湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题+答案

这是一份湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题+答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数为纯虚数，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．下列求导结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．展开式中的系数为（ ）
A．56B．42C．84D．120
6．盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙处，需要经过6个转运环节，其中第1，6个环节有a，b两种运输方式，第2，3，5个环节有b，c两种运输方式，第4个环节有c，d，e，f四种运输方式，则快件从甲送到乙使用4种运输方式的不同的方法种数是（ ）
A．60B．70C．77D．78
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数r越大，则线性相关性越强
B．用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好
C．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
D．在独立性检验中，零假设必须是“分类变量X与Y独立”，不能是“分类变量X与Y有关”
10．已知圆，抛物线的焦点为F，M为C上一点，P为E上一动点，则（ ）
A．抛物线E的准线方程为
B．抛物线E与圆C没有交点
C．若，则直线与圆C相切
D．的最小值为1
11．若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前项和，下列结论正确的是（ ）
A．首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列
B．若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1）
C．若数列满足，则数列是有限稳定数列
D．若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列
三、填空题
12．假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）．
（参考数据：若，则．）
13．已知每门大炮射击一次击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，那么至少需要大炮的门数是____________．（参考数据：，）
14．在三棱锥中，已知，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为____________．
四、解答题
15．已知椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，．过点，且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于C，D两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求k的值．
16．为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表：
同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据：
(1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义；
(2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？
参考数据与公式：，．
经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
17．如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点.
(1)证明：平面.
(2)若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值.
18．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，甲口袋中恰有3个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，没有黑球的概率为．
(1)求，，，；
(2)求与的递推关系式；
(3)求随机变量的数学期望．（用n表示）
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若存在，使得．
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：．
参考答案
1．D
【详解】因为为纯虚数，
所以，且，解得．
2．C
【详解】由题意可知，得，解得，即，
可知，解得，即，
所以．
3．A
【详解】充分性分析：，，，
，，故充分性成立；
必要性分析：，，
，，
，，，故必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件
4．C
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，，故D错误．
5．B
【详解】二项式展开式的通项公式为，
因此展开式中含的项为，
所以展开式中的系数为42.
故选：B
6．B
【详解】由题意可知：，则，，
Y的可能取值为0，1，2，
则，，，
可得，
，
所以.
故选：B.
7．B
【详解】设该校有a名同学，
则由题意可得：约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h，约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h.
因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%
所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5＝0.15a，
则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a－0.15a＝0.25a的学生近视，
所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为．
故选：B．
8．A
【详解】若第4个环节使用c运输方式，由题意可得快件从甲送到乙至多使用3种运输方式，
故第4个环节必须使用d，e，f三种运输方式中的1种，
若第1，6两个环节都使用b运输方式，则快件从甲送到乙至多会使用3种运输方式，
故从甲送到乙要使用4种运输方式，则满足条件的运输方法可分为两类．
第一类：第1和第6环节都用a运输方式，则第2，3，5环节必须使用两种不同的运输方式，
第4环节必须使用d，e，f中的一种运输方式，故满足条件的运输方式有（种）；
第二类：第1和第6环节运输方式不同，则第2，3，5环节只需至少一个环节使用c运输方式，
第4环节必须使用d，e，f中的一种运输方式，故满足条件的运输方式有（种）．
由分类加法计数原理可得，满足条件的运输方式有（种）．
9．BCD
【详解】对于A，两个变量的样本相关系数为r，则越大，线性相关程度越强，故A错误；
对于B，决定系数越接近1，值越大，残差平方和越接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故B正确；
对于C，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故C正确；
对于D，在独立性检验中，将“分类变量X与Y独立”作为零假设，是因为在此假设下可以计算出期望频数，从而构造检验统计量进行检验，故D正确．
10．BC
【详解】对于A，抛物线的准线方程为，A错误；
对于B，由消去得，即，，方程无实数解，
因此抛物线E与圆C没有交点，B正确；
对于C，抛物线的焦点，圆的圆心，半径为，
设，则，解得，即，
则直线的方程为，圆心到直线的距离为，
因此直线与圆C相切，C正确；
对于D，由选项C得的最小值为4，因此的最小值为，D错误．
11．AD
【详解】对A，设，
则相邻两项差的绝对值，
设，
则，故该数列是有限稳定数列，A对；
对B，若该等比数列公比为1，则相邻两项差为0，是有限稳定数列，
因此公比的取值范围应为，故B错；
对C，取，满足，
但相邻两项差绝对值和，随n增大趋向于无穷大，无界，
因此该数列不是有限稳定数列，C错；
对D， 若数列是有限稳定数列，有界，进而有界，
而，
所以有界，即数列是有限稳定数列，D对.
