2026届内蒙古包头市高三下学期第一次模拟考试数学试卷（学生版）

这是一份2026届内蒙古包头市高三下学期第一次模拟考试数学试卷（学生版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若为虚数单位，则（ ）
A. 2B. 0C. D.
2. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 充要条件
4. 记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ）
A. 4B. C. 1D. 2
5. 边长为2的等边三角形 的外心为，则（ ）
A. B. 2
C. D.
6. 已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的最小值为16
8. 袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 图象的对称中心为
D. 不等式的解集为
10. 设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 当时，取最大值
C.
D. 数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性
11. 在长方体中，，点为的中点，点为平面内的一个动点（含边界），则（ ）
A. 平面
B. 四棱锥的外接球的表面积为
C. 平面平面
D. 若，则点的运动轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________.
13. 某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_______.
14. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点且平分，则的离心率为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 数列的前n项和，数列满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和．
16. 随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立.
（1）求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；
（2）在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？
17. 如图，在棱长为的正四面体中，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）记为正四面体内切球的球心.
（ⅰ）求内切球的半径；（写出推导过程，直接写结果不给分）；
（ⅱ）设是球的球面上一点，且平面，当最小时，求二面角的正弦值.
18. 已知平面直角坐标系上一动点满足，，．
（1）求点的轨迹曲线的方程；
（2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点．
①求直线，的斜率之和；
②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由．
19. 已知函数，，.
（1）当时，若的图像与轴相切，求的值；
（2）当时，若在有一个零点，求的取值范围；
（3）设数列满足，.证明：.