2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷）专题六 解直角三角形及其应用

这是一份2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷）专题六 解直角三角形及其应用，共11页。试卷主要包含了解直角三角形及其应用等内容，欢迎下载使用。

山西中考数学“解直角三角形及其应用”题，也是山西中考必考内容之一，重在将实际问题转化为数学问题，利用直角三角形的边角关系求解。常结合本省文化背景出题，如测量古塔高度、计算隧道长度等，但解题方法通用。注意按照考试要求，保留有效数字或精确到指定位数。分清对边、邻边；坡度是比值不是角度；方位角的方向。掌握以下口诀帮助解题：有斜用弦，无斜用切；求对用正，求邻用余。遇斜化直，遇角化边，方程思想，是关键。
掌握以下快招，可助你高效解题
题目中是否有现成的直角三角形？若没有，通过添加辅助线（作高、连接对角线等）构造直角三角形。
在图中清晰标注已知边、角，和需要求的边、角。对于实际问题，理解仰角、俯角、坡度、方位角等术语。
 已知斜边和一锐角，求直角边：用sin或cs；
 已知一直角边和一锐角，求另一直角边：用tan或ct（用正切或余切）；
 已知两边，求锐角：用三角函数定义；
 已知两直角边，求斜边：用勾股定理。
列出方程求解，注意精度。最后结合实际问题写出答案（单位等）
1．项目学习
项目背景：平遥古城是中国保存最完整的古代县城之一，被誉为“中国古建筑宝库”．标志性建筑是古城南大街的市楼．某数学研学小组在平遥古城开展“数学与古建筑测量”实践活动，利用测量工具得到了相关数据．
数据采集：如图，研学小组在水平青石板路面点M处放置测角仪，测得市楼顶端A的仰角为，然后沿南大街朝市楼方向前进到达点N，测得点A的仰角为．已知测角仪的高度为．
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，求市楼的高度（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】
【分析】延长交于点H，则，四边形和四边形均为矩形，得到，．根据是等腰直角三角形，设，则．在中，由列方程求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点H，则，四边形和四边形均为矩形，
，．
，
是等腰直角三角形，
．
设，
则．
在中，，，
∴，
解得，
．
答：市楼的高度约为．
2．综合与实践
山西省在册的古建筑约占全国古建筑总量的十分之一，在全国各省中位居前列．省文物保护单位在勘测某壁画最高点到崖底的距离时，为了避免破坏壁画，决定借助无人机采集相关数据．
数据采集：如图是利用无人机测量某壁画最高点到崖底的距离的示意图，表示崖底水平面，点是壁画的最高点，壁画在竖直方向与崖底水平面交于点，无人机从点起飞竖直上升至点，测得点的仰角，然后无人机再竖直上升至点，测得点的仰角．点，，，，，，在同一竖直平面内．
问题解决：计算壁画最高点到崖底的距离（结果精确到．参考数据：，，，）．
【答案】壁画最高点到崖底的距离约为米.
【分析】过点作于点，过点作于点，推导出四边形和四边形都是矩形，即，，，再设，根据解直角三角形的性质分别求出，最后根据列方程求解即可.
