许昌市2026年高考适应性考试数学试卷（含答案解析）

这是一份许昌市2026年高考适应性考试数学试卷（含答案解析），共19页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知，，，，则，设是等差数列的前n项和，且，则，已知集合，则为，已知函数，给出下列四个结论，已知.等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于( )
A．B．C．D．
2．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．B．64C．D．32
4．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．设是等差数列的前n项和，且，则( )
A．B．C．1D．2
6．已知集合，则为（ ）
A．[0，2)B．(2，3]C．[2，3]D．(0，2]
7．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
8．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）
A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路
9．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（ ）
A．100B．1000C．90D．90
11．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（ ）
A．36B．21C．12D．6
12．抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）
A．1个B．2个C．0个D．无数个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知全集，，则________.
14．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.
15．设函数，则满足的的取值范围为________.
16．已知等差数列的前项和为，且，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.
（Ⅰ）若，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.
18．（12分）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，．
（1）求证：平面ACD；
（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值．
19．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若正数、满足，求证：.
20．（12分）在直角坐标系x0y中，把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点M在上，点N在上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.
21．（12分）2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年，是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际，学校组织“五四运动100周年”知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道A类题、4道B类题，参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答，现有甲同学参加该环节的比赛.
（1）求甲同学至少抽到2道B类题的概率；
（2）若甲同学答对每道A类题的概率都是，答对每道B类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.现已知甲同学恰好抽中2道A类题和1道B类题，用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.
22．（10分）已知函数的定义域为.
（1）求实数的取值范围；
（2）设实数为的最小值，若实数，，满足，求的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.
【详解】
如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为
因为点在角的终边上，所以
依题有,则，
所以，
故选：A
本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.
2．C
【解析】
显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.
【详解】
由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,
故选:C
本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.
3．A
【解析】
根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.
【详解】
由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：
可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4，
故.
故选：A
本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.
4．D
【解析】
令，求，利用导数判断函数为单调递增，从而可得，设，利用导数证出为单调递减函数，从而证出，即可得到答案.
【详解】
时，
令，求导
，，故单调递增：
∴，
当，设，
，
又，
，即，
故.
故选：D
本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.
5．C
【解析】
利用等差数列的性质化简已知条件，求得的值.
【详解】
由于等差数列满足，所以，，.
故选：C
本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.
6．B
【解析】
先求出，得到，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合，
所以，则，
所以.
故选：B.
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
7．C
【解析】
化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由
得可判断④.
【详解】
由题意，，所以，故①正确；
为偶函数，故②错误；当
时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有
成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为
，故④正确.
故选：C.
本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.
8．D
【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选：D
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
9．D
【解析】
设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.
【详解】
设，则，所以，
解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D.
本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
10．A
【解析】
利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解
【详解】
由题意，支出在（单位：元）的同学有34人
由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为
．
故选：A
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.
11．B
【解析】
先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.
【详解】
考虑与平面平行的平面，平面，平面，
共有，
故选：B.
本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.
12．B
【解析】
圆心在的中垂线上，经过点，且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆．
【详解】
因为点在抛物线上，
又焦点，，
由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点，
这样的交点共有2个，
故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种．
故选：．
本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用集合的补集运算即可求解.
【详解】
由全集，，
所以.
故答案为：
本题考查了集合的补集运算，需理解补集的概念，属于基础题.
14．
【解析】
设，判断 为偶函数，考虑x>0时，的解析式和零点个数, 利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象，即可得到的范围.
【详解】
设，
则在是偶函数，
当时，，
由得，
记，
，，
故函数在增，而，
所以在减，在增，，
当时，，当时，，
因此的图象为
因此实数的取值范围是.
本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.
15．
【解析】
当时，函数单调递增，当时，函数为常数，故需满足，且，解得答案.
【详解】
，当时，函数单调递增，当时，函数为常数，
需满足，且，解得.
故答案为：.
本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
16．
【解析】
根据等差数列的性质求得，结合等差数列前项和公式求得的值.
【详解】
因为为等差数列，所以，解得，
所以.
故答案为：
本小题考查等差数列的性质，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
(Ⅰ)由，可得，解出即可；
(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得： ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.
【详解】
(Ⅰ)由题意：，
，解得，
则曲线的方程为：和.
(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，
设直线，
则联立，得，
，解得：，
又由数形结合知.
设点，
则，，
，，
，即点在直线上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，
设直线的方程为：，
联立，得：，
，
设，
，，
，
面积，
令，，
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.
18．（1）见解析（2），最大值．
【解析】
（1）先证明，，故平面ADC．由，即得证；
（2）可证明平面ABC，结合条件表示出，利用均值不等式，即得解.
【详解】
（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，
∴，．
∵平面ABC，平面ABC，∴．
∵AB是圆O的直径，∴，
且，平面ADC，
∴平面ADC．
∵，∴平面ADC．
（2）解∵平面ABC，，
∴平面ABC．
在中，，．
在中，∵，∴，
∴，
∴．
∵，
当且仅当，即时取等号，
∴当时，体积有最大值．
本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
19．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）等价于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ），分别解出，再求并集即可；
（2）利用基本不等式及可得，代入可得最值.
【详解】
（1）等价于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）
由（Ⅰ）得：
由（Ⅱ）得：
由（Ⅲ）得：.
原不等式的解集为；
（2），，，
，
，
当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当即时取等号，
.
本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.
20．（1）的普通方程为，的直角坐标方程为. （2）最小值为，此时
【解析】
（1）由的参数方程消去求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得的直角坐标方程.
（2）设出点的坐标，利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式，结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.
【详解】
（1）由题意知的参数方程为（为参数）
所以的普通方程为.由得，所以的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，
因为是直线，所以的最小值即为到的距离，
因为．
当且仅当时，取得最小值为，此时的直角坐标为即．
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题，属于中档题.
21．（1）；（2）分布列见解析，期望为．
【解析】
（1）甲同学至少抽到2道B类题包含两个事件：一个抽到2道B类题，一个是抽到3个B类题，计算出抽法数后可求得概率；
（2）的所有可能值分别为，依次计算概率得分布列，再由期望公式计算期望．
【详解】
（1）令“甲同学至少抽到2道B类题”为事件，则抽到2道类题有种取法，抽到3道类题有种取法，
∴；
（2）的所有可能值分别为，
，，
，，
∴的分布列为：
本题考查古典概型，考查随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键是掌握相互独立事件同时发生的概率计算公式．
22．（1）；（2）
【解析】
（1）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；
(2)首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.
【详解】
（1）因为函数定义域为，即恒成立，所以恒成立
由单调性可知当时，有最大值为4，即；
（2）由（1）知，，
由柯西不等式知
所以，即的最小值为.
当且仅当，，时，等号成立
本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
0
1
2
3