江苏省无锡市2026届高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省无锡市2026届高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，且，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
解析：因为集合，，且，
所以有，解得.
故选：C
2. 数据，，，，方差为，则数据，，，，的方差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：由方差性质可得新数据方差为：.
故选：B
3. 等差数列的前项和为，若，（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
解析：由题意得，，
再根据下标和性质可得
故选：A.
4. 下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：对于椭圆，其离心率，椭圆的扁平程度由离心率决定，离心率越接近0，椭圆越接近圆,
选项A，化为标准方程为，，
选项B,化为标准方程为,因此其离心率,
选项C,,
选项D,,又，
所以，因此选项D中椭圆的离心率最小，形状最接近于圆.
故选:D
5. 的展开式中，的系数是（ ）
A. －2B. 2C. 12D. 16
【答案】B
解析：在中，
个因式选择，个因式选择常数即可得到含的项，
故的系数.
故选：B
6. 若奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：已知是奇函数，且，
，不等式等价于，
在上单调递减，
，解得，即，故C正确．
故选：C．
7. 已知双曲线的左焦点为，点在双曲线右支上且在轴的上方．若直线的斜率为，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：
由双曲线的左焦点为可知，则，
设点，则的中点，
已知线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，
，化简得①，
由直线的斜率为可得：，即②，
联立①②可得，解得或（舍去，在右支），
，故，
把代入双曲线方程，则，解得，
，，
双曲线渐近线方程为，故D正确．
故选：D．
8. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为在基底下的坐标.正月十五赏花灯是元宵节重要的习俗之一，某花灯的主体为正六棱柱，其中，.若在基底下的坐标为，则的模为（ ）
A. B. 130C. D.
【答案】B
解析：
由在基底下的坐标为，则，
如图建立空间直角坐标系，由正六棱柱，其中，,
可得：，
则，
所以，
即
，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，是共轭复数，则下列运算结果一定是实数的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
解析：设，则其共轭复数，
，当时为纯虚数，不一定是实数，故A错误；
，是实数，故B正确；
，当时，虚部，不一定是实数，故C错误；
，是实数，故D正确．
故选：BD．
10. 设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
解析：已知，，，，，
选项A：由条件概率公式，
得，故A正确；
选项B：由全概率公式，
得，故B正确；
选项C：由加法公式，
得，故C正确；
选项D：由条件概率公式，
得，故D错误．
故选：ABC．
11. 函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ）
A. B.
C. 是奇函数D. 零点个数大于1
【答案】ACD
解析：对于A项，令，由已知可得，，解得.
令，由已知可得，，
解得.故A正确；
对于B项，令，代入已知条件可得，
.
又，所以有.故B错误；
对于C项，令，代入已知条件可得，
.
因为，
所以有，
所以，是奇函数.故C正确；
对于D项，令，代入已知有.
.
令，由可得，
.
令，，由可得，
.
因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且，根据零点存在定理，可知在，使得.
根据函数为奇函数，可知.
所以，函数至少存在三个零点.故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量服从正态分布，若，则________.
【答案】##
解析：随机变量服从正态分布，
，
，
，
，
，即，
，
即
故答案为：
13. 已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的公比________；设，则________.
【答案】 ①. ②. ##
解析：设等比数列的首项为，公比为，
由 得 ，即 .
因 ，故 ，所以 ，解得 .
将 代入 得 ，解得 .
故 .
所以，
所以 .
故答案为：①；②.
14. 已知圆台的母线长为，母线与底面所成角为，且.其内切球的体积为，则该圆台体积的取值范围为________.
【答案】
解析：设圆台上底面半径为，下底面半径为，高为，内切球半径为.
由内切球的体积为可得，，解得，
所以圆台的高.
因为母线与底面所成角为，所以，，
所以，.
因为圆台有内切球，所以满足（切线长定理），
联立解得，
.
圆台的体积为
.
因为，所以，，，
，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
解析：
（1）
因为，由正弦定理得，,故，即，解得，
又，所以；
（2）
由（1）知，所以，，
即，，
所以，所以或，
又，
所以，，或，
所以的面积.
