江西省宜春市重点高中2025-2026学年高二下学期4月阶段性检测试卷 数学（含解析）

这是一份江西省宜春市重点高中2025-2026学年高二下学期4月阶段性检测试卷 数学（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．复数满足：，为虚数单位，为的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．设函数在处存在导数为1，则（ ）
A．B．C．2D．
4．记Sn为等差数列的前n项和，若 则 （ ）
A．B．C．1D．2
5．设等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．6B．16C．26D．36
6．如图，直线和圆，当从开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．数列中的最大项为
8．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：）
A．3937万元B．3837万元C．3737万元D．3637万元
二、多选题
9．物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
10．记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ）
A．为等差数列B．为单调递增数列
C．D．的最小值为
11．已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等比数列B．数列为等比数列
C．数列为等差数列D．
三、填空题
12．已知数列满足，，则_______．
13．曲线在处的切线方程为________．
14．如图，正方形的边长为1，连接各边的中点得到正方形，连接正方形各边的中点得到正方形，依此方法一直进行下去.记为正方形的面积，为正方形的面积，为正方形的面积，…….. 为的前项和.给出下列四个结论：
①存在常数，使得恒成立；②存在正整数，当时，；③存在常数，使得恒成立；④存在正整数，当时，其中所有正确结论的序号是_________.
四、解答题
15．已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，证明：.
16．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
(1)求证：平面；
(2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．
17．一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为．
(1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率；
(2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望．
18．设数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；
（3）设，数列的前n项和为.求.
19．已知椭圆的离心率，且椭圆过点，左，右焦点分别为，，直线与椭圆交M，N两点.
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)①当k为何值时，为定值；
②在①的条件下，求面积的最大值．
参考答案
1．B
【详解】由题意可得.
2．D
【详解】，故．
3．D
【详解】由题意可知，
.
故选：D.
4．B
【详解】由已知等差数列中，得，
即，所以，
又，则公差，所以.
5．C
【详解】解法1：设等比数列的公比为.
若，则，此时，与已知矛盾，故.
由，得，
于是.
解法2：因为为等比数列，所以仍为等比数列.
令（），由已知，可得.
根据等比数列的等比中项性质，有，解得.
由，得，
因，两边同时除以，得.
所以.
6．D
【详解】由几何特征可知，直线扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，且由圆的对称性，
将此函数的图像只看一半,且图像是类似对称的，可知面积关于时间的函数的变化率是逐渐变大的，
故此函数的图像的切线的斜率应为逐渐变大的.可知D选项符合题意.
故选：D.
7．B
【详解】因为，则，因为，则，
所以，，所以，，A错；
，B对；
，C错；
因为，所以数列为递减数列，
当且时，；当且时，，
所以，中最大项为，D错.
故选：B.
8．A
【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为.
依题意可得，则，
所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，
则，即，
则，
故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元.
故选：A.
9．BC
【详解】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误，B正确；
因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率
故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误．
故选：BC.
10．ABD
【详解】由，可得，
所以，
又，符合上式，
所以，
故为等差数列，且单调递增，AB正确，
，C错误，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当，可知，
此时，
由上可知的最小值为，D正确.
11．ACD
【详解】因为数列的前项和为，且满足，，，
对于A选项，由已知等式变形可得，且，
所以，所以，数列是首项为1，公比的等比数列，
故，A正确；
对于B选项，由已知等式变形得，且，
所以数列是首项为0，公差为0的等差数列，即，故数列不是等比数列，B错误；
对于C选项，由可得，
则，则数列为等差数列，C正确；
对于D选项，，故D正确．
故选：ACD.
12．60
【详解】因为数列满足，，
所以是一个首项为，公差为2的等差数列，
由等差数列前项和公式得：.
13．
【详解】由题意得，当时，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
故答案为：.
14．①②③
【详解】记第个正方形的边长为，面积为，
由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到，可知第个正方形的边长为，
面积为，
所以，又因为，所以正方形面积构成的数列是首项为，公比为的等比数列，
其通项公式为，
对①：，因为，所以恒成立，故①正确；
对②：当时，即且为正整数，所以存在，故②正确；
对③、④：，又因为，
所以，因此当时，恒成立，故③正确；
因此当时，恒成立，故④错误.
故答案为：①②③.
15．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得
解得
所以.
（2）由，
所以
.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在三棱柱中，，，
，则.
又四边形是正方形，则，，所以.
又，平面，因此平面.
又平面，所以.
在等边中，为中点，则，
又，平面，所以平面.
（2）
取中点为，中点为，则，.
由（1）知，平面，平面，则.又，故.
又，平面，则平面.
即两两垂直.
以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为为线段中点，所以.
，，.
设平面的法向量为，
则，即，故可取.
设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．(1)
(2)的分布列为：
数学期望为1
【详解】（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立，
因此单个志愿者通过培训考核的概率为，
则单个志愿者没有通过培训考核的概率为.
因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”，
因此所求概率.
（2）由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为，
概率公式为，
分别计算概率得，，
，，
因此的分布列为：
所以数学期望为.
18．（1） （2） （3）
解析：（1）当n=1时，，所以
当n≥2时， ，且
所以得：
则数列是以1为首项，为公比的等比数列，
数列的通项公式是 ．
（2）由 且 所以：，
则：，，⋯⋯⋯，
以上n-1个等式相加得：
则：＝2－，又
所以：
（3）由题意知
则
以上两式相减得
则
恒成立
，
19．(1)
(2)①；②
【详解】（1）∵椭圆的离心率，且椭圆过点，
，∴椭圆的标准方程为；
（2）①联立：与椭圆，
即，消去y，整理得到，
设，，则，
，
，在上，
，，，，
，
，
当为定值时，即与无关，
故，解得，
②此时
又点O到直线l的距离，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
此时，
满足直线与椭圆有两个交点，则三角形面积的最大值为1．