内蒙古包头市2026届高三下学期二模数学试卷（含解析）高考模拟

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注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则m的值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】因为，，，
所以，可得，解得.
2. 若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ）
A. 5B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出，再利用复数乘法求解.
【详解】由复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得，
所以.
故选：B
3. 设函数，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】对分类讨论，解方程求得，进而求解即可.
【详解】当时，，即，无解；
当时，，解得，
所以.
4. 已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【详解】由题意可知，得，
因双曲线的渐近线方程为，
即 ​，代入得，
所以（为半焦距），即，
故焦距为.
5. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平方关系求出，根据两角和的正弦公式求解.
【详解】因为是第一象限角，所以，所以，
又由题意可知，
所以，
故选：C.
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数单调性判断A，利用基本不等式判断B，利用作差法即可求解BD.
【详解】由可得
对于A，由于，函数为单调递增函数，故 ，故A错误，
对于B， ，由于，故，
故，则，故B错误，
对于C，由于故 ，故C错误，
对于D， ，由于得，故.
7. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解.
【详解】由，得.
由是的中点知，，且，得，
所以.
则
.
故选：B.
8. 已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据求出点的轨迹方程，再根据圆上总存在点满足该条件，得出两圆的位置关系，进而求出实数的取值范围.
【详解】设点，已知，且，
所以，
化简得，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
因为圆上总存在点满足，即圆与圆有公共点，
所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径），
即，
化简得，
解得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.
【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；
对B：若，，则，故选项B正确；
对C：若，，则或与相交，故选项C正确；
对D：若，，，则，故选项D正确.
故选：BD.
10. 已知是等比数列的前项和，满足成等差数列，则（ ）
A. 成等比数列
B. 成等差数列
C. 成等比数列
D. 成等差数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等比数列的性质，可判断A 的真假，根据条件，求等比数列的公比，结合等比数列的通项公式及前项和公式，可判断BCD的真假.
【详解】对A：因为数列为等比数列，可设首项为（），公比为（），
则，所以，，成等比数列，故A正确；
对B：若等比数列的公比，则，，，
根据，，成等差数列，则，即，
这与矛盾，故不成立；
当时，由.
所以，
两边同乘以得：，即，
所以，，成等差数列，故B正确；
对C：若，，成等比数列，则，
因为，所以：，
又，所以，
所以，所以，这与矛盾，
故，，不可能成等比数列，故C错误；
对D：因为，，两边同乘以，得，
可得，即，
所以，，成等差数列，故D正确.
故选：ABD
11. 现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（ ）
A.
B.
C.
D. 且
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算；对于选项B，需要根据试验过程分析表达式；对于选项C，根据条件概率公式判断与是否相等；对于选项D，时，有，得，可知，，则有，可得.
【详解】对于A，若数字9被选到，有两种情况：
第一次选数时，从1到10中选到9，概率为，
第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为，
所以，选项A错误；
对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为；
发生后，下一次从1到8中选到8，概率为，
发生后，下一次从1到9中选到8，概率为，
这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确；
对于C，根据条件概率公式，，
若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下，
下一次从1到8中选到8的概率为，即，
若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8，
也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8，
即，
所以，选项C正确；
对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数，
则
，
当时，有，，，
结合知，，
所以最大数选取是任意的，始终有，
对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数，
选中的概率，则有，
可得，选项D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，含的项的系数是__________.
【答案】16
【解析】
【详解】易知含的项为，
因此其系数为16.
13. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先由焦点可得，，进而可得，再由椭圆的定义可得椭圆的长轴，从而可得离心率的值.
【详解】由焦点，得，，所以抛物线的方程为，准线为.又由，得，所以，
设椭圆的左焦点为，有，故，则，
可得离心率为.
14. 在中，内角的对边分别为，若成等差数列，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得，结合余弦定理可得，利用两角差的正切公式可得，利用基本不等式可求最小值.
