2026届陕西省渭南市高三冲刺模拟数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届陕西省渭南市高三冲刺模拟数学试卷（含答案解析），共13页。试卷主要包含了若,,,则下列结论正确的是，下列选项中，说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
2．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ）

A．B．C．D．
3．设，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（ ）
A．B．
C．D．
5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了
6．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( )
A．B．
C．D．
8．若,,,则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
9．已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．下列选项中，说法正确的是（ ）
A．“”的否定是“”
B．若向量满足 ，则与的夹角为钝角
C．若，则
D．“”是“”的必要条件
11．已知直线：过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切，与相切于点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知两个单位向量满足，则向量与的夹角为_____________.
14．已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____．
15．设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.
16．若函数在区间上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为AB，BC的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
18．（12分）已知函数，为的导数，函数在处取得最小值．
（1）求证：；
（2）若时，恒成立，求的取值范围．
19．（12分）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．（12分）已知，.
（1）解不等式；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.
21．（12分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，，，，，，.
（1）求证：；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值.
22．（10分）已知变换将平面上的点，分别变换为点，．设变换对应的矩阵为．
（1）求矩阵；
（2）求矩阵的特征值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可．
【详解】
由题意得，
∵，
∴．
故选C．
本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题．
2．D
【解析】
利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可.
【详解】
在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为，
矩形中位于曲线上方区域的面积为，
矩形的面积为，
由几何概型的概率公式得，所以，.
故选：D.
本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
3．C
【解析】
首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.
【详解】
由题知，满足，可行域如下图所示，
可知目标函数在点处取得最小值，
故目标函数的最小值为，
故的取值范围是.
故选：D.
本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.
4．D
【解析】
设，在中，由余弦定理得，从而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.
【详解】
设，在中，由余弦定理得，
则，从而，
由正弦定理得，即，
从而，
在中，由余弦定理得：，
则.
故选：D
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
5．C
【解析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
6．C
【解析】
根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】
∵a>0，b>0，a+b=1，
∴，
当且仅当时取“＝”号．
答案：C
本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.
7．A
【解析】
由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.
【详解】
根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，
所以 的周期为， 则，
所以，
由正弦函数和正切函数图象可知正确.
故选：A.
本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.
8．D
【解析】
根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.
【详解】
由指数函数的性质，可得，即，
又由，所以.
故选：D.
本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
9．C
【解析】
转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】
函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.
10．D
【解析】
对于A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0”，即可判断出；对于B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角；对于C当m=0时，满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；对于D根据元素与集合的关系即可做出判断．
【详解】
选项A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0”，因此A不正确；
选项B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，因此不正确.
选项C当m=0时,满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正确；
选项D若“”，则且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要条件，故正确.
故选：D.
本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.
11．A
【解析】
根据直线：过双曲线的一个焦点，得，又和其中一条渐近线平行，得到，再求双曲线方程.
【详解】
因为直线：过双曲线的一个焦点，
所以，所以，
又和其中一条渐近线平行，
所以，
所以，，
所以双曲线方程为.
故选：A.
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12．D
【解析】
可设的内切圆的圆心为，设，，可得，由切线的性质：切线长相等推得，解得、，并设，求得的值，推得为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值．
【详解】
可设的内切圆的圆心为，为切点，且为中点，，
设，，则，且有，解得，，
设，，设圆切于点，则，，
由，解得，，
，所以为等边三角形，
所以，，解得.
因此，该椭圆的离心率为.
故选：D.
本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由得，即得解.
【详解】
由题意可知，则.
解得，所以，
向量与的夹角为.
故答案为：
本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．
【解析】
根据题意可知的两根为,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解即可.
【详解】
解：因为函数,
关于的不等式的解集是
的两根为：和；
所以有：且；
且；
；
故答案为：
本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.
15．
【解析】
利用二项式定理的通项公式即可得出.
【详解】
的二项展开式的通项公式：，
令，解得.
∴，
解得.
故答案为：-2.
本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.
16．；
【解析】
求出函数的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间上，第四个零点在区间外即可．
【详解】
由，得，，
，，
∵，
∴ ，解得．
故答案为：．
本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间上．由此可得的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）通过证明面，即可由线面垂直推证面面垂直；
（2）根据面，将问题转化为求到面的距离，利用等体积法求点面距离即可.
【详解】
（1）因为棱柱是直三棱柱，所以
又，
所以面
又，分别为AB，BC的中点
所以//
即面
又面，所以平面平面
（2）由（1）可知////
所以//平面
即点到平面的距离等于点到平面的距离
设点到面的距离为
由（1）可知，面
且在中，，
易知
由等体积公式可知
即
由得
所以到平面的距离等于
本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.
18．（1）见解析； （2）.
【解析】
（1）对求导，令，求导研究单调性，分析可得存在使得，即，即得证；
（2）分，两种情况讨论，当时，转化利用均值不等式即得证；当，有两个不同的零点，，分析可得的最小值为，分，讨论即得解.
【详解】
（1）由题意，
令，则，知为的增函数，
因为，，
所以，存在使得，即．
所以，当时，为减函数，
当时，为增函数，
故当时，取得最小值，也就是取得最小值．
故，于是有，即，
所以有，证毕．
（2）由（1）知，的最小值为，
①当，即时，为的增函数，
所以，
，
由（1）中，得，即．
故满足题意．
②当，即时，有两个不同的零点，，
且，即，
若时，为减函数，（*）
若时，为增函数，
所以的最小值为．
注意到时，，且此时，
（ⅰ）当时，，
所以，即，
又
，
而，所以，即．
由于在下，恒有，所以．
（ⅱ）当时，，
所以，
所以由（*）知时，为减函数，
所以，不满足时，恒成立，故舍去．
故满足条件．
综上所述：的取值范围是．
本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.
19．（1）； （2）.
【解析】
（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到的取值范围，判断，为正，去掉绝对值，转化为在时恒成立,得到，，在恒成立，从而得到的取值范围.
【详解】
（1）当时，，
由，得，即，
或，即，
或，即，
综上：或，
所以不等式的解集为.
（2），，
因为，，
所以，
又，，，
得.
不等式恒成立，即在时恒成立，
不等式恒成立必须，，
解得.
所以，
解得，
结合，
所以，
即的取值范围为.
本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果; （2）.作出函数的图象, 当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，由图可得结果.
【详解】
（1）不等式，即为.
当时，即化为，得，
此时不等式的解集为，
当时，即化为，解得，
此时不等式的解集为.
综上，不等式的解集为.
（2）
即.
作出函数的图象如图所示，
当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.
所以实数的取值范围是.
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
21．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取中点为，连接，，，，根据线段关系可证明为等边三角形，即可得；由为等边三角形，可得，从而由线面垂直判断定理可证明平面，即可证明.
（2）以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：取中点为，连接，，，如下图所示：
因为，，，
所以，故为等边三角形，则.
连接，因为，，
所以为等边三角形，则.
又，所以平面.
因为平面，
所以.
（2）由（1）知，
因为平面平面，平面，
所以平面，
以为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易求，则，，，，
则，，.
设平面的法向量，
则即令，则，，
故.
设平面的法向量，
则则
令，则，，故，
所以.
由图可知，二面角为钝二面角角，
所以二面角的余弦值为.
本题考查线面垂直的判定，由线面垂直判定线线垂直，由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小，属于中档题.
22．（1）（2）1或6
【解析】
（1）设，根据变换可得关于的方程，解方程即可得到答案；
（2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案；
【详解】
（1）设，则，，
即，解得，则．
（2）设矩阵的特征多项式为，可得，
令，可得或．
本题考查矩阵的求解、矩阵的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.