江苏省淮阴中学教育集团2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省淮阴中学教育集团2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，，若，，则为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．3C．D．
3．已知为锐角,，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知，，，
（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角所对的边分别为，已知，点在所在的平面内，满足，且，则（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．有最大值D．有最小值
7．平行四边形中，，，，，垂足为，是中点，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，内角，，的对边分别是，，．若，的面积等于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，则是钝角三角形
D．若，则是等边三角形
10．已知向量，，则（ ）
A．若与垂直，则B．若，则的值为-5
C．若，则D．若，则与的夹角为60°
11．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若向量，满足，，与的夹角为，则的值为 ．
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，要使该三角形有两解，则实数m的取值范围为 .
14．已知的三条边，，满足，，分别以边，为一边向外作正方形，如图，分别为两个正方形的中心其中，，三点不共线，则当的值最大时，的面积为 ．

四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，有两条相交成的直路，，交点是，甲、乙两人分别在，上行走，一开始，甲在距点的点处，乙在距点的点处，现在他们同时以的速度行走，且甲沿的方向，乙沿的方向，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为．
(1)若过小时后，甲到达点，乙到达点，请用，表示
(2)若过小时后，甲到达点，乙到达点，请用，表示
(3)什么时间两人间的距离最短
16．已知是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，且，求；
(2)若的夹角为，，求在上的投影向量的坐标.
17．如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
18．由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．
(1)试用表示
(2)求的值
(3)已知方程在上有三个根，记为，，，求证：．
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求证：是直角三角形；
(2)已知，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值；
②记，.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，，则，
，
因为，则，①
因为，则，可得，②
联立①②可得，因此，.
故选A.
2．【答案】D
【详解】因为，所以，解得，
所以，
故选D.
3．【答案】A
【详解】由,，
则，
得到①，又因为为锐角，②，由①②解得，
故选A.
4．【答案】B
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】，则，整理得，
而向量均为非零向量，则反向共线且，有；
反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选B.
5．【答案】B
【详解】，
即，则，
因，则，化简得，
即，即，
因，，则，，
故或，即（舍）或，
则
故选B.
6．【答案】D
【详解】由，则，即，
，
故，由、都为单位向量，故平分，
故，
则，则，
当且仅当时，等号成立，
即，即有最小值.
故选D.
7．【答案】C
【详解】解：因为，，，
所以，所以，
因为，所以，
因为，
所以，所以，，
所以，
所以在中，，
所以，
因为是中点，所以，
，
故选C.
8．【答案】D
【详解】因为的面积等于，
所以，
由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
因为，所以由正弦定理得,
可得，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，
所以
故选D.
9．【答案】CD
【详解】解：对于选项，
利用诱导公式，整理得或，
所以或，
故为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于选项，整理得或，
故，或，故错误；
对于选项，必有一个负值，
假若为，则，
所以，故为钝角三角形，故正确．
对于选项：由于，
所以，
故，
整理得，
所以为等边三角形．
故正确．
故选CD．
10．【答案】ABC
【详解】对于A，若与垂直，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，此时，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，注意到此时，
与的夹角的余弦值为，故D错误.
故选ABC.
11．【答案】ABD
【详解】由，得，
同除，得，
由，故，
则，
解得，取等号时，
注意到，
于是，故A，B正确；
对于C选项，结合条件可得：
，
解得或，
但由AB选项可知都不可能成立，故C选项错误；
对于D选项，，
由知，，
∴，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】因为，，与的夹角为，
所以.
13．【答案】
【详解】要使三角形有两解，由正弦定理，只需，
即，解得：.
故实数m的取值范围为.
14．【答案】
【详解】解：连接和，

在三角形中，
，，
设，
由余弦定理得：
，①
又，
，②
在三角形中，
由余弦定理可得：，
解得：，③
将②，③代入①可得：
，
当且仅当时取等号，
此时，的面积为：.
15．【答案】(1)
(2)
(3)过小时后两人间的距离最短
【详解】（1）若过小时后，甲到达点，乙到达点，
则，，
故．
（2）若过小时后，甲到达点，乙到达点，
则，，
故．
（3），
则
当时，有最小值，故过小时后两人间的距离最短
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为,
所以,
所以.
（2）因为
所以在上的投影向量为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四边形的周长为；
（2）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以四边形的面积为．
18．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）解：（1）因为，
（2）
所以，
因为，
因为，
，
即
因为，解得（已舍）.
（3）（3）因,故可令，
故由可得:
由（1）得:，
因，故，
故,或,或
即方程的三个根分别为，
又，故，
于是，
19．【答案】(1)证明见解析
(2)①②存在，，
【详解】（1）证明：在中，因为，
且，
所以，
即，
所以或者.
当时，即，所以为直角三角形；
当时，，
从而，因此，所以为直角三角形.
综上所述，是直角三角形.
（2）解：①因为，所以，
又，，所以，.
如图，设，，
则在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以.
所以，
因为，所以，
故当，即时，.
②假设存在实常数，对于所有满足题意的，
都有成立，
则存在实常数，对于所有满足题意的，
都有.
由题意，是定值，
所以，是定值，
对于所有满足题意的成立，
故有，
因为，从而，
即，
因为为的内角，所以，
从而，.