湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题（含答案）

这是一份湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为（ ）
A．第一种方式购买物品的单价为
B．第二种方式购买物品的单价为
C．第一种方式购买物品所用单价更低
D．第二种方式购买物品所用单价更低
6．下列函数中最小值为的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，D．
7．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
8．在数学上称函数为高斯函数，其中表示不大于的最大整数，如.那么使不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．且是的充分条件B．“”是“”的充分不必要条件
C．命题“，”的否定是“，”D．的充要条件是
10．下列命题叙述正确的是（ ）
A．且时，当时，
B．且时，当时，
C．且时，当时，
D．且时，当时，
11．已知集合满足：
①；
②，若且，则；
③，若且，则.
则下列结论正确的是（ ）
A．若集合中有最大数，则集合中没有最小数
B．若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数
C．，使得
D．，存在无理数，使得
三、填空题
12．不等式的解集为 ．
13．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ．
14．已知，且关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知集合.
(1)若，求实数的值；
(2)若且，求实数的值.
16．已知命题成立；命题：方程有两个不相等的负根.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
17．（1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围：
（2）解关于的不等式，其中.
18．某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
19．已知有限集，定义两个集合的差集为且，对称差为.
(1)若，求集合.
(2)已知集合.对任意非空有限实数集，设，记表示集合中的元素个数.
（i）证明：；
（ii）求的最小值.
长沙市第一中学2025—2026学年度高一第一学期第一次阶段性检测数学答案
12．
13．
14．3
15．(1)
(2).
16．(1)
(2)或.
17．（1）；
（2）不等式等价于.
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为 ；
③当时，，不等式的解集为.
综上可知，当时，解集为，当时，解集为，
当时，解集为 ，当时，解集为，
当时，解集为
18．(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
19．(1)
（2）（i）若，则，且.
于是，，从而，，因此成立.
否则，若或，则必有，
综上，成立.
（ii）令，首先证明.
依题意可知.
由（i）可知，
只需证明.
若，则，于是.
否则，不妨设中的最大元素为，且，则必有.
考虑元素.
若，又，因此；
若，则，由于，因此，
注意到，因此.
因此，对任意或中总有一个成立，
故.
因此.
综上可知，.
其次证明，存在集合使得，
取，此时.
于是，，此时.
综上可知，.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
A
D
B
A
B
AB
CD
题号
11









答案
ABD