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
由题可知，四边形和四边形都是矩形．
，，，
设，则
在中，，
在中，，
，即
解得
答：壁画最高点到崖底的距离约为．
3．中国造船智能化又迈进一大步，2025年12月4日，上海船舶运输科学研究所在上海海事会展现场发布了全国首台造船迷你焊接机械臂．不到15公斤的小身体身怀绝技，智能算法加激光辨识将焊接工作精上加精，人工进不去的狭窄空间交给它也能轻松应对．下图是造船需要用到的一种钢制零件示意图，某天工程师发现点连接处断开，整个零件只有处开有一个小口，人工无法进入焊接，派出迷你焊接机械臂完成工作迷你焊接机械臂前臂完美的与零件部分贴合，机械小臂灵巧的从处进入，伸长小臂精准到达点进行焊接．已知m，m，于点，m，，请你算出断点到的距离．（结果精确到0.1m参考数据：，，，，，）
【答案】断点B到A的距离为2.8米．
【分析】作于点，则，利用相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识进行解答即可．
【详解】解：作于点，则，
于点，
，
又，
，
，即，
，
在中，由勾股定理可得，
，，
，
在中，，，
，
，
答：断点到的距离为2.8米．
4．合与实践
某校综合与实践小组的同学在学习了解直角三角形后，用所学知识对教学楼的高度进行测量．他们分为甲、乙两组，分别设计了如下测量方案：
问题解决：
(1)你认为哪个组的测量方案存在问题，请指出并提出改进建议．
(2)根据没有问题的测量方案，计算教学楼的高度（结果精确到）．
【答案】(1)甲组的测量方案存在问题；甲组的测量方案缺少到的距离，故应测量测角仪到教学楼的距离
(2)
【分析】（1）根据求解的过程，判断出甲组的测量方案缺少到的距离；
（2）设，由解直角三角形可得，，故可得出方程，解出对应的值，即可求出的高度．
【详解】（1）解：甲组的测量方案存在问题，
甲组的测量方案缺少到的距离，故应测量测角仪到教学楼的距离．
（2）解：根据乙组测量方案计算.如答图，连接并延长，与交于点，
由题意，得四边形和四边形都是矩形，
∴，，
设，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
答：教学楼的高度约为．
5．项目化学习
项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动．
方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角．
数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据：
，，，，，）．
【答案】28米
【分析】延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形，在中，可得设米．在中，可得，在中， 可得，再由，即可求出x的值，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形．
米，米，，
在中，，，
，
设米．
在中，，，
，
．
在中，，，
，
．
，
，
．
解得．
（米）
答：“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度约为28米．
6．项目式学习
为深化数学知识与实际生活的关联，提升实践探究能力，某校项目学习小组选定校园内的标志性古树“国槐”，开展树高的测量与树形特征探究活动，因古树周围设置围栏无法直达根部，活动报告如下：
试判断该校园内“国槐”古树是否树形舒展、冠大荫浓，并说明理由．
【答案】校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓；理由见解析
【分析】以垂直地面的树高为公共直角边，利用两个仰角对应的、，通过正切函数分别表示出、与的关系；再结合的线段和，列方程求解得到树高，按题目公式算出平均冠幅，代入公式得到高冠比，将与题目给出的的判定标准对比，即可得出结论．
【详解】该校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓．
理由如下：
在中，，，
∴，
在中，，，
∴．
设，则，
∴，
解得
，
∴，
根据题意，得高冠比，
∵，
∴该校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓．
7．学科实践
【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联．
【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关．
【来助力】借助模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足：．
【数学思考】已知小东爷爷家的梯子长为3米，小东的身高为米．
(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙面？（结果精确到米）
(2)若将梯子底端放在距离墙面米处，小东能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？（请画出示意图，并解决上述问题．参考数据：）
【答案】(1)使用这架梯子，最高可以安全攀上米高的墙面
(2)图见解析，小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方
【分析】（1）在中，，解直角三角形求出的长即可得到答案；
（2）在中，，解直角三角形求出的度数和的长，再用的长加上小东的身高，再与3米比较即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意可知，当时，安全攀爬的高度最大
如图所示，在中，，
．
．
答：使用这架梯子，最高可以安全攀上米高的墙面．
（2）解：如图所示，根据题意，得在中，，
，
，
∴此时满足；
在中，，
（米）．
，
∴小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方．
8．实践探究：某校数学研学小组开展城市设施测高实践活动，测量太原市一座供水水塔的高度，并采用无人机采集相关数据．