故选：AD
12．85
【详解】设A等级的分数线为a，则应该满足．
又由题知，
因此．
13．5
【详解】由每门大炮射击一次击中目标的概率是0.4，得此大炮没有击中目标的概率为，
由n门大炮射击是相互独立事件，得n门大炮都没有击中目标的概率为，
而“目标至少被击中一次”的对立事件是“目标一次都没有被击中”，则“目标至少被击中一次”的概率为
由目标至少被击中一次的概率超过92%，得不等式，即，
两边同时取常用对数，得，而，
，
不等式，又为正整数，
所以n的最小值为5，即至少需要大炮的门数是5．
14．
【详解】如图所示，设三棱锥外接球的半径为，
则由外接球的体积为，解得．
因为，，，所以，
所以，所以，
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积为，解得，即，
所以点在平行于平面的平面上．
因为，所以的外接圆的圆心为的中点，则外接圆的半径为，
所以外接球的球心到平面的距离为，
即，所以球心到点所在平面的距离为，即，
在直角中，可得，
所以点的轨迹为以为半径的圆，故动点的轨迹长度为．
15．(1)；
(2).
【详解】（1）由题可得，
所以椭圆的方程为.
（2）由题可设直线的方程为，
令，所以.
设，联立 ，
则，
，.
则，中点横坐标为，
因为，，所以，中点横坐标为.
因为，所以，，，四点共线，设，中点为，则，
所以，即，所以是，的中点，
所以，即.
16．(1)认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，答案见解析
(2)，145.5分，该结果与实际得分不一定相符合，原因见解析
【详解】（1）零假设为：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）由数据得，，，
，
，
得，，
所以y关于x的经验回归方程为．
将代入经验回归方程得，
所以预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为145.5分．
该结果与实际得分不一定相符合，原因是把每周整理错题时长为4.5小时的学生数学成绩作为一个子总体，数学成绩为145.5分是这个子总体的均值的估计值，影响数学成绩还有其他的因素（言之合理即可）．
17．(1)证明见解析;
(2).
【详解】（1）证明：连接，.
因为，，分别为棱，，的中点，为正三棱柱
所以，，所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面.
同理可得平面.
因为，所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）解：取的中点，连接，，则
在正三棱柱中，则，，.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，，
令，得.
由，
所以与平面所成角的正弦值.
得与平面所成角的正弦值为.
18．(1)，，，
(2)
(3)．
【详解】（1），，，．
（2）由题可知，
，
，
，
，
且有，
则
，
即．
（3）令，由（2）有，，
，，即是首项为，公比为的等比数列，
因此，，
则的分布列为
故．
19．(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）的定义域为，．
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
（2）（i）由（1）可知，
令，
若，则，则，则直线与函数的图象最多有两个交点，不符合题意；
若，，此时存在两个零点，
此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时作直线，其中，直线与的图象存在四个交点，
即存在，使得，
故实数m的取值范围是．
（ii）由题意得，，
则，，
令，，注意到，则，即，同理，
要证，即，即证明，
设，
则，
设，设，
则，故在上单调递减，
从而，则，在上单调递减，
故，也即，因此．成绩优秀
成绩一般
合计
时长充足组
30
10
40
时长不足组
20
40
60
合计
50
50
100
学生编号
1
2
3
4
5
6
x
0
1
2
2
3
4
y
91
105
116
119
125
140
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3
P