河南省许昌市2026年高考适应性考试数学试卷（含答案解析）

这是一份河南省许昌市2026年高考适应性考试数学试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了已知复数，满足，则，数列满足等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足 ，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知中，，则（ ）
A．1B．C．D．
3．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
4．设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知复数，满足，则（ ）
A．1B．C．D．5
6．为双曲线的左焦点，过点的直线与圆交于、两点，（在、之间）与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）．
A．0B．1C．2D．3
8．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）
A．7B．5C．3D．2
9．数列满足：，则数列前项的和为
A．B．C．D．
10．若函数的图象经过点，则函数图象的一条对称轴的方程可以为( )
A．B．C．D．
11．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}时，A∩B=（ ）
A．{x|x＞﹣2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．∅
12．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．对任意正整数，函数，若，则的取值范围是_________；若不等式恒成立，则的最大值为_________．
14．已知等比数列满足公比，为其前项和，，，构成等差数列，则_______．
15．在平面直角坐标系中，曲线在点处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数.若点，的面积为3，则的值是______.
16．已知，，且，则的最小值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值．
18．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
（1）当直线的倾斜角为时，求线段AB的中点的横坐标；
（2）设点A关于轴的对称点为C，求证：M，B，C三点共线；
（3）设过点M的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点P，使得（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．
19．（12分）已知（）过点，且当时，函数取得最大值1.
（1）将函数的图象向右平移个单位得到函数，求函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，函数，求在上的值域.
20．（12分）如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.，且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.
(1)求证:平面；
(2)求三棱锥的体积.
21．（12分）已知，其中．
（1）当时，设函数，求函数的极值．
（2）若函数在区间上递增，求的取值范围；
（3）证明：．
22．（10分）已知数列的前项和为，且满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设（），数列的前项和.若对恒成立，求实数，的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，
写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.
【详解】
设 ，则
∵，
∴
∴
∴为点的轨迹方程
∴点的参数方程为（为参数）
则由向量的坐标表达式有：
又∵
∴
故选：D
考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法
2．C
【解析】
以为基底，将用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
,
,
.
故选:C.
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
3．D
【解析】
倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.
【详解】
解：因为直线与直线垂直，所以，.
又为直线倾斜角，解得.
故选：D.
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.
4．A
【解析】
先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.
【详解】
由题意知sin，∴，
∴，随n的增大而增大，∴,
∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -10，
∴正整数的最小值为3.
本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.
5．A
【解析】
首先根据复数代数形式的除法运算求出，求出的模即可．
【详解】
解：，
，
故选：A
本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题．
6．D
【解析】
过点作，可得出点为的中点，由可求得的值，可计算出的值，进而可得出，结合可知点为的中点，可得出，利用勾股定理求得（为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】
如下图所示，过点作，设该双曲线的右焦点为，连接.
，.
， ，
，为的中点，，，，
，
由双曲线的定义得，即，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7．C
【解析】
设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程．
【详解】
若直线与曲线切于点，则，
又∵，∴，∴，解得，，
∴过点与曲线相切的直线方程为或，
故选C．
本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
8．B
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出约束条件，表示的可行域，如图，
由可得，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
最大值为，故选B.
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
9．A
【解析】
分析：通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知，进而可知，利用裂项相消法求和即可．
详解：∵，∴，
又∵=5，
∴，即，
∴，
∴数列前项的和为，
故选A．
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
10．B
【解析】
由点求得的值，化简解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得的对称轴，由此确定正确选项.
【详解】
由题可知.
所以
令，
得
令，得
故选：B
本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.
11．B
【解析】试题分析：由集合A中的函数，得到，解得：，∴集合，由集合B中的函数，得到，∴集合，则，故选B．
考点：交集及其运算．
12．A
【解析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可．
【详解】
结合题意，绘制图像
要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A．
本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
将代入求解即可；当为奇数时,,则转化为,设,由单调性求得的最小值；同理,当为偶数时,,则转化为,设,利用导函数求得的最小值,进而比较得到的最大值.
【详解】
由题,,解得.
当为奇数时,,由,得,
而函数为单调递增函数,所以,所以；
当为偶数时,,由,得,
设,
,单调递增,
,所以,
综上可知,若不等式恒成立,则的最大值为.
故答案为:(1)；(2)
本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.
