，
∴，，
∴，
故答案为：．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，属于基础题．
16．
【解析】
利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值．
【详解】
解：设点，，其中，
，
由，，，
可设
，
导数为，
由，可得
，
可得或，
由
，，
可得，即，可得，
由可得函数递减；由，可得函数递增，
可得时，函数取得最小值，且为，
则的最小值为1．
故答案为：1．
本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不能为.
【解析】
（1）由平面平面，可得平面，从而证明；
（2）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（3）作交于点，延长交于点，连接，根据三垂线定理，确定二面角的平面角，若，，由大角对大边知，两者矛盾，故二面角的大小不能为.
【详解】
（1）由平面平面，平面平面，
且，所以平面，
又平面，所以；
（2）依题意都在平面上，
因此平面，平面，
又平面，平面，
平面与平面平行，即两个平面没有交点，
则与不相交，又与共面，
所以，同理可证，
所以四边形是平行四边形；
（3）不能.如图，作交于点，延长交于点，连接，
由，，，
所以平面，则平面，又，
根据三垂线定理，得到，所以是二面角的平面角，
若，则是等腰直角三角形，，
又，
所以中，由大角对大边知，
所以，这与上面相矛盾，
所以二面角的大小不能为.
本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）根据递推公式，用配凑法构造等比数列，求其通项公式，进而求出的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】
解：（1），
，
是首项为，公比为的等比数列．
所以，．
（2）
.
本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前n项和的问题，属于中档题.
19．（1）；（2）（i）详见解析；（ii）会超过；详见解析
【解析】
（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.
（2）（i）写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.
（ii）由（i）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果.
【详解】
（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，
则P（ξ＝2），P（ξ＝3），
则这3天中空气质量至少有2天为优的概率
为；
（2）（i），
，
，
X的分布列如下：
（ii）由（i）可得：
E（X）＝02201480302（元），
故该企业9月的经济损失的数学期望为30E（X），
即30E（X）＝9060元，
设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，
可得：，
，，
E（Y）＝02201480320（元），
所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成
经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），
由19840+9060＝28900＞28800，
即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成
经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.
本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。
20．（1）①，③，④或②，③，④；（2）.
【解析】
（1）由①可求得的值，由②可求出角的值，结合题意得出，推出矛盾，可得出①②不能同时成为的条件，由此可得出结论；
（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出的面积.
【详解】
（1）由①得，，
所以，
由②得，，
解得或（舍），所以，
因为，且，所以，所以，矛盾.
所以不能同时满足①，②.
故满足①，③，④或②，③，④；
（2）若满足①，③，④，
因为，所以，即.
解得.
所以的面积.
若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，
所以，所以的面积.
本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.
21．（1）（2）答案不唯一具体见解析
【解析】
（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组，再构造函数研究其最大值，进而求得；
（2）对函数进行求导后得，对分三种情况进行一级讨论，即，，
，结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.
【详解】
解: （1）曲线在点处的切线方程为，即.
令切线与曲线相切于点，则切线方程为，
∴，
∴，
令，则，
记，
于是，在上单调递增，在上单调递减，
∴，于是，.
（2），
①当时，恒成立，在上单调递增，且，
∴函数在上有且仅有一个零点；
②当时，在R上没有零点；
③当时，令，则，即函数的增区间是，
同理，减区间是，
∴.
ⅰ）若，则，在上没有零点；
ⅱ）若，则有且仅有一个零点；
ⅲ）若，则.
，
令，则，
∴当时，单调递增，.
∴
又∵，
∴在R上恰有两个零点，
综上所述，当时，函数没有零点；当或时，函数恰有一个零点；当时，恰有两个零点.
本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0，才算完整的解法.
22．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）在中，计算出的值，可得出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式，代入直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.
【详解】
（1）在中，，，，
，，，，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）由题不妨设，设点，
联立，消去化简得，
且，，
，，，
∴代入，化简得，
化简得，
，，，
直线，因此，直线过定点.
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.
AQI
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
重度污染
天数
6
14
18
27
25
10
X
0
220
1480
P