2025年江苏省淮安市中考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025年江苏省淮安市中考数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【详解】本题考查相反数，根据相反数的定义进行判断即可．
解∶的相反数是3；
故选D．
2. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】本题考查轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
解：A．不是轴对称图形，不合题意；
B．不是轴对称图形，不合题意；
C．是轴对称图形，符合题意；
D．不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
3. 2025年五一假期，淮安各大景区景点人气爆棚．经了解，淮安全市共接待游客约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元．数据“24.2亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】
本题主要考查了科学记数法，先确定a的值（），再根据小数点移动位数确定n的值即可。
解：24.2亿，
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
本题考查了幂的运算，负整数指数幂，合并同类项．
根据同底数幂的除法运算法则判断A,B、根据幂的乘方运算法则判断D、根据合并同类项法则判断C即可．
解：A、，正确，故本选项符合题意；
B、，原选项错误，故本选项不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，故本选项不符合题意；
D、，原选项错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
5. 如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
本题考查了点、线、面、体，面动成体，根据旋转的性质作出图形求解即可。
解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥，
故选：A．
6. 《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】
本题考查二元一次方程组的实际应用，设设合伙人数为x人，金价为y钱，根据等量关系列出方程组即可求解。
解：设设合伙人数为x人，金价为y钱，由题意，得：
；
故选B．
7. 如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
详解】
本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理．
延长与直线交于点，根据正六边形的内角和求出的度数，再由平行线的性质得到，然后根据三角形三个内角和等于180°求解即可．
解：延长与直线交于点，
∵正六边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8. 在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】
本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数。过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，根据相似三角形的判定定理证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，然后将A点坐标代入解析式即可求解．
解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，
直角三角板中，
，
轴，
，
直角三角板中，
，
，
又，
，
，
点B坐标为，
，，
，，
点A坐标为，
点A在反比例函数的图像上，
，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 若分式有意义，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【详解】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列出分母不为零的关系式即可求解．
解：若分式有意义，
则，
解得，
故答案为：．
10. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【详解】本题考查了二次根式的乘法运算。根据二次根式的乘法运算法则（根号不变，里面相乘）计算即可．
解：，
故答案为：．
11. 若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______．
【答案】
【解析】
【详解】
本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质可得另一个底角的度数，再由三角形的内角和是180°即可求出顶角的度数。
解：∵等腰三角形的一个底角为，
∴另一个底角的度数也为，
∴它的顶角的度数是；
故答案：．
12. 点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【详解】
本题考查的是坐标平移，根据“上加下减”的原则，结合点沿y轴平移的规律，横坐标不变，纵坐标加上平移的单位长度即可求解。
解：点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是，即．
故答案为：．
13. 如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则______．
【答案】4
【解析】
【详解】
本题考查平行四边形的性质，直角三角形斜边中线定理，三角形的中位线定理．根据直角三角形三角形斜边中线定理，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，再根据三角形中位线得到即可求解。
解：∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵点F为的中点，
∴；
故答案为：4．
14. 如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可）
【答案】6（答案不唯一，大于5均可）
【解析】
【详解】
本题考查一次函数图象的旋转问题．将A点坐标代入直线方程求出a的值，再根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解．
解：直线经过点，
，即
设直线分别交x轴和y轴与、两点，
当时，；当时，，
即，，
∴，
，
过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图，
则轴，，
∴，
∴
∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置，
∵点在上，
∴当，则点在点的右上方，此时，
故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）．
15. 若，则的最大值是______．
【答案】
【解析】
【详解】
本题考查二次函数求最值，利用整体代入思想将代数式转化为关于的二次函数，根据二次函数性质求最值即可．
解：∵，
∴，
∴；
∴当时，有最大值为；
故答案为：．
16. 观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为______．
【答案】
【解析】
【详解】
本题考查了圆周角定理，弧长公式，等边三角形的性质等知识点，先作出点关于的对称点，连接，以点为圆心，为半径画圆，再根据弧长公式求解整个图形的周长即可．
解：先作出点关于的对称点，连接，以点为圆心，为半径画圆，
则，
∴，
同理作出圆，
∴点在以为弦的优弧上，如图：
延长交圆于点，当点在劣弧上时，此时不符合题意，如图；
∴点P组成的图形应去掉6段和劣弧一样的弧，如图：
作以点为圆心，为半径的圆与圆交于点，当在劣弧上也符合题意，此时，
∴点也可以在另外两段和劣弧一样的弧，如下图，整个实线图形即为所有符合条件的观察点组成的图形，
∴周长为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】
本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集，
（1）进行特殊角的三角函数值，去绝对值和零指数幂的法则化简，再根据计算即可；
（2）先根据一元一次不等式分别求出每一个不等式的解集，再根据大小取中可得不等式组的解集．
解：（1）原式；
（2）
由①，得：；
由②，得：；
∴．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【详解】
本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先根据分式混合运算法则通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，再代入数值进行计算即可。
解：原式
；
当时，
原式．
19. 已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【详解】
本题考查全等三角形的判定．根据，得到，利用三角形全等的判定定理进行证明即可．
证明：∵，
∴，即：，
在和中，
，
∴．
20. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ；
（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【详解】
本题考查利用概率公式计算概率．
利用从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的数除以盒子里卡片的总数，即可求出答案；
（2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出片恰好1张为“美”，1张为“好”的结果数量，利用基本概率公式求解即可。