14．0
【解析】
利用等差中项以及等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】
由，，是等差数列可知
因为，所以，
故答案为：0
本题考查了等差中项的应用、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
15．
【解析】
对求导，再根据点的坐标可得切线方程，令，可得点横坐标，由的面积为3，求解即得.
【详解】
由题，，切线斜率，则切线方程为，令，解得，又的面积为3，，解得.
故答案为：
本题考查利用导数研究函数的切线，难度不大.
16．8
【解析】
由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】
，
当且仅当时等号成立.
故的最小值为8，
故答案为：8.
本题考查基本不等式求和的最小值，整体代入法，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见详解；（2）.
【解析】
（1）取中点为，通过证明//，进而证明线面平行；
（2）取中点为，以为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.
【详解】
（1）证明：取的中点，连结，，如下图所示：
在中，因为 为的中点，
，且，
又为的中点，，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，
又平面，平面，
平面，即证.
（2）取中点，连结，，则，平面，
以为原点，分别以，，为，，轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
则，则，
令．则，
同理得平面的一个法向量为，
则，
故平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.
本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.
18． (1) AB的中点的横坐标为；（2）证明见解析；（3）
【解析】
设.
（1）因为直线的倾斜角为，，所以直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理，得，则，
故线段AB的中点的横坐标为．
（2）根据题意得点，
若直线AB的斜率为0，则直线AB的方程为，A、C两点重合，显然M，B，C三点共线；
若直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，
联立方程组，消去并整理得，
则，设直线BM、CM的斜率分别为、，
则，即=，即M，B，C三点共线．
（3）根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为，
设，
联立方程组，消去并整理，得，
由，整理得，又，
所以，
结合，得，
当时，该直线为轴，即，
此时椭圆上任意一点P都满足，此时符合题意；
当时，由，得，代入椭圆C的方程，得，整理，得，
再结合，得到，即，
综上，得到实数的取值范围是．
19． (1)；(2).
【解析】
试题分析：
(1)由题意可得函数f(x)的解析式为，则.
(2)整理函数h(x)的解析式可得：，结合函数的定义域可得函数的值域为.
试题解析：
(1)由函数取得最大值1，可得,函数过得，
，∵，∴
，.
(2) ，
，
，值域为.
20．（1）见解析（2）
【解析】
（1）第（1）问，连交于,连接.证明// ，即证平面. (2)第(2)问，主要是利用体积变换，,求得三棱锥的体积.
【详解】
（1）方法一：连交于,连接.
由梯形，且，知
又为的中点，为的重心，∴
在中， ,故// .
又平面, 平面,∴ 平面.
方法二：过作交PD于N,过F作FM||AD交CD于M,连接MN,
G为△PAD的重心，
又ABCD为梯形，AB||CD,
又由所作GN||AD,FM||AD,得// ，所以GNMF为平行四边形.
因为GF||MN,

（2） 方法一:由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点
∴， ，得平面，且
由（1）知//平面，∴
又由梯形ABCD，AB||CD，且，知
又为正三角形，得，∴，
得
∴三棱锥的体积为.
方法二: 由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点
∴， ，得平面，且
由，∴
而又为正三角形，得，得.
∴，
∴三棱锥的体积为.
21．（1）极大值，无极小值；（2）．（3）见解析
【解析】
（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；
（2）先求导，再函数在区间上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决；
（3）取得到，取，可得
，累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.
【详解】
解：（1）当时，设函数，则
令，解得
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减
所以当时，函数取得极大值，即极大值为，无极小值；
（2）因为，
所以，
因为在区间上递增，
所以在上恒成立，
所以在区间上恒成立．
当时，在区间上恒成立，
当时，，
设，则在区间上恒成立．
所以在单调递增，则，
所以，即
综上所述．
（3）由（2）可知当时，函数在区间上递增，
所以，即，
取，则
．
所以
所以
此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题，以及不等式的证明，构造函数是关键，属于较难题.
22．（1）（2），.
【解析】
（1）根据数列的通项与前n项和的关系式，即求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用等比数列的前n项和公式和裂项法，求得，结合题意，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当时，由，解得；
当时，可得，
即，
显然当时上式也适合，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
所以
.
因为对恒成立，
所以，.
本题主要考查了数列的通项公式的求解，等差数列的前n项和公式，以及裂项法求和的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.