数据采集：如图是测量的示意图，点表示水塔的顶部，点表示水塔的底部，为水塔的垂直高度．无人机从水塔一侧飞行至点处时，测得点的仰角为，测得点的俯角为，无人机沿水平方向飞行至点处，在处测得点的仰角为．数据应用：图中各点均在同一竖直平面内，计算水塔的高度．（结果精确到．参考数据：）
【答案】
【分析】本题考查外角和定理，等腰三角形性质，内角和定理，含角三角形三边关系，解三角形等．根据题意延长交于，后利用外角和定理可得，即，继而利用含角三角形三边关系可得，再利用三角函数即可得到本题答案．
【详解】解：延长交于，
，
∵无人机从水塔一侧飞行至点处时，测得点的仰角为，测得点的俯角为，
∴，，，
∵在处测得点的仰角为，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵无人机沿水平方向飞行至点处，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
9．项目学习
项目背景：太行太岳烈士陵园位于长治市西南隅，年建成竣工，是为纪念抗日战争中在太行、太岳两根据地牺牲的烈士而建的公墓，陵园的中心耸立着太行太岳烈士纪念塔，是陵园内最突出的建筑物．综合实践小组的同学围绕“太行太岳烈士纪念塔高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算太行太岳烈士纪念塔的高度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】太行太岳烈士纪念塔的高度约为米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．
延长与交于点，根据俯角构造直角三角形，根据已知角度和其三角函数以及线段的长度，得到和的长度，继而得到的长度．
【详解】解：如图，延长与交于点，则，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
．
答：太行太岳烈士纪念塔的高度约为米．
10．研学实践：泛舟禅师塔位于山西运城，是全国唯一的唐代单层圆形砖塔，在建筑设计和营造上均具有高超的艺术价值．某校研学小组在了解泛舟禅师塔的历史背景后，利用测量工具测量了相关数据．
数据采集：如下图是测量过程的几何示意图，点A是塔的顶端，AB的长表示点A到水平地面的距离．研学小组在地面上一点C处放置测角仪，测得顶端A的仰角，安装测角仪支架CD后测得顶端A的仰角，测得（米．（测角仪的高度忽略不计）
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，计算点A到地面的距离AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）
【答案】点A到地面的距离AB的长约为10.2米．
【分析】延长交于点F．证明四边形为矩形．得到，．设，根据和列方程即可求出答案．
【详解】解：如图，延长交于点F．
由题意，得四边形为矩形．
，．
在中，，，
．
在中，，，
．
．
设，
，
．
．
解得．
答：点A到地面的距离的长约为10.2米．
1．（2025山西中考真题）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：
，，，，，）．
【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，四边形为矩形，
∴，，
∴，，
设米，则米，米，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，解得，
∴（米），
答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米．
2．（2024山西中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，．
【答案】点A到地面的距离的长约为27米
【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：延长交于点，
由题意得，四边形为矩形，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
设米．
，
，
，
解得，
（米）；
答：点到地面的距离的长约为27米．
3．（2023山西中考真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）．
【答案】的长约为的长约为．
【分析】过点作于点，延长交于点，首先根据的三角函数值求出，，然后得到四边形是矩形，进而得到，然后在中利用的三角函数值求出，进而求解即可．
【详解】解：过点作于点，延长交于点，

∴．
由题意得，在中，．
∴．
∴．
由题意得，，四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵．
∴．
∴，
∴．
答：的长约为的长约为．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．
1．威利斯开利（）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度，如下是某空调挂机的安装说明：
根据以上信息，解决下面的问题：
小丽房间内的床长200，高50，靠墙摆放，为了让空调风不直接吹到床上，求空调安装的最低高度．（结果精确到1．参考数据：，，，，，）
【答案】空调安装的最低高度约为
【分析】本题主要考查了直角三角形的三角函数应用．熟练掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义与实际计算，添加辅助线建立直角三角形，是解题的关键．
连接，过点作于点，构造出直角三角形和矩形，结合题意推出，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘之外即可，即点与点重合，在中，根据题意得出，利用得到，进而得到的长度，最后根据即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，则四边形是矩形，
，
，
由题意知，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘之外即可，
当空调出风角最小时，且出风恰好在床的边缘处时，空调安装的高度最低，
