湖南省怀化市2026届高三二模考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知复数 满足 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
2. 已知集合 . 若 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ,所以 . 因为 ,所以 .
3.清明节期间，甲、乙两市旅游消费数据如下:甲市游客总量 300 万人次，游客人均消费 1000 元； 乙市游客总量 200 万人次，游客人均消费 1200 元. 此期间甲、乙两市游客的人均消费额为
A. 1060 元 B. 1080 元 C. 1100 元 D. 1120 元
【答案】B
【解析】此期间甲、乙两市游客的人均消费额为 元 .
4.某 AI 大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为 ，经过 年后算力为 ，则 与 的函数关系式为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 与 的函数关系式为 .
5.已知某圆锥的底面和某圆台的下底面重合, 它们的高均为 2 , 且圆台的上、下底面圆的半径之比是 ,圆锥的侧面积是 ,则该圆台的侧面积是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆台的上底面圆的半径为 ,则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为 ,圆锥的母线 . 圆锥的侧面积是 ,解得 ,则圆台的母线 ,侧面积为 .
6.如图，这是函数 的部分图象，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 的图象过点 ，所以 . 因为点 落在 单调递减区间对应的图象上，所以 . 因为 ，所以 .
因为 的图象过点 ,所以 ,则 ,解得 . 由图可得 ,解得 . 结合 ,得 .
7.已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与 交于 两点(点 在第一象限). 若直线 的斜率为 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】记 的准线为 ,过点 作 的垂线,垂足分别为 ,过点 作直线 的垂线, 垂足为 (图略). 设 . 因为直线 的斜率为 ,所以 , ,则 . 因为 ,所以 ,即 ,所以 .
8.已知数列 的前 项和为 ，且 ，则满足 的最大正整数 的值为
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】C
【解析】易知 . 因为 ,所以 ,即 , 所以 ,解得 . 因为 ,所以 的最大值为 12.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知双曲线 ,则下列结论正确的是
A. 的取值范围是
B. 的焦距与 的取值无关
C. 若 的离心率不小于 2,则 的取值范围为
D. 存在实数 ,使得点 在 上
【答案】ABC
【解析】由题意得 ,则 正确.
的焦距为 2,与 的取值无关, 正确.
由 ,解得 ,结合 ,所以 的取值范围为 正确.
假设存在实数 ,使得点 在 上,则 . 当 时, ,所以 在 上无实数解, 错误.
10.已知 ,则 的值可能为
A. 1 B. -1C. D.
【答案】BCD
【解析】因为 ,
所以 或 ,
即 或 .
若 ,则 .
若 ,则 ，
所以 ，
即 .
由 ,解得 .
由 ,解得 .
11.已知函数 ,则下列结论正确的是
A. 存在 ,使得
B. 记 的值域为 ,对任意 ,存在 ,使得
C. 若 ,则 的最大值为
D. 若 ,则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】 . 当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,存在 , ,使得 , 正确. 为奇函数, 的极大值为 ,且当 时, ,所以 的值域为 . 取 ,不存在 ,使得 错误.
不妨设 ,则 ,即 . 函数 的图象关于直线 对称,将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象, 与 的值域相同.
令 ,当 时, . 当 时, . 当 时,
,且 ,当且仅当 时,等号成立. 当 时,函数 单调递减,且 ,所以当 时, 取得最大值,最大值为 ,所以 的最大值为 ,即 的最大值为 , 正确.
不妨设 ,则 ,
变形可得 ,
所以 , .
当 时, ,要使得 取得最小值,则 . 若 ,则 ,解得 舍去 ,即 , 当且仅当 时,等号成立. 若 ,则 ,解得 ,即 , 当且仅当 时,等号成立.
当 时, ,而 ,矛盾,舍去.
综上, 的最小值为 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知数列 ， 均为等差数列，若 ，则 ________.
【答案】7
【解析】易得数列 也为等差数列,所以 为 的等差中项, 所以 .
13.已知函数 有且仅有 1 个零点，则 _______.
【答案】1
【解析】 为偶函数，要使得 有且仅有 1 个零点，则 ，解得 .