（1）解：盒子里装有四张卡片，
从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是，
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”，1张为“好”的结果有2种，
∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为：．
21. 为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析．
数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图
数据分析：
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由．
【答案】（1）14，13，14
（2）建议多进A型号扫地机器人．理由见解析
【解析】
【详解】
本题考查平均数、中位数、众数，利用统计数据做决策：
（1）结合条形统计图，根据平均数、中位数、众数的定义进行计算可得a,b,c的值，即可求解；
（2）比较平均数、中位数，进而做出决策．
（1）解：A型号平均数：；
将B型销量按从小到大顺序排列为：5，8，11， 12，14，14，15，17，
第4位和第5位平均数为：，
B型号中位数；
B型销量中14出现了2次，出现的次数最多，
B型号众数；
故答案为：14，13，14；
（2）解：建议多进A型号扫地机器人．
理由：A型号扫地机器人销量的平均数、中位数均比B型号大．
22. 如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求扇形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【详解】本题考查了切线的判定，扇形面积，直角三角形的性质，圆周角定理。
（1）先根据直角所对的圆周角等于90°得到，根据三角形内角和定理则，再由，得到，即可证明，即可证明是的切线；
（2）先根据同弧所对的圆周角是是圆心角的一半得到，再由扇形面积公式求解即可．
（1）证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积．
23. 某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【答案】（1）
（2）10元或30元
【解析】
【详解】
本题考查了一次函数和二次函数的实际应用。
（1）设函数表达式为，根据题意将时，；当时，时代入求出k,b的值即可。
（2）由（1）知，，然后表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可．
（1）
解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，
∴设函数表达式为，
∵当时，；当时，；
∴，解得，
∴，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，，
∴日销售额，
∵玩具日销售额为300元，
∴令，即，
整理可得，
解得，，
∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元．
24. 已知：如图，矩形．
（1）尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图形中，若，，求的长．
【答案】（1）图见解析
（2）
【解析】
【详解】
本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理。
（1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求；
（2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而根据线段差求出的长，设，在中，利用勾股定理列方程求出x的值，进解方程即可求出答案。
（1）
解：如图，即为所求；
（2）
∵四边形是矩形，
∴，
∵由折叠可得，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．
25. 已知二次函数（m为常数）．
（1）若点在该函数图像上，则 ；
（2）证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
（3）若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
【答案】（1）2 （2）见解析
（3）或
【解析】
【详解】
本题考查二次函数的图象和性质。
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）根据二次函数的根的判别式进行证明即可；
（3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围．
（1）
解：将代入，得：，
解得，
故答案为：2；
（2）解：，
，
，
，
该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
（3）解：的对称轴为直线，
二次项系数，
二次函数图像开口向上，
，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，
即，
或．
26. 综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行．
【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米；
②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，）
【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围．
【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，最小值为．
【解析】
【详解】
本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质．
（1）①由题意知，米，，根据线段和求解即可；②利用平行线的性质得出和，再解直角三角形可得OK的值，再由线段差计算即可；
（2）延长交于点，根据平行线的性质求出相关角的度数，再解直角三角形可得，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可；
（3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，延长交于点，过作交于，延长交于，过作交于，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可．
解：（1）①由题意知，米，米，
米，
即点到地面的距离是米，
故答案为：；
②米，点为中点，
米，
，
，
，
，
在中，米，
米，
故答案为：；
（2）如图，延长交于点，
则，
米，
，
，
，
，
在中，米，
，
即，
延长交于点，过作交于，
则（米），，，
为使头部不被淋湿，
所以，
解得，又，
所以；
；
（3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图，
延长交于点，过作交于，
延长交于，过作交于，
则，，，
，
所以中，，，
在中，，
所以，
在中，，
又，
所以此时头部不会被淋湿，
综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为．
27. 探究与应用
【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空：
根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ．
【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积．
【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长．
【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ．
【答案】（1），，，见解析（2）（3）（4）
【解析】
【详解】本题主要考查了三线合一，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点。
（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可；
（2）利用（1）中结论解决问题即可；
（3）延长交于点，连接，利用（1）中结论得到，再根据相似三角形的判定定理证明，根据相似三角形的性质定理得到，推出，代入中，进行求解即可；
（4）设，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出，作，垂足分别为，则：，根据，设，则，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出的长，进行求解即可．
解：（1）如图（1），过点A作于点D，
在中，
∵，
∴．①
在中，
∵，
∴．②
由①－②得：．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴，
故答案为：，，；
（2）∵等腰直角三角形中，，，
∴，
∵，
∴；
由（1）中结论可知：，即：，
∴，
∴正方形的面积；
（3）延长交于点，连接，则：，
由（1）中结论可知：，即：，
∴；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
（4）∵，
∴，
设，
则：，
∵，
∴，
∴，
作，垂足分别为，则：，
∵，
∴设，则，
在中，，
∴，，
∴，，
同理：，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
平均数
中位数
众数
A型号
a
14
12
B型号
12
b
c
每件的售价x/元
…
25
28
31
…
日销售量y/件
…
15
12
9
…
如图（1），过点A作于点D，
在中，∵，∴． ①
在中，∵，∴ ． ②
由①－②得：．
∵，，
∴ ．
∴．
……