江苏省淮阴中学教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份江苏省淮阴中学教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，若，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，则，
，
因为，则，①
因为，则，可得，②
联立①②可得，因此，.
故选：A.
2. 已知，则（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，解得，
所以.
故选：D.
3. 已知为锐角，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，，
则，
得到①，又为锐角，②，由①②解得.
故选：A.
4. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，则，
整理得，
而向量均为非零向量，则反向共线且，有；
反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知，，，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
即，则，
因，则，化简得，
即，即，
因，，则，，
故或，即（舍）或，
则.
故选：B.
6. 在中，角所对的边分别为，已知，点在所在的平面内，满足，且，则（ ）
A. 有最大值B. 有最小值
C. 有最大值D. 有最小值
【答案】D
【解析】由，则，即，
，
故，由、都为单位向量，故平分，
故，
则，则，
当且仅当时，等号成立，
即，即有最小值.
故选：D.
7. 平行四边形中，，，，，垂足为，是中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以，，
所以，
所以在中，，
所以，
因为是中点，
所以，.
故选：C.
8. 在中，内角，，的对边分别是，，．若，的面积等于，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为的面积等于，
所以，
由正弦定理得，所以，
因为，所以，
因为，所以由正弦定理得，可得，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，所以.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则是等边三角形
【答案】CD
【解析】对于选项，
利用诱导公式，整理得或，所以或，
故为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于选项，整理得或，
故，或，故B错误；
对于选项，必有一个负值，
假若为，则，所以，故为钝角三角形，故C正确．
对于选项：由于，所以，
故，整理得，所以为等边三角形，故D正确．
故选：CD．
10. 已知向量，则（ ）
A. 若与垂直，则B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为
【答案】ABC
【解析】A. 若与垂直，则，，正确；
B. 若，则，，，正确；
C. 若，，，正确；
D. 若，，，D错误.
故选：ABC．
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由，得，
同除，得，
由，故，
则，
解得，取等号时，
注意到，于是，故A，B正确；
对于C选项，结合条件可得：
，
解得或，
但由AB选项可知都不可能成立，故C选项错误；
对于D选项，，
由知，，
∴，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量，满足，，与的夹角为，则的值为________．
【答案】
【解析】因为，，与的夹角为，所以.
13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，要使该三角形有两解，则实数m的取值范围为_______.
【答案】
【解析】要使三角形有两解，由正弦定理，只需，
即，解得：.
故实数m的取值范围为.
14. 已知的三条边，，满足，，分别以边，为一边向外作正方形，如图，分别为两个正方形的中心其中，，三点不共线，则当的值最大时，的面积为__________．
【答案】
【解析】连接和，
在三角形中，，，
设，
由余弦定理得：
，①
又，
，②
在三角形中，
由余弦定理可得：，
解得：，③
将②，③代入①可得：
，
当且仅当时取等号，
此时，的面积为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，有两条相交成直路，，交点是，甲、乙两人分别在，上行走，一开始，甲在距点的点处，乙在距点的点处，现在他们同时以的速度行走，且甲沿的方向，乙沿的方向，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为．
（1）若过小时后，甲到达点，乙到达点，请用，表示
（2）若过小时后，甲到达点，乙到达点，请用，表示
（3）什么时间两人间的距离最短
解：（1）若过小时后，甲到达点，乙到达点，
则，，
故．
（2）若过小时后，甲到达点，乙到达点，
则，，
故．
（3），
则
，
当时，有最小值，故过小时后两人间的距离最短.
16. 已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若的夹角为，，求在上的投影向量的坐标.
解：（1）因为，
所以，
所以.
（2）因为，
所以在上的投影向量为
.
17. 如图，在平面四边形中，，，，．
（1）求四边形的周长；
（2）求四边形的面积．
解：（1）因为，，
所以，
在中，
由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四边形的周长为.
（2）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以四边形的面积为．
18. 由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．
（1）试用表示
（2）求的值
（3）已知方程在上有三个根，记为，，，求证：．
解：（1）因为，
.
（2），
所以，
因为，
因为，
，
即，
因为，解得（已舍）.
（3）因，故可令，
故由可得：，
由（1）得:，
因，故，
故，或，或，
即方程的三个根分别为，
又，故，
于是，
.
19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
（1）求证：是直角三角形；
（2）已知，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值；
②记，.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.
解：（1）证明：在中，因为，
且，所以，
即，
所以或者.
当时，即，所以为直角三角形；
当时，，
从而，因此，所以为直角三角形.
综上所述，是直角三角形.
（2）①因为，所以，
又，，所以，.
如图，设，，
则在中，由正弦定理，得，所以.
在中，由正弦定理，得，所以.
所以，
因为，所以，
故当，即时，.
②假设存在实常数，对于所有满足题意的，
都有成立，
则存在实常数，对于所有满足题意的，
都有.
由题意，是定值，
所以，是定值，
对于所有满足题意的成立，
故有，
因为，从而，
即，
因为为的内角，所以，
从而，.