江西省南昌市重点高中2025-2026学年高一下学期4月阶段性检测 数学（含解析）

这是一份江西省南昌市重点高中2025-2026学年高一下学期4月阶段性检测 数学（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四个式子中可以化简为的是（ ）
①；②；③；④
A．①④B．①②C．②③D．③④
2．已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，满足，，且与的夹角、与的夹角均为，则在方向上的投影数量为（ ）
A．B．4C．D．8
4．已知向量.若三点共线，则（ ）
A．B．C．3D．4
5．如图，已知，则（ ）
A．B．
C．D．
6．若平面向量两两夹角相等，且，则（ ）
A．B．36C．或6D．3或36
7．如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与交于点，且，，其中，则的最小值为（ ）

A．4B．9C．D．
8．若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则＝（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，且、、、四点构成平行四边形
B．若为非零实数，且，则非零向量与共线
C．在中，若，则点一定在角的平分线上
D．若向量，则与的方向相同或相反
10．已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上单调递增
11．已知，，分别为的边，，的中点，且，，交于点，令，，表示相应图形的面积，则（ ）
A．B．
C．D．，，可作为一个三角形的三边长
三、填空题
12．若，且，则______．
13．已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________．
14．已知为偶函数，若，恒成立，则实数的取值范围________.
四、解答题
15．已知向量，满足，，.
(1)求与的夹角；
(2)若，求的值.
16．如图所示，某地夏天从时的用电量变化曲线近似满足函数．

(1)写出时的函数的解析式；
(2)若每日时的用量变化也满足图中曲线关系，当用电量大于等于45万会导致供电设备供能紧张，求出每日供能紧张的时间段．
17．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题：
(1)已知向量，满足，，，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
(3)已知向量，，，求的最小值．
18．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求b的值与函数的解析式；
(2)设且.判断函数在上的单调性，及求的取值范围.
(3)若，使成立，求实数k的取值范围.
19．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．

(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】依题意，，①正确；
假定，则，即，因此，
无法确保，假设是错的，②错误；
是为一组邻边的平行四边形的以点为起点的对角线所对应的向量，不等于，③错误；
，④正确.
故选：A
2．D
【详解】对于A，由题终边可能在第一象限，轴正半轴，或第二象限，则可能为正值，负值或0，故A错误；
对于B，终边可能在第一象限或第三象限，则可能为正值或负值，故B错误；
对于C，由B分析，可能为正值或负值，故C错误；
对于D，由B分析，一定为正值，故D正确.
故选：D
3．A
【详解】在方向上的投影数量为
．
故选：A.
4．A
【详解】若，，三点共线，则向量与共线，
因为，，
由共线条件可得：，
化简可得：，求解得：.
故选：A.
5．C
【详解】因为，所以，
则，
因为，所以，即，
则.
故选：C
6．C
【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况，
即，，两两夹角为或，
当夹角为时，；
当夹角为时，，
则
；
综上所述：或.
7．D
【详解】因为G为的中点，所以，
又是的中线，即为的中点，所以，
所以.
由，，其中，得，，
所以.
因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
故选：D.
8．A
【详解】函数图像关于对称，说明在时成立，解得：，
函数在上单调递增，说明在该区间内满足正弦函数的单调递增条件，
所以且，
则当时，解得：，
结合和，得到；
将代入原函数，得到，
则.
故选：A.
9．BC
【详解】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但、、、四点不能构成平行四边形，故A错误；
对于B，设为非零实数，且，则非零向量与共线，故B正确；
对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合，
又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角的平分线上，故C正确
对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误.
故选：BC
10．AC
【详解】因为的一个零点为，的图象关于点对称，且在上单调递增，
所以，所以，A正确；
由及，得，B错误；
所以，C正确；
因为时，不存在，因为，
所以函数在上单调递增，故D错误．
11．BCD
【详解】由题意可知为的重心，

∵分别为中点，则，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项正确；
∵，∴，即，
∴可作为三角形三边，D选项正确.
故选：BCD.
12．
【详解】因为，所以，
即，
因为，所以.
故答案为：
13．
【详解】因为，所以，解得：,
则在方向上的投影向量的坐标为
14．
【详解】因为为偶函数，
所以，即，
又，，即恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，由不等式恒成立可得，解得，
综上实数的取值范围为.
故答案为：
15．(1)；
(2)或．
【详解】（1）由已知，
，
，，
又，所以；
（2），
解得或．
16．(1)
(2)时
【详解】（1）由图象可知从时的图象是的半个周期的图象，
．
，
，
将代入上式，得，
即，即，
又，
所求解析式为．
（2）由题意得，
即，
则，
解得，
又，
，
因此每日供能紧张的时间段为时.
17．(1)4
(2)7
(3)
【详解】（1）由已知可得，.
又，，
则.
又，所以，
所以，.
（2）由已知可得，，，
所以有，，，
则.
又，
所以，
所以，.
（3）由已知可得，
所以，，则，.
又，
所以，.
因为，所以.
令，则，
当且仅当，，即时等号成立，
所以，的最小值为，
所以的最小值为.
18．(1)，
(2)单调递增，
(3)
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，
即，整理得恒成立，
即，所以，
因不恒为0，则，故；
（2）函数在上是增函数， 证明如下：
由（1）可得，函数，
任取，，
，
因为，所以，又，，所以，
即，所以函数在上是增函数；
，，
该函数的图象对称轴为，，则当时，取最小值1，
当时，，当时，，
则的最大值为，故，
因函数在上是增函数，故，
又，故的取值范围为.
（3）因为存在，使成立，即
又因函数是定义在上的奇函数，则不等式可转化为，
因为函数在上是增函数，所以，
依题意，，使成立，即，
因为，
因为，故当或时，取得最小值0，即，
故的取值范围为.
19．(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）依题意，
，
；
（2）因交于，由（1）知，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，
所以，所以，即；
（3）由已知，
因是线段上动点，则令，
，
又不共线，则有，得，
因为，
所以在上递增，
所以，故的取值范围是．