河北省邢台市质检联盟高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省邢台市质检联盟高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）-A4，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章，第八章.
一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算和，再利用公式计算即可.
【详解】由题意可得，，
则向量在向量上的投影向量是.
故选：C.
2. 下列命题正确的是（ ）
A. 棱柱中两个互相平行平面一定是棱柱的底面
B. 所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥
C. 所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱
D. 棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点
【答案】D
【解析】
【分析】根据柱体，锥体，台体的定义和结构特征逐一判断即可.
【详解】对于A，正六棱柱中两个互相平行的平面可能是侧面，则A错误；
对于B，正八面体的所有面都是三角形，则B错误；
对于C，底面是菱形的直四棱柱的所有侧面都是全等的矩形，则C错误；
对于D，由棱台的定义可知棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则D正确.
故选：D.
3. 如图，在平面直角坐标系中的斜二测直观图是，其中，，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】将斜二测直观图还原成平面直角坐标系中的平面图，即可由勾股定理求得长.
【详解】由斜二测画法可知，图形中平行于轴、轴的线段，在直观图中分别平行于轴和轴，
平行于轴的线段在直观图中保持不变，平行于轴的线段在直观图中变为原来的一半.
如图为在平面直角坐标系中的平面图，则，，
则.
故选：B.
4. 已知某圆柱的轴截面是边长为的正方形，则该圆柱的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆柱的底面半径和高，结合圆柱的侧面积公式可求得结果.
【详解】由题意可知该圆柱的底面半径，高，则该圆柱的侧面积是.
故选：B.
5. 在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取棱的中点，证平面，得出是直线与平面所成的角，结合解三角形的知识即可得解.
【详解】
取棱的中点，连接，，又是棱的中点，所以，
因为平面，所以平面，则是直线与平面所成的角.
设，则，，.
在中，由余弦定理可得，
则，所以.
故选：A
6. 已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A. B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由扇形弧长公式求得，则，由勾股定理即可求解．
【详解】由题意可知圆锥的底面半径，母线，
侧面展开所得扇形的圆心角，则，
因为是的中点，所以，
则这只蚂蚁爬行的最短距离，
故选：C．
7. 在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出辅助线，得到或其补角是直线与所成的角，求出各边长，利用余弦定理求出答案..
【详解】取棱的中点，连接，，
因为是的中点，所以，⊥，
则或其补角是直线与所成的角，.
由题中数据可知，，，
由勾股定理得，
在中，由余弦定理可得，
则，
故.
故选：A
8. 在中，是线段的中点，是线段的中点，延长，交线段于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量的基本定理与共线向量定理求解即可.
【详解】因为是线段的中点，所以，
因为是线段的中点，所以，
因为，，三点共线，所以，
因为，，三点共线，所以，
则解得，故.
故选：D
9. 如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；（2）；（3）；（4）.其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】画出正方体，由正方体的性质可得.
【详解】原正方体如图所示，由正方体的性质可知相交，，
则，则四边形为平行四边形，则；
因为等边三角形，则，
又空间内两条直线的夹角范围为，则直线与所成的角为；
因且，则，
则①③错误，②④正确.
故选：B.
10. 某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（ ）
A. 平方厘米B. 平方厘米
C. 平方厘米D. 平方厘米
【答案】B
【解析】
【分析】求出正三棱锥的表面积与体积，由题意可知，这个球形饰品为正三棱锥的内切球时，表面积最大，然后由球的表面积公式求解即可.
【详解】
如图，在正三棱锥中底面正三角形中，，，
所以，
在中，，，所以，
所以该木材的表面积平方厘米，
，所以，
所以体积立方厘米.
要使这个球形饰品的表面积最大，则这个球形饰品是该木材的内切球.
设内切球的半径为厘米，则，所以.
设这个球形饰品的半径为厘米，则，故这个球形饰品的表面积平方厘米.
故选：B
11. 如图，在同一个平面内，向量，，满足，向量，的夹角为，向量，的夹角为，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据平面向量基本定理，结合正弦定理可得解.
【详解】
如图，过点作，交于点，作，交于点，
则.
因为，
所以，，，，.
因为，且，
所以由正弦定理得，
得，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
12. 若平面向量，不共线，则下列各组向量可以作为平面向量的一组基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】由于不共线的两个向量可以作为一组基底，所以只需由共线向量定理排除即可.
【详解】因为向量，不共线，
若向量，共线，则，
即，无解，故向量，不共线，
若向量，共线，则，
即，无解，故向量，不共线，
若向量，共线，则，
即，无解，故向量，不共线，
则向量，，向量，，向量，都可以作为平面向量的一组基底.
因为，所以向量，共线，则向量，不可以作为平面向量的一组基底.
故选：ACD
13. 已知某圆台的上，下底面的半径分别是和，且该圆台的上，下底面的圆周都在半径为的球的球面上，则该圆台的体积可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据旋转体的性质可得外接球半径与圆台轴截面外接圆半径相等，即可得解.