经验证,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,且 ,符合题意 .
14.已知圆 的圆心为 ,半径为 是圆 上的动点,且 ,则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】延长 至点 ,使得 ,取 的中点 ,连接 . 在 中, ,所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 的最小值为 ，最大值为 ，所以 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，在棱长为 2 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , , 2 分
. 3 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 取 ,可得 , . 5 分
(1)因为 ，所以 , 7 分
所以 平面 . 9 分
(2)易得 ， 10 分
12 分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 13 分
16.在 中, 为 边上一点, .
(1)若 ，求 的长；
(2)求 的值.
【解析】(1) 易得 ， 2 分
故 . 5 分
(2)因为 ，所以 ， ， .
设 ,则 . 6 分
在 中,由正弦定理可得 , 8 分
在 中,由正弦定理可得 , 10 分
则 12 分
化简可得 , 14 分
. 15 分
17.某工厂的某种产品成箱包装,每箱 5 件. 该产品按箱售卖,每箱 30 元. 用户在使用某箱该产品时，若出现 1 件不合格品，则工厂赔偿 10 元；若出现 2 件不合格品，则工厂赔偿 20 元；若出现 3 % 5 件不合格品，则工厂赔偿 30 元. 设每件产品为不合格品的概率都为 ， 且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记每箱产品中恰有 1 件不合格品的概率为 ，求 的极大值点 .
(2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序, 提出了两种检验方案. 方案一: 从每一箱产品中随机抽 1 件检验, 如检验出不合格品, 则更换为合格品. 方案二: 从每一箱产品中随机抽 2 件检验, 如检验出不合格品, 则更换为合格品. 已知每件产品的检验费用为 2 元,以(1)中确定的 作为 的值,以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二?
【解析】(1) 每箱产品中恰有 1 件不合格品的概率 , 2 分则 . 4 分
令 ,得 . 2. 当 时, ; 当 时, . 所以 的极大值点 . 6 分
(2)由(1)知 .2.
若选择方案一,则一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为 .
8 分
. 10 分
若选择方案二,则一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为 .
12 分
. 14 分
因为 ,所以应该选择方案一. 15 分
18.已知函数 .
(1)设 .
① 求曲线 在点 处的切线方程；
② 求 在 上的最小值.
(2)若 在 上单调递减，求 的取值范围.
【解析】(1) 当 时, . 1 分
①因为 ， 2 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 . 4 分
② 令 ，则 . 5 分
当 时, ,且两个等号不能同时成立,所以 在 上单调递减. 6 分
又 ,所以存在 ,使得 . 7 分
当 时, ; 当 时, .
在 上单调递增,在 上单调递减. 8 分
又 ,
所以 在 上的最小值为 . 9 分
(2) .
令 ,则 , 10 分
若 ,即 ,则存在 ,使得当 时, ,所以 在 上单调递增. 12 分
因为 ,所以当 时, ,即 在 上单调递增,不符合题意. 13 分
若 ,即 ,则当 时, ,两个等号不能同时成立,所以当 时, . 14 分
当 时, ,所以 在 上单调递减. 15 分
因为 ,所以当 时, ,所以当 时, 在 上单调递减，符合题意. 16 分
综上, 的取值范围为 . 17 分
19.已知 为坐标原点,椭圆 的右顶点为 ,离心率为 ,过点 的直线 与椭圆 交于另一点 ,与直线 分别交于点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)证明: .
【解析】(1)解:由题可知 解得 2 分
所以椭圆 的方程为 . 3 分
(2)解:因为直线 到 轴的距离均为 ，所以 .
因为 ,所以 . 4 分
因为点 的纵坐标为 ,所以点 的纵坐标为 . 5 分
将 代入 ,得 ,即 . 6 分
故直线 的方程为 或 . 8 分
(3)证明:由题可知直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的方程为 ， ， . 当 时， , 10 分由 得 . 11 分
因为 ,所以 ,
所以 . 当 时, . 12 分
又 , 13 分
15 分
所以 ,所以 . 16 分
当 或 时,经验证可得 .
综上, . 17 分