此时，
在中，，
，
，
，
，
答：空调安装的最低高度约为．
2．项目学习
项目背景：某综合实践小组的同学围绕“校园内校徽长度的测量与计算”开展了项目性学习的实践活动，形成了如下实验报告．
请根据上述实验过程与测量数据，计算校徽的长度．(精确到米，参考数据：，)
【答案】校徽的长度约为米
【分析】设测角仪高度为米，由、、、均垂直地面，判定四边形和为矩形，从而得到水平线段米、米；再在和中，分别利用正切函数、，表示出、，进而得到、；最后通过消去，代入参考数据计算并精确到米，得到校徽长度．
【详解】解：设测角仪高度米．
，，
四边形是矩形，
(米)，．
在中，，，
，
．
，，
四边形是矩形，
(米)，．
在中，，，
，
．
，
(米)．
答：校徽的长度约为米．
3．项目学习
项目背景：近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．综合实践小组的同学们围绕“智能机器人的高度测量”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算该机器人的最高点距地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】点到地面的高度约为
【分析】如图，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为．则四边形为矩形，在中，求出，再求出，即可解答．
【详解】解：如图，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为．
则四边形为矩形，
，．
在中，，
，
．
，，
，
，
，
，
∴点到地面的高度约为．
4．长治潞州六府塔，始建于隋代，塔身为八角形状，青砖砌筑，为密檐式结构塔，每个角内有方石砌筑其间，底层每个角由三垛砖雕斗拱支撑塔檐，转角部位有雕工华拱六挑，犹如木制雕刻结构形式．2010年在原址东侧35米处按原制复建新塔，与旧塔形成东西轴线．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量潞州六府塔新塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
请根据上述报告数据，求潞州六府塔新塔的高度．（结果精确到1米）
【答案】91米
【分析】延长交于点M，延长交的延长线于点N， ，米．利用锐角三角函数的定义，设米，进而在和中，利用锐角三角函数的定义，分别求得米，米，米，进而可求解．
【详解】解：延长交于点M，延长交的延长线于点N，
由题可知，，，四边形为矩形，
，（米）．
在中，，
∴设米，
在中，，米，
（米），
米，
，，
在中，，米，
（米），
（米）．
答：潞州六府塔高度约为91米．
5．百团大战纪念碑（主碑）坐落于山西省阳泉市狮脑山主峰上，雄伟壮观，形如一把锋利的刺刀．某校项目学习小组的同学把“测量百团大战纪念碑（主碑）的高度”作为项目学习课题，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告：

请根据活动报告，完成下面的问题：
(1)根据方案一所测数据，计算百团大战纪念碑（主碑）的高度，（结果精确到；参考数据：，）
(2)根据方案二的测量过程，项目学习小组最终选择方案一进行测量和计算，请你说明他们这样选择的理由．
【答案】(1)百团大战纪念碑主碑的高度约为；
(2)纪念碑底部无法到达．（答案不唯一）
【分析】本题考查了解直角三角形——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）延长交于点，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，然后求出的长，再在中求出的长即可求解；
（）答案不唯一，合理即可；
【详解】（1）解：如解，延长交于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：百团大战纪念碑主碑的高度约为；
（2）解：理由：纪念碑底部无法到达．（答案不唯一）
6．崛围山位于山西省太原市尖草坪区，从山顶向下俯视，四周群山如涛似浪，宛转盘旋，形成一个巨大的漩涡，像倒立的喇叭，又如硕大的圆盘，“崛围山”之名由此而来．在山顶处建有舍利塔，做工精巧别致，立于崛围山之巅．某校“综合与实践”小组的同学把“测量崛围山舍利塔的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查、并形成了如下活动报告．
请根据活动报告计算舍利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】舍利塔的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用——仰角、俯角，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，过点D作的垂线，交延长线于点，易求，，进而求出，证明，再根据直角三角形的性质求出，求出，解直角三角形求出，即可解答．
【详解】解：过点D作的垂线，交延长线于点，则，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：舍利塔的高度约为．
7．巍峨的博雅塔和它周围的松柏以及波光荡漾的未名湖构成北京大学的一大景观．“博雅”二字，凝聚了北大精魂中最不朽的图腾，徜徉在未名湖畔的微风中，聆听大师巨匠的教诲已成为众多中学生的奋斗目标之一．某中学数学小组在北大研学活动期间进行了“测量北大“博雅塔”高度”的课题活动，他们制订方案后进行了实地测量．测量结果如下表：
请你根据上表中的测量数据，求出“博雅塔” 的高度．（精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】“博雅塔” 的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用的仰角问题，解题的关键是构造直角三角形，利用正切三角函数建立等式求解．
延长交于点，在中，得 ，则 ，在中，得 ，然后方程，即可求解.
【详解】解：延长交于点，
由题意得：，，，
设，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
“博雅塔” 的高度约为.