16. 年总台春晚无锡分会场《无锡景·家国情》节目的惊艳亮相，让无锡非遗大放异彩，火爆出圈．惠山泥人是无锡国家级非遗项目，“阿福”“阿喜”是它的代表作品．某文创工作室在春节后推出“惠山泥人非遗盲盒”系列，每个盲盒装有“阿福”“阿喜”“普通泥人”三种款式之一．随机抽取了名购买者，调查其性别与抽中“阿福”的情况，得到如下列联表：
（1）依据小概率值的独立性检验，判断“抽中‘阿福’”与“游客性别”是否有关；
（2）若盲盒中是“阿福”“阿喜”“普通泥人”的比例为，某游客决定采用以下规则购买：若第一次抽中“阿福”或“阿喜”，则立即停止购买；若第一次抽中“普通泥人”，则继续购买第二个盲盒；此时：若第二次抽中“阿喜”，则停止购买，若第二次仍未抽中“阿喜”，则继续购买第三个盲盒，且无论结果如何都停止．记最终抽中“阿福”的个数为随机变量，求的分布列及数学期望．
附：，
【答案】（1）无充分证据认为抽中‘阿福’”与“游客性别”有关
（2）答案见解析
解析：
（1）
由代入已知数据得：
，
临界值，故没有充分证据认为抽中‘阿福’”与“游客性别”有关．
（2）
盲盒中是“阿福”“阿喜”“普通泥人”的比例为，
则“阿福”的概率，“阿喜”的概率，“普通泥人”的概率，
由购买规则可知，抽中“阿福”的可能取值为，
当时情况为：
第一次抽中“阿喜”、 第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“阿喜”、
第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“普通泥人”且第三次非“阿福”，
则；
当时情况为：第一次抽中“阿福”、
第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“阿福”且第三次未抽中“阿福”、
第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“普通泥人”且第三次“阿福”，
则；
当时情况为： 第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“阿福”且第三次抽中“阿福”，
则；
分布列为：
数学期望为：
．
17. 如图，在平行六面体中，四边形是边长为的正方形，，分别为平面和平面的中心，且在平面上的射影是.
（1）求证：平面；
（2）已知，直线与平面所成角的正弦值为.
（i）求平面与平面的距离；
（ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）；（ii）存在，为线段的中点.
解析：
（1）
连接，
则为的交点，为的交点，连接，
因为平行六面体的底面为正方形，
分别为面和面的中心，且在底面的射影是，
得且，
所以四边形为平行四边形，则．
又因为面面，所以面．
（2）
（i）因为平面，得，又因为，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
所以，
设平面法向量，则，取，
设与平面所成的角为，
则，
解得或．
又因为，所以，所以，
所以平面与平面的距离为．
（ii）由（i）得，，所以，平面的法向量
设，则，
,
设平面的法向量为，，
解得，设平面与平面夹角为，
则，解得，
所以当为线段的中点，平面与平面夹角的余弦值为．
18. 直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）点为轴上除坐标原点外任意一点，过点分别作的两条切线，切点分别为，.
（i）求证：直线过定点；
（ii）若直线与分别交于，两点，设四边形的面积为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
(i)证明见解析
(ii)
解析：
（1）
设点的坐标为，因为点到轴的距离等于点到点的距离，
所以，整理得.故的方程为.
（2）
（i）由题意设 ，
由 ，所以 ，
直线的方程为①，
直线的方程为②，
由①②得 ，代入①或②得， ，所以 ，
设 所在的直线方程为 ，联立 ，
消去 得， ，
可得 ，所以 ，
所以直线 过定点 ．
（ii）因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ,
联立 ，消去 得， ，可得 ，

用 代替 得， ，
所以四边形的面积 ，
，则，，
设 ，则 ，
令 ，令 ，
当 时， ，当 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增，
当 时， 取得最小值 ，
即 时， 取得最小值 ．
19. 已知函数，，.
（1）当时，若的图像与轴相切，求的值；
（2）当时，若在有一个零点，求的取值范围；
（3）设数列满足，.证明：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
解析：
（1）
当时，函数，
则
设的图像与轴相切于点，
则，
即，可得，从而，
设，则，令，得，
则时，，则函数单调递减，
时，，则函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值为，
所以方程只有一解，即，
所以；
（2）
当时，，
则，
当时，，所以函数在单调递增，此时；
所以在上无零点；
当时，令，则，
当时，，则函数在单调递减，
时，，则函数在单调递增，
由于，所以，
且当趋于时，趋于，
所以在有一个零点，符合题意，
综上所述，；
（3）
由于，则，
由（1），即，则，
所以，
所以，
则，所以，
则，
设，则，令，得，
则时，，则函数单调递增，
时，，则函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值为，
则，所以，
则，
所以
，抽中“阿福”
未抽中“阿福”
合计
男游客
女游客
合计
0
1
2