2026届江苏省无锡市高考考前模拟数学试题（含答案解析）

这是一份2026届江苏省无锡市高考考前模拟数学试题（含答案解析），共18页。试卷主要包含了把满足条件，中，，为的中点，，，则，函数，已知集合，，则=，双曲线的渐近线方程是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（ ）
A．30B．C．D．62
4．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）
A．1B．2C．D．4
6．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．中，，为的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．2
8．函数（， ， ）的部分图象如图所示，则的值分别为（ ）
A．2，0B．2， C．2， D．2，
9．已知集合，，则=( )
A．B．C．D．
10．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
11．集合的真子集的个数为( )
A．7B．8C．31D．32
12．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设复数满足，其中是虚数单位，若是的共轭复数，则____________．
14．一个村子里一共有个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等．在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的，当谣言传播次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_______．
15．抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________．
16．（5分）已知函数，则不等式的解集为____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，湖中有一个半径为千米的圆形小岛，岸边点与小岛圆心相距千米，为方便游人到小岛观光，从点向小岛建三段栈道，，，湖面上的点在线段上，且，均与圆相切，切点分别为，，其中栈道，，和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧（圆上实线部分）上再修建栈道.记为.
用表示栈道的总长度，并确定的取值范围；
求当为何值时，栈道总长度最短.
18．（12分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列)
(I)试用表示：
(II)证明：原点到直线l的距离为定值.
19．（12分）已知椭圆，左、右焦点为，点为上任意一点，若的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线过点与交于两点，在轴上是否存在定点，使成立，说明理由.
20．（12分）年，山东省高考将全面实行“选”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取人做调查.统计显示，男生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人；女生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人.
（1）据此资料判断是否有的把握认为“喜欢物理与性别有关”；
（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从名男同学和名女同学（其中男女喜欢物理）中，选取名男同学和名女同学参加座谈会，记参加座谈会的人中喜欢物理的人数为，求的分布列及期望.
，其中.
21．（12分）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：
（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.
附：
22．（10分）某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有两种，且这两种的个体数量大致相等，记种蜻蜓和种蜻蜓的翼长（单位：）分别为随机变量，其中服从正态分布，服从正态分布.
（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间的概率；
（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（Ⅰ）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.
注:若，则，，.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
可将问题转化，求直线关于直线的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定的取值范围即可
【详解】
可求得直线关于直线的对称直线为，
当时，，，当时，，则当时，，单减，当时，，单增；
当时，，，当，,当时，单减，当时，单增；
根据题意画出函数大致图像，如图：
当与（）相切时，得，解得；
当与（）相切时，满足，
解得，结合图像可知，即，
故选：A
本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题
2．D
【解析】
根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据
，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，与为函数的“线性对称点”，
所以，
故（当且仅当时取等号）.
又与为函数的“线性对称点，
所以，
所以，
从而的最大值为.
故选:D.
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题.
3．B
【解析】
根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，
因此.
故选：B
本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.
4．B
【解析】
满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.
【详解】
满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；
③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.
故选：B.
本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.
5．B
【解析】
因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知的值为2，选B.
【详解】
请在此输入详解！
6．A
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
【详解】
抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，
又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．
故选：A．
本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．
7．D
【解析】
在中，由正弦定理得；进而得，在中，由余弦定理可得.
【详解】
在中，由正弦定理得，得，又，所以为锐角，所以，，
在中，由余弦定理可得，
.
故选：D
本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.
8．D
【解析】
由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案
【详解】
由函数图象可知：
，
函数的图象过点
，
，则
故选
本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果
9．C
【解析】
计算，，再计算交集得到答案.
【详解】
，，故.
故选：.
本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
10．C
【解析】
根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程是.
故选：C.
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．
11．A
【解析】
计算，再计算真子集个数得到答案.
【详解】
，故真子集个数为：.
故选：.
本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.
12．D
【解析】
先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.
【详解】
构造函数，
因为，
所以，
所以为奇函数，
当时，，所以在上单调递减，
所以在R上单调递减.