【详解】因为成等差数列，即，
则，，
所以，即，且，
所以，
当且仅当时，等号成立.
即的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了了解学生的基本情况，某学校对一次高三质量预测数学考试成绩进行汇总（所有学生的数学成绩都不低于30分），整理后得到如下图所示的频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生数学成绩的第70百分位数；
（2）若该校高三学生共有1200人，从中依据按比例分配分层抽样的方法从等级分数介于80至100之间的学生中抽出8人，再从这8人中选出3人，记为3人中分数在的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1），75
（2）的分布列为
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积之和为1可求得，再由百分位数的定义计算可得结果；
（2）根据分层抽样求出相应区间的人数，再计算出相应概率可得出分布列和期望.
【小问1详解】
由题意得，
解得.
因为，
，
所以该校学生数学成绩的第70百分位数位于内，设其为，
则，解得.
故估计该校学生数学成绩的第70百分位数为75.
【小问2详解】
因为两组数据的频率之比为，
所以8人中等级分数位于内的人数分别为6，2.
由题意知的所有可能取值为1，2，3，
，，；
所以的分布列为
所以.
16. 在中，角的对边分别为，若．
（1）求的大小；
（2）如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，和差角公式以及辅助角公式即可求解；
（2）利用三角形的内角和关系，结合正弦定理解三角形，即可求得.
【小问1详解】
由和正弦定理，得，
因，则，
代入化简得
，即，
则，
，解得.
【小问2详解】
令，，
在中，由正弦定理得，，
因，则①.
在中，由正弦定理得，,
因,则②,
由①②得，,即，
因为，则得，解得，
，
设外接圆的半径，
由正弦定理，.
17. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，棱，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用空间向量数量积运算律证明，再利用线面垂直的判定推理得证.
（2）利用空间向量数量积的运算律求出平面平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.
【小问1详解】
在平行六面体中，令，
由正方形边长为2，得，而，，
则，，
因，则，
则，即，
又，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）得，
设平面的法向量，
则，
不妨取，得，则，
由（1）知平面的法向量，
又，
，
，
故，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知上存在三点，且关于直线对称．
①求的取值范围；
②若为等边三角形，求．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用斜率公式，列方程化简即可；
（2）①利用直线与抛物线联立，求出对称点的中点坐标，利用中点在对称轴上找到参数的相等关系，再利用判别式恒大于0，来求出参数的范围，最后再排除特殊情况即可；
②利用弦长公式，结合等边三角形可得到相等关系，再通过坐标满足的方程来求解即可.
【小问1详解】
设点．
因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以，
，
化简得：．
【小问2详解】
①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2．
设直线的方程为，
联立消去可得．
所以
所以中点坐标．
因为点在直线上，所以．
因为，所以，
因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点，
即直线不能经过点，
若直线过点，则，
若直线过点，则．
综上所述：的取值范围是．
②因为为等边三角形，所以点在直线上．
设，则，
．
所以，即，
化简得，①．
因为点在直线上，所以②．
由①②消得，．
因为，所以，
所以．
19. 已知函数.
（1）讨论在上的单调性；
（2）已知为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：.
【答案】（1）在上单调递增
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，对的范围分为，以及，结合二次求导和导函数的正负，即可求解单调性，
（2）先利用导数求证时，有，进而可证明，结合正弦函数的有界性即可求证.
【小问1详解】
求导可得
（a）当时，，则，在单调递增
（b）当时，，则，在单调递增
（c）当时，设，
则，由于均在上单调递增，故在上单调递增，
，
则存在使得满足
则，单调递减，则，单调递增，
，
所以，则，在单调递增；
综上所述：在上单调递增.
【小问2详解】
由题意可得
不妨设，则
先证明当时，有，设，
则，所以在单调递减，
＝0，即当，有，
于是有
所以，故有，又，且不能同时取到等号，
故，从而.1
2
3
1
2
3