【详解】旋转体的性质可得外接球半径与圆台轴截面外接圆半径相等，
如图所示，
当球的球心在圆台外时，设圆台的高为，
则，解得，
圆台的体积为；
当球的球心在圆台内时，
则，即圆台的高，
则圆台的体积为.
综上，该圆台的体积为或，
故选：AC.
14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则（ ）
A. 角的取值范围是
B. 的取值范围是
C. 周长的取值范围是
D. 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项A，先利用正弦定理转化，得出，然后利用锐角三角形的三个内角均为锐角建立关于角A的不等式组，解不等式组即可判断；对于选项B，利用正弦定理得到，再结合A选项的角A的范围求得的取值范围；对于C选项，利用已知条件和选项B的结论，得出，再结合A选项的角A的范围，然后求得的范围，从而求得周长的范围；对于选项D，利用已知条件和选项B的结论，得出再结合A选项的角A的范围即可求得的取值范围.
【详解】因为，且，所以，所以，
所以.因为是锐角三角形，，所以，
则，
则解得，所以，A正确.
因为，
所以.
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是，B正确.
.设，
则在上单调递增，所以，
即.因为，
所以周长的取值范围是，C错误.
因为，所以.
因为在单调递增，所以，
所以，即，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
15. 已知某棱锥的顶点个数为，棱的条数为，则______.（用含的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据棱锥的性质直接可得解.
【详解】设该棱锥为棱锥，则，，
则，即，
故答案为：.
16. 某数学兴趣小组成员为测量，两地之间的距离，测得在的北偏东方向上，在的北偏西方向上，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，在的正东方向上，且，相距20千米，则，两地之间的距离是______千米.
【答案】
【解析】
【分析】画出图分析，在与中分别由正弦定理求出，，然后在等边中，求解即可.
【详解】如图：
在中，由题意可知，，千米，
由正弦定理可得，则千米.
在中，由题意可知，，千米，
由正弦定理可得，则千米.
在中，，千米，则千米.
故答案为：
17. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则______.
【答案】
【解析】
【分析】在线段上取点，使得，连接，，，由平面，可得，进而可得是线段的中点，由向量关系可得，即可求.
【详解】如图，在线段上取点，使得.
连接，，，记，，
连接，因为直线平面，且平面平面，
所以.
因为四边形是平行四边形，
所以为线段的中点，则为线段的中点.
因为，，所以，
所以，即.
因为为线段的中点，所以是线段的中点，
则，所以，则.
故答案为：
四、解答题：本题共4小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18 已知向量，.
（1）若向量，共线，求向量的坐标；
（2）若，求.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量模长关系，即可结合共线求解，
（2）根据向量垂直满足的关系可得，即可根据模长公式求解.
【小问1详解】
因为，所以.
因为向量，共线，所以.
当向量，同向时，，则；
当向量，反向时，，则.
故或.
【小问2详解】
因为，所以，所以.
因为，，所以，所以.
因为，
所以.
19. 如图，在长方体中，四边形是边长为的正方形，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）第一小问考查的是线面垂直的判定，要证平面，只需在平面内找到两条相交直线与垂直即可；
（2）第二小问考查的是空间中点到平面的距离，可以用等体积法，根据三棱锥的体积与三棱锥的体积相等求解.
【小问1详解】
证明：记.
因为，为棱的中点，所以，则.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以，即.
由长方体的性质可知平面.
因平面，所以.
因为平面，平面，且，所以平面.
【小问2详解】
解：连接，.
由题意可得三棱锥的体积.
由长方体的性质可知平面，且平面，则.
因为，，所以，
所以的面积.
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积 ，
因为，所以，解得，即点到平面的距离为.
20. 如图，在三棱柱中，、分别是棱、上一点，且，.
（1）证明：平面.
（2）证明：直线、、交于同一点.
（3）记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）证明出，利用线面平行的判定定可证得结论成立；
（2）证明出与相交，设，证明出为平面、平面的公共点，结合基本事实可证得结论成立；
（3）设的面积为，三棱柱的高为，计算出三棱柱的体积和三棱台的体积，即可求出的值.
【小问1详解】
因为，，所以，所以.
因为平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）可知，.
因为，，所以，，则直线与相交.
设直线与的交点为，
因为点在直线上，且平面，所以平面.
因为点在直线上，且平面，所以平面.
因为平面平面，所以点在直线上，
即直线、、交于点.
【小问3详解】
设的面积为，三棱柱的高为，
则三棱柱的体积.
因为，所以，且，
所以的面积，
则三棱台的体积，
故.
21. 在中，角的对边分别是，且.
（1）证明：是等腰三角形.
（2）若（异于两点）在线段上，且点靠近点，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）首先根据正弦定理边化为角，再结合三角恒等变换，即可证明；
（2）首先根据，求角，再根据（1）的结果，利用正弦定理，用三角函数表示边，再根据三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为，
所以，
所以，
所以.
因为，所以，
所以，所以，即是等腰三角形.
【小问2详解】
因为，所以，即，
解得舍去.
因为，所以.
由（1）可知，所以.
设，则.
在中，由正弦定理可得，
则.
在中，由正弦定理可得，
则.
因为，所以.
因为，所以，所以，