江苏省淮阴中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷含解析（word版）

这是一份江苏省淮阴中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷含解析（word版）试卷主要包含了04， 下列等式错误的是等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正 确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知复数 z=1+i3+4i , 则 z= ( )
A. 65 B. 25 C. 625 D. 225
【答案】 B
【详解】因为 z=1+i3+4i=1+i3−4i3−4i3+4i=3−4i+3i+49+16=7−i25 .
所以 z=12572+−12=25 .
2. 已知向量 e1,e2 不共线，且 2e1−λe2//e1+2e2 ，则实数 λ= ()
A. 1 B. -1 C. -4 D. 4
【答案】 C
【详解】因为 2e1−λe2//e1+2e2 ,则存在实数 k ,使得 2e1−λe2=ke1+2e2 , 整理得: 2−ke1=2k+λe2 ，因为向量 e1 ， e2 不共线，根据平面向量基本定理，得方程组: 2−k=02k+λ=0,解得k=2λ=−4
3. 已知向量 a,b 满足 a=1,b=2 ，且 2a−b⊥b ，则 a 与 b 的夹角 θ= ()
A. π4 B. π3 C. 2π3 D. 3π4
【答案】 A
【详解】由题意可得 2a−b⋅b=2a⋅b−b2=0 ,解得 a⋅b=1 ,
因为 csθ=a⋅bab=11×2=22,θ∈0,π ,
所以 θ=π4 .
4. 下列等式错误的是 ( )
A. 4sin15∘cs15∘=1
B. 1+tan15∘1−tan15∘=3
C. sin26∘−cs26∘=cs12∘
D. 1cs80∘−3sin80∘=4
【答案】 C
【详解】选项 A ,由二倍角正弦公式得 4sin15∘cs15∘=2sin30∘=2×12=1 ,等式正确;
选项 B ,由正切和角公式 tanA+B=tanA+tanB1−tanAtanB ,且 tan45∘=1 ,
得 1+tan15∘1−tan15∘=tan45∘+tan15∘1−tan45∘tan15∘=tan45∘+15∘=tan60∘=3 ,等式正确;
选项 C ,由二倍角余弦公式 cs2α=cs2α−sin2α ,
得 sin26∘−cs26∘=−cs26∘−sin26∘=−cs12∘≠cs12∘ ,等式错误;
选项 D ,由辅助角公式化简得
1cs80∘−3sin80∘=sin80∘−3cs80∘cs80∘sin80∘=2sin80∘−60∘12sin160∘=2sin20∘12sin20∘=4 等式正确.
5. 向量 OA,OB,OC 的模长均为 1，且满足 OA+OB+OC=0 ，则 CA⋅CB 的值为( )
A. 12 B. 32 C. 13 D. 133
【答案】 B
【详解】由题意可得 OC=−OA+OB ,
又 CA=OA−OC=OA−−OA+OB=2OA+OB ,
同理 CB=OB−OC=OB−−OA+OB=OA+2OB ,
对 OA+OB=−OC 两边平方并化简可得 OA2+2OA⋅OB+OB2=OC2 ,
由题意可得 1+2OA⋅OB+1=1 ,解得 OA⋅OB=−12 ,
又 CA⋅CB=2OA+OB⋅OA+2OB=2OA2+5OA⋅OB+2OB2
=2×1+5×−12+2×1=32 .
6. 在复平面内,已知复数 2+5i 和 5+i 对应的向量分别是 OA 和 OB (其中 O 是坐标原点, i 为虚数单位),向量 AB 对应的复数是 z1 ,若复数 z 满足 z=3 ,则 z−z1 的最大值为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】 C
【详解】由题意可得 OA=2,5,OB=5,1 ,则 AB=OB−OA=3,−4 ,所以 z1=3−4i ,对应点 Z13,−4 .
z=3 表示复数 z 在复平面对应的点 Z ,在以原点 O 为圆心、半径 r=3 的圆上.
z−z1 的几何意义是: 圆 x2+y2=9 上的点 Z 到定点 Z13,−4 的距离.
先算原点 O 到定点 Z1 的距离 d=OZ1=32+−42=5 ,
因此 z−z1 的最大值为 d+r=5+3=8 .
7. 如图，在河岸 CD 上测量河对面 A ， B 两点间的距离，测得 ∠ACD=60∘ ， ∠ADC=75∘ ， ∠BCD= 30∘,∠ADB=30∘,CD=22 ，则 AB= ()
A. 2 B. 22 C. 4 D. 42
【答案】 A
【详解】因为 ∠CAD=45∘,∠CBD=45∘ ，
在 △ACD 中,由正弦定理可得 CDsin∠CAD=ADsin∠ACD ,则 AD=CDsin∠ACDsin∠CAD=23 .
在 △BCD 中,由正弦定理可得 CDsin∠CBD=BDsin∠BCD ,则 BD=CDsin∠BCDsin∠CBD=2 .
