江西省六所名校2025-2026学年高一下学期4月段考试题 数学（含解析）

这是一份江西省六所名校2025-2026学年高一下学期4月段考试题 数学（含解析），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．某扇形花坛的圆心角为弧度，半径为6米，则该花坛的弧长为（ ）．
A．米B．米C．米D．米
2．如图，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，则（ ）．
A．B．
C．D．与方向相反
3．在平行四边形ABCD中，，，则（ ）．
A．B．C．D．
4．若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．函数的定义域为（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．已知函数（其中，），点在的图象上，点为该图象在点左侧第一条渐近线与轴的交点，且，则（ ）．
A．B．C．D．
7．已知向量，是将绕起点逆时针旋转角90°后得到的向量，且，则（ ）．
A．B．C．3D．
8．已知函数在区间上单调递增，且在区间上存在唯一一条对称轴，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）．
A．零向量的方向是任意的B．单位向量都相等
C．相等向量的长度一定相等D．共线向量一定在同一条直线上
10．下列函数中，是偶函数的有（ ）．
A．B．
C．D．
11．某简谐运动模型为，其中，，，．已知在时，质点位于最高点；在时，质点位于平衡位置（即函数值为B），则（ ）．
A．
B．
C．在区间内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数
D．在区间内，质点达到最低点的次数一定是偶数
三、填空题
12．求值：______．
13．某物流机器人在仓库中执行配送任务，其运动路径如下：从原点出发，先向东移动50米，再向北移动30米，最后沿西偏南45°方向移动米．以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则该机器人最终的位置坐标为______．
14．对于函数，若存在正常数T，使得对任意恒成立，则称为“正弦周期函数”，T为其一个正弦周期．已知是定义在R上的连续正弦周期函数，且最小正弦周期为，，，则______．
四、解答题
15．已知角的终边经过点，且．
(1)求t和的值；
(2)求的值．
16．已知向量，．
(1)若向量与共线，求实数k的值；
(2)是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
17．已知函数，其图象的最高点坐标为，图象与x轴相邻两个交点的距离为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域．
18．九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，．
(1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值；
(2)为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统．
（ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长；
（ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式．
19．在中，点D在边AB上，点E在边AC上，且满足，．设BE与CD交于点P，连接AP并延长交BC于点F．设，．
(1)用，表示，；
(2)若，求xy；
(3)若点G在线段AP上，且满足，求的值．
参考答案
1．A
【详解】依题意，该花坛的弧长为米.
2．C
【详解】因为分别是边的中点，则，故A，B错误；
且与方向相同，所以，故C正确，D错误.
3．A
【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，
则，，
所以.
4．C
【详解】因为是第二象限角，
则，，可得，，
y是第四象限角，则，，解得，，
所以构成的集合为.
5．C
【详解】令，可得，
注意到，即，可得，
则，可得，整理可得，
解得或，，
所以函数的定义域为.
6．B
【详解】由题意知，，即，解得，则.
又点在的图象上，所以，即，，所以，，
又，所以，所以.
则.
7．D
【详解】依题意，，由，得，
因此，即，所以.
8．B
【详解】由题意可知：，
若，则，
因为函数在区间上单调递增，则，解得，
若，则，
因为函数在区间上存在唯一1条对称轴，则，解得，
综上所述：的取值范围是.
9．AC
【详解】对于选项A：零向量的方向是任意的，故A正确；
对于选项B：单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故B错误；
对于选项C：相等向量的模长和方向均相同，所以相等向量的长度一定相等，故C正确；
对于选项D：共线向量可能在同一条直线上，也可能在平行线上，故D错误.
10．ACD
【详解】对于A，函数的定义域为，，A是；
对于B，函数的定义域为，，B不是；
对于C，函数的定义域为，，C是；
对于D，函数的定义域为，
且，D是.
11．ACD
【详解】对于选项A：因为，即，
且，则，即，故A正确；
对于选项B：因为，即，
且，则，
当为奇数时，则，故B错误；
对于选项C：若，则，且，
因为在内有且仅有一个零点，在有2个零点，
则在内有奇数个零点，
所以在区间内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数，故C正确；
对于选项D：因为为偶函数，且在时，质点位于最高点，
根据对称性可知在区间内，质点达到最低点的次数一定是偶数，故D正确.
12．
【详解】.
13．
【详解】由题意可知：从原点出发，先向东移动50米，到达，
再向北移动30米，到达，
最后沿西偏南45°方向移动米，到达，
所以该机器人最终的位置坐标为.
14．0
【详解】对于任意角，如果，可得或，
因为是定义在上的连续正弦周期函数，且最小正弦周期为，所以，由此可得或，
分类讨论，当时，
代入，可得，
根据题目条件，，可得，
因为，所以排除此种可能性；
当时，
代入，可得，
根据题目条件，，可得，
因此，
代入，可得.
15．(1)，
(2)
【详解】（1）因为角的终边经过点，且，
则，且，解得，
即，所以.
（2）由题意可得：.
16．(1)
(2)存在，或
【详解】（1）因为向量，，则，，
若向量与共线，则，解得.
（2）因为向量，，则，，
若，则，
整理可得，解得或.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：的最小正周期，
且，由解得，
又因为最高点坐标为，则，
则，即，
且，则，可得，解得，
所以.
（2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，
再向右平移个单位长度，得到，
因为，则，
可得，即，
所以在区间上的值域为.
18．(1)最大高度为米，分；最小高度为米，分；
(2)（ⅰ）分；（ⅱ）.
【详解】（1）函数，中，，
当，即时，；当，即时，，
所以缆车运行过程中的最大高度为米，分；最小高度为米，分.
（2）（ⅰ）由，得，
因为，所以或，解得或，
所以在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长为分.
（ⅱ）依题意，改造后的函数解析式为，
由缆车的最大高度提升至800米，得，即，
由改造后缆车在时位于最低点，得，取，
则，
由，得，
改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，而函数的周期为20分钟，
因此的时间总长为缆车旋转半周的时间，而的时间总长为10，
则，解得，所以新的函数解析式.
19．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）在中，，，
所以，.
（2）由点在线段上，设，
则，而共线，
因此，解得，于是，
而，且不共线，则，
所以.
（3）设，由（2）得，而共线，则，
解得，则，，
由点在线段上，设，则，
，由，且不共线，
得，解得，因此，，
所以.