河北省邢台市质检联盟2024~2025学年高一下册4月期中联考数学试题【附解析】

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章，第八章.
一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是（）
A. B. C. D.
2. 下列命题正确的是（）
A. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B. 所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥
C. 所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱
D. 棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点
3. 如图，在平面直角坐标系中的斜二测直观图是，其中，，则（）
A. B. C. D. 2
4. 已知某圆柱的轴截面是边长为的正方形，则该圆柱的侧面积是（）
A. B. C. D.
5. 在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（）
A B. C. D.
6. 已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）
A. B. 4C. D. 6
7. 在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
8. 在中，是线段的中点，是线段的中点，延长，交线段于点，则（）
A. B. C. D.
9. 如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；（2）；（3）；（4）.其中正确结论的个数是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（）
A. 平方厘米B. 平方厘米
C. 平方厘米D. 平方厘米
11. 如图，在同一个平面内，向量，，满足，向量，的夹角为，向量，的夹角为，且.若，则（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
12. 若平面向量，不共线，则下列各组向量可以作为平面向量的一组基底的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
13. 已知某圆台的上，下底面的半径分别是和，且该圆台的上，下底面的圆周都在半径为的球的球面上，则该圆台的体积可能是（）
A B. C. D.
14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则（）
A. 角的取值范围是
B. 的取值范围是
C. 周长的取值范围是
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
15. 已知某棱锥的顶点个数为，棱的条数为，则______.（用含的式子表示）
16. 某数学兴趣小组成员为测量，两地之间的距离，测得在的北偏东方向上，在的北偏西方向上，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，在的正东方向上，且，相距20千米，则，两地之间的距离是______千米.
17. 如图，在四棱锥中，四边形平行四边形，，，直线平面，则______.
四、解答题：本题共4小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18. 已知向量，.
（1）若向量，共线，求向量的坐标；
（2）若，求.
19. 如图，在长方体中，四边形是边长为的正方形，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
20. 如图，在三棱柱中，、分别是棱、上一点，且，.
（1）证明：平面
（2）证明：直线、、交于同一点.
（3）记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值.
21. 在中，角的对边分别是，且.
（1）证明：是等腰三角形.
（2）若（异于两点）在线段上，且点靠近点，求的取值范围.