咸阳市2026年高考数学倒计时模拟卷（含答案解析）

这是一份咸阳市2026年高考数学倒计时模拟卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了已知的垂心为，且是的中点，则，抛物线的准线方程是，则实数，设，是方程的两个不等实数根，记，设复数z＝，则|z|＝，已知符号函数sgnxf等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知的垂心为，且是的中点，则（ ）
A．14B．12C．10D．8
4．在中，在边上满足，为的中点，则（ ）.
A．B．C．D．
5．抛物线的准线方程是，则实数（ ）
A．B．C．D．
6．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( )
A．1B．-3C．1或D．-3或
7．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ）
①数列的任意一项都是正整数；
②数列存在某一项是5的倍数.
A．①正确，②错误B．①错误，②正确
C．①②都正确D．①②都错误
8．设复数z＝，则|z|＝（ ）
A．B． C．D．
9．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）
A．sgn[g（x）]＝sgn xB．sgn[g（x）]＝﹣sgnx
C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）]D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]
10．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）.
A．B．9C．5D．
11．中，点在边上，平分，若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，虚轴的两个端点分别为，，若四边形的内切圆面积为，则双曲线焦距的最小值为（ ）
A．8B．16C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，某市一学校位于该市火车站北偏东方向，且，已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧都是学校道路，其中，，以学校为圆心，半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济，其中分别在公路上，且与圆弧相切，设，的面积为.
（1）求关于的函数解析式；
（2）当为何值时，面积为最小，政府投资最低？
14．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________.
15．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.
16．关于函数有下列四个命题：
①函数在上是增函数；
②函数的图象关于中心对称；
③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线；
④函数的导函数不存在极小值.
其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若的面积为，，求的周长.
18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆C：，椭圆E：（）的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当时，求直线l的方程.
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积.
20．（12分）已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：
①函数的周期为；
②是函数的对称轴；
③且在区间上单调.
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的值域.
21．（12分）已知函数.
（1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：.
22．（10分）2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；
（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据椭圆的定义可得，，再利用余弦定理即可得到结论.
【详解】
由题意，，，又，则，
由余弦定理可得.
故.
故选：C.
本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.
2．B
【解析】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．
【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：
则该四棱锥的体积为.
故选：B.
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．
3．A
【解析】
由垂心的性质，得到，可转化，又即得解.
【详解】
因为为的垂心，所以，
所以，而，
所以，
因为是的中点，
所以
．
故选：A
本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
4．B
【解析】
由，可得，，再将代入即可.
【详解】
因为，所以，故
.
故选：B.
本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.
5．C
【解析】
根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.
【详解】
因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.
故选：C
本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.
6．D
【解析】
由题得，解方程即得k的值.
【详解】
由题得，解方程即得k=-3或.
故答案为：D
(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离.
7．A
【解析】
利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.
【详解】
因为,是方程的两个不等实数根,
所以,,
因为,
所以
,
即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,
又,,
所以,,,
以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;
若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,
由,,依次计算可知,
数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,
故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;
故选:A.
本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.
8．D
【解析】
先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.
【详解】
解：z＝＝＝＝﹣﹣,
则|z|＝＝＝＝.
故选：D.
本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.
9．A
【解析】
根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解.
【详解】
根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数，
当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （ x）]＝1，
当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （ x）]＝0，
当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （ x）]＝﹣1，
综合有：sgn[g （ x）]＝sgn（x）；
故选：A．
此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.
10．A
【解析】
根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.
【详解】
定点为,
，
当且仅当时等号成立，
即时取得最小值.
故选：A
本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.
11．B
【解析】
由平分，根据三角形内角平分线定理可得，再根据平面向量的加减法运算即得答案.
【详解】
平分，根据三角形内角平分线定理可得，
又，，，，
.
.
故选：.
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.
12．D
【解析】
根据题意画出几何关系，由四边形的内切圆面积求得半径，结合四边形面积关系求得与等量关系，再根据基本不等式求得的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.
【详解】
根据题意，画出几何关系如下图所示：
设四边形的内切圆半径为，双曲线半焦距为，
则
所以，
四边形的内切圆面积为，
则，解得，
则，
即
故由基本不等式可得，即，
当且仅当时等号成立.
故焦距的最小值为.
故选：D
本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（1）；（2）.
【解析】
（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，，进而表示直线的方程，由直线与圆相切构建关系化简整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面积公式表示面积即可；
（2）令，则，由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围，进而对原面积的函数用含t的表达式换元，再令进行换元，并构建新的函数，由二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
解：（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，.
所以直线的方程为，即.