因为存在，
所以，
所以，
化简得，
所以，即
令，
因为为函数的一个零点，
所以在时有一个零点
因为当时，，
所以函数在时单调递减，
由选项知，，
又因为，
所以要使在时有一个零点，
只需使，解得，
所以a的取值范围为，故选D.
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由于，则．
14．
【解析】
利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.
【详解】
第1次传播，谣言一定不会回到最初的人；
从第2次传播开始，每1次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是，
没有被选中的概率是．
次传播是相互独立的，故为
故答案为：
本题考查了相互独立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，属于基础题.
15．
【解析】
设抛物线上任意一点的坐标为，根据抛物线的定义求得，并求出对应的，即可得出结果.
【详解】
设抛物线上任意一点的坐标为，
抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，此时.
因此，抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.
故答案为：.
本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
16．
【解析】
易知函数的定义域为，且，则是上的偶函数．由于在上单调递增，而在上也单调递增，由复合函数的单调性知在上单调递增，又在上单调递增，故知在上单调递增．令，知，则不等式可化为，即，可得，又，是偶函数，可得，由在上单调递增，可得，则，解得，故不等式的解集为．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．，；当时，栈道总长度最短.
【解析】
连，，由切线长定理知：，，，，即，，
则，，进而确定的取值范围；
根据求导得，利用增减性算出，进而求得取值.
【详解】
解：连，，由切线长定理知：，，
，又，，故，
则劣弧的长为，因此，优弧的长为，
又，故，，即，，
所以，，，则；
，，其中，，
故时，
所以当时，栈道总长度最短.
本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.
18． (I) ；(II)证明见解析
【解析】
(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.
(II) 设，，联立方程得到，，代入化简得到，计算得到证明.
【详解】
(I) 椭圆，故，
.
(II)设，，则将代入得到：
，故，
，
，故，得到，
，故，同理：，
由已知得：或，
故，
即，化简得到.
故原点到直线l的距离为为定值.
本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．（1）（2）存在；详见解析
【解析】
（1）由椭圆的性质得，解得后可得，从而得椭圆方程；
（2）设，当直线斜率存在时，设为，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得，代入＝0由恒成立问题可求得．验证斜率不存在时也适合即得．
【详解】
解：（1）由题易知解得，
所以椭圆方程为
（2）设
当直线斜率存在时，设为与椭圆方程联立得
，显然
所以
因为
化简
解得即
所以此时存在定点满足题意
当直线斜率不存在时，显然也满足
综上所述，存在定点，使成立
本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法．
20．（1）有的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）分布列见解析，.
【解析】
（1）根据题目所给信息，列出列联表，计算的观测值，对照临界值表可得出结论；
（2）设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人，女同学有人，则，确定的所有取值为、、、、．根据计数原理计算出每个所对应的概率，列出分布列计算期望即可．
【详解】
（1）根据所给条件得列联表如下：
，
所以有的把握认为喜欢物理与性别有关；
（2）设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人，女同学有人，则，
由题意可知，的所有可能取值为、、、、．
，
，
，
，
.
所以的分布列为：
所以.
本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列．离散型随机变量的期望．属于中等题．
21．（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.
【详解】
（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，
所以，
文（2）由列联表可得
而
所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关
（2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，
即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，
故X服从二项分布，
即从而X的分布列为
X的数学期望为
本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由题知这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的，所以，代入数值运算即可；
（Ⅱ）可判断均值应为，再结合（1）和题干备注信息可得，进而求解；
（Ⅲ）求得，该分布符合二项分布，故，列出分布列，计算出对应概率，结合即可求解；
【详解】
（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为.
因为种蜻蜓和种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的.
所以
.
（Ⅱ）由于两种蜻蜓的个体数量相等，的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知
由（Ⅰ）可知，得.
（Ⅲ）设蜻蜓的翼长为，则.
由题有，所以.
因此的分布列为
.
本题考查正态分布基本量的求解，二项分布求解离散型随机变量分布列和期望，属于中档题
同意
不同意
合计
男生
a
5
女生
40
d
合计
100
0.15
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
男
女
合计
喜欢物理
不喜欢物理
合计
X
0
1
2
3
4