在 △ABD 中,由余弦定理可得 AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB=4 ,则 AB=2 .
8. 在 △ABC 中,已知 AB⋅AC=9,sinB=csA⋅sinC,S△ABC=6,P 为线段 AB 上的点,且 CP=x . CACA+y⋅CBCB ,则 xy 的最大值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 C
【详解】试题分析: 由题设 sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC=sinCcsA ,即 sinAcsC=0 ,也即 csC=0 ,所以 C=90∘ ,又因 bccsA=9 ,故 b2=9 ,即 b=3 ; 因为 12ab=6 , 故 a=4,c=5 , 故建立如图所示直角坐标系 xOy ,则 A3,0,B0,4 , 则由题设可知 Px,y ,直线 AB:x3+y4=1 且 x>0,y>0 ,所以 x3+y4=1≥2xy12 ,即 xy≤3 ,应选 C .
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 a,b,c 是三个非零向量，且 z1,z2 是复数，则下列命题正确的有( )
A. 若 z1⋅z2=0 ,则 z1=0 或 z2=0 B. a⋅bc−c⋅ab=0
C. 设复数 z1=21−i ,则 z1=1−i D. 若 a=b ,则 3a>2b
【答案】 AC
【详解】对于 A ,设 z1=a+bi,z2=c+di ,
z1z2=a+bic+di=ac−bd+ad+bci=0,
则 ac−bd=0ad+bc=0⇒ac2+bd2+ad2+bc2=0 ,
即 a2+b2c2+d2=0 ,
解得 a=b=0 或 c=d=0 ,
则 z1=0 或 z2=0,A 选项正确;
对于 B : 因为 a⋅bc 与 c 共线, c⋅ab 与 b 共线,
因为 a,b,c 为非零向量,所以当 b,c 不共线时, a⋅bc−c⋅ab=0 不一定成立, B 选项错误;
对于 C : 复数 z1=21−i=21+i1−i1+i=1+i ,则 z1=1−i,C 选项正确;
对于 D : 向量不能比较大小,所以 3a>2b 错误, D 选项错误;
10. 在边长为 5 的正方形 ABCD 中, AP=xAB+yAD ,则下列结论正确的是 ( )
A. 若点 P 在 BD 上，则 x+y=1
B. x+y 的取值范围为 1,3
C. 若点 P 在 BD 上,则 x2+y24 的最小值为 18
D. 若 a=35AB,b=−12AB+32AD ,则 a 在 b 上的投影向量为 −56b
【答案】 AC
【详解】 A ,因为点 P 在 BD 上,则 P,B,D 三点共线,所以 x+y=1 ,故 A 正确; B ,如图建立平面直角坐标系,如图所示,
则 A0,0,B5,0,C5,5,D0,5 ,设 Pm,n ,
因为 AP=xAB+yAD ,所以 m,n=x5,0+y0,5 ,
即 m=5x,n=5y ,所以 x+y=m+n5 ,
因为 m,n∈0,5 ,所以 m+n∈0,10 ,则 x+y∈0,2 ,故 B 错误;
C,x2+y24=x+y2−2xy4=1−2xy4≥1−2×x+y224=18 ,当且仅当 x=y=12 时取等号, 所以当 P 在线段 BD 上时, x2+y24 的最小值为 18 ,故 C 正确;
D,a⋅b=35AB−12AB+32AD=−310AB2+3310AB⋅AD=−152 ,
b2=−12AB+32AD2=14AB2−32AB⋅AD+34AD2=25, 则 a 在 b 上的投影向量为 a⋅bb2⋅b=−15225b=−310b ,故 D 错误.
11. 在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，下列与 △ABC 有关的结论，正确的是 ( )
A. 若 a=2,A=30∘ ,则 b+2csinB+2sinC=2
B. 若 a=4 ，且 B=π3 时，满足条件的三角形有两解，则 b∈23,4
C. 若 △ABC 为锐角三角形，且 B=π3 ，则 csA+csC 的取值范围是 32,1
D. 若 a+b=ccsA+csB,c=1 ,则该三角形内切圆面积的最大值是 3−224π
【答案】 BCD
【详解】对于 A ,若 a=2,A=30∘ ,则由正弦定理知, bsinB=2c2sinC=asinA=4 ,
所以 b+2csinB+2sinC=4 ,所以 A 不正确;
对于 B ,若 a=4 ,且 B=π3 ,且满足条件的三角形有两解,则 a>b,A 为锐角或钝角.
由正弦定理,得 b=asinBsinA=23sinA .
因为 sinA∈32,1 ,所以 b∈23,4 ,所以 B 正确;
对于 C ,若 △ABC 为锐角三角形,且 B=π3 ,则 A+C=2π3 ,
所以 csA+csC=csA+cs2π3−A=csA+cs2π3csA+sin2π3sinA
=32sinA+12csA=sinA+π6.
因为 C=2π3−A