因为直线与圆相切，
所以.
因为点在直线的上方，
所以，
所以式可化为，解得.
所以，.
所以面积为.
（2）令，则，
且，
所以，.
令，，所以在上单调递减.
所以，当，即时，取得最大值，取最小值.
答：当时，面积为最小，政府投资最低.
本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.
14．
【解析】
甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,根据公式即可求得概率.
【详解】
甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,.
故答案为:.
本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.
15．.
【解析】
设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，先确定球心在线段和中点的连线上，先求出球的半径的值，然后利用勾股定理求出的值，于是得出，再利用勾股定理求出点在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案．
【详解】
如图所示，设三棱锥的外接球为球，
分别取、的中点、，则点在线段上，
由于正方体的棱长为2，
则的外接圆的半径为，
设球的半径为，则，解得.
所以，，
则
而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，
由于，所以，
因此，点所构成的图形的面积为.
本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.
16．①②③
【解析】
由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断．
【详解】
函数的定义域是，
由于，
在上递增，∴函数在上是递增，①正确；
，∴函数的图象关于中心对称，②正确；
，时取等号，∴③正确；
，设，则，显然是即的极小值点，④错误．
故答案为：①②③.
本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果；
（2）由面积公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，结合即可求得周长.
【详解】
（1）由题设得.
由正弦定理得
∵∴，
所以或.
当，（舍）
故，
解得.
（2），从而.
由余弦定理得
.
解得.
∴.
故三角形的周长为.
本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.
18．（1）（2）或.
【解析】
（1）圆的方程已知，根据条件列出方程组，解方程即得；（2）设，，显然直线l的斜率存在，方法一：设直线l的方程为：，将直线方程和椭圆方程联立，消去，可得，同理直线方程和圆方程联立，可得，再由可解得，即得；方法二：设直线l的方程为：，与椭圆方程联立，可得，将其与圆方程联立，可得，由可解得，即得.
【详解】
（1）记椭圆E的焦距为（）.右顶点在圆C上，右准线与圆C：相切.解得，
，椭圆方程为：.
（2）法1：设，，
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：.
直线方程和椭圆方程联立，由方程组消去y得，整理得.
由，解得.
直线方程和圆方程联立，由方程组消去y得，
由，解得.
又，则有.
即，解得，
故直线l的方程为或.
分法2：设，，当直线l与x轴重合时，不符题意.
设直线l的方程为：.由方程组
消去x得，，解得.
由方程组消去x得，，
解得.
又，则有.
即，解得，
故直线l的方程为或.
本题考查求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查学生的分析和运算能力.
19．（1）；（2）面积的最小值为；四边形的面积为
【解析】
（1）将曲线消去参数即可得到的普通方程，将，代入曲线的极坐标方程即可；
（2）由（1）得曲线的极坐标方程，设，，，
利用方程可得，再利用基本不等式得，即可得，根据题意知，进而可得四边形的面积.
【详解】
（1）由曲线的参数方程为（为参数）消去参数得
曲线的极坐标方程为，即，
所以，曲线的直角坐标方程.
（2）依题意得的极坐标方程为
设，，，
则，，故
，当且仅当（即）时取“=”，
故，即面积的最小值为.
此时，
故所求四边形的面积为.
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.
（Ⅱ）得到，得到函数值域.
【详解】
（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；
由③得，，，；
若①②成立，则，，，
若①③成立，则，，不合题意，
若②③成立，则，，
与③中的矛盾，所以②③不成立，
所以只有①②成立，.
（Ⅱ）由题意得，，
所以函数的值域为.
本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
21．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求出，判断函数的单调性，求出函数的最大值，即求的范围；
（2）由（1）可知， .对分和两种情况讨论，构造函数，利用放缩法和基本不等式证明结论．
【详解】
（1）由，得.
令.
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
.
对任意恒成立，.
（2）证明：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
.
若，则，
令
在上单调递增，，
.
又，在上单调递减，
.
若，则显然成立.
综上，.
又
以上两式左右两端分别相加，得
，即，
所以.
本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题.
22．（1）分布列见解析,
（1）
【解析】
（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；的可能取值为0，1，1，由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.
（1）先求得年龄在内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出，令，化简后可证明其单调性及取得最大值时的值．
【详解】
（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，
年龄在的人数为人，
年龄在内的人数为人．
年龄在内的人数为人．
所以的可能取值为0，1，1．
所以，
，
，
所以的分市列为
．
（1）设在抽取的10名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，
所以，
所以．
设，
若，则，；
若，则，．
所以当时，最大，即当最大时，．
本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题.
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