8．在太原市迎泽公园内，矗立着一座层台耸翠，飞阁流丹的巍峨建筑——藏经楼．这座于世纪年代由晋中市太谷县整体迁移而来的楼阁，在近半个世纪的时间里，一直是太原城的一处标志性景观．某数学课外活动小组开展了“测量藏经楼的高度”的课题活动，具体方案和数据如下表：

请你帮忙求出藏经楼的高度．（结果精确到）
【答案】
【分析】由CE的坡度和长度，利用勾股定理可求出长度，设，在和中，利用和，表示出，列方程求解即可．
【详解】解：过点E作于点G，作于点F．
由题意可得，，，
则四边形是矩形．
∴，．
∵的坡度，
∴设，，
∵在中，，
∴，即，
解得（负值舍去）．
∴，．
设．
∵在中，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵在中，，，
即，
∴．
解得．
答：藏经楼的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，矩形的判定，坡比，仰角俯角，掌握相关知识是解决问题的关键．
测量教学楼的高度
组别
甲
乙
工具
测角仪
三角板，皮尺
测量示意图
测量方案与数据
如图1，组长用测角仪在点处测得教学楼最高点的仰角，测角仪
如图2，组长站在点处，眼睛在点处用三角板观测教学楼最高点的仰角，面向教学楼前进至点处，眼睛在点处用三角板观测到教学楼最高点的仰角，组长的眼睛到水平地面的距离，用皮尺测得
说明
所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，点，都在上
所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，点，，都在上
参考数据
，，，，
计算
……
……
项目主题
校园内“国槐”古树的高度测量与树形特征探究
数学抽象
表示水平地面，线段表示“国槐”古树（为树梢，为树根中心），项目学习小组的同学采用“双仰角法”测量树高，又将树冠投影近似成椭圆，通过计算高冠比判断树形特征
测量工具
激光投线角度仪（高度忽略不计）、皮尺等
项目方案
【树高测量】
1.在地面上选取测点，测得树梢的仰角；
2.在地面上选取测点，测得树梢的仰角；
3.测得，两点间的距离．（如图1）
【树冠投影数据】
1.测量树冠投影东西向最大宽度；
2.测量树冠投影南北向最大宽度．（如图2）
参考数据
高冠比结果精确到；参考数据：，，，，，；高冠比，其中平均冠幅．当时，树形舒展、冠大荫浓
…
…
项目主题
太行太岳烈士纪念塔高度的测量与计算
测量示意图
实施过程
如图，①用无人机在点处测得纪念塔的最高点的俯角及点之间的距离；②将无人机沿水平方向飞行到达点，在点处测得纪念塔最低点的俯角及两点之间的距离
测量数据
①；②；③；④
说明
图上所有点均在同一平面内，垂直于地面
计算
……
项目主题
景物的测量与计算
驱动问题
如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上．
图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内．
数据测量
在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计
计算
……
交流展示
……
课题
母亲河驳岸的调研与计算
调查方式
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能
驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图

相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
交流展示
名称
品牌空调
安装
出风最小角：，
出风最大角：
示意图
技术参数
空调尺寸：（宽×深×高，单位：）
安装要求
（1）空调安装尽量避免正对着床；
（2）空调底部需与墙面垂直
项目主题
校徽长度的测量与计算
活动任务
如何测量校园内教学楼上方的校徽的长度
活动内容
利用三角函数等知识进行校徽的测量与计算
活动过程
方案说明
1．工具准备：测角仪、卷尺等．
2．测量过程：（1）如图，站在与教学楼底部同一水平地面的处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽的顶部的点，此时，，三点在同一条直线上，测量，两点与，两点间的距离；
（2）用测角仪测量从眼睛处看校徽顶部的仰角；
（3）向后退至点处时，视线恰能看到校徽的底部点，此时点，，在同一条直线上，测量，两点间的距离；
（4）用测角仪测量从眼睛处看校徽底部的仰角．
3．测量图示：
数据测量
，，米，米，米，，图上所有的点均在同一平面内，，，，均与地面垂直
计算
……
交流展示
……
项目主题
智能机器人的高度测量与计算
驱动问题
如何测量智能机器人的高度
活动内容
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
图1是一款智能机器人，图2是其侧面示意图，底座是矩形，是上部显示屏，是侧面支架

数据测量
，，，，
计算
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交流展示
……
课题
测量潞州六府塔新塔的高度
测量工具
无人机，测角仪，秒表等
测量示意图
测量过程
如图1，测量小组使无人机在点C处竖直上升飞行至点D处，在点D处测得塔顶B的仰角为，塔底的俯角为，然后以的速度竖直上升飞行至点E处，测得塔顶B的俯角为．
说明
点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，C在同一水平线上，．
参考数据
，，，，，．
项目课题
测量百团大战纪念碑（主碑）的高度
驱动问题
你如何用所学知识测量百团大战纪念碑（主碑）的高度？
测量工具
测量角度的仪器、皮尺等
人员分工
测量组：××× 记录组：×××
测量方案
方案一：
说明：如图1，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测点，与点B在同一条水平直线上，且测得.，，，点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上
方案二：
说明：如图，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测得的长度和的度数，点，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点，在同一条直线上
方案论证
计算结果
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项目反思
课题
崛围山舍利塔的调研与计算
调查方式
资料查阅、文物部门走访、实地查看了解
调查内容
结构
舍利塔位于多福寺东南的山顶，原是宋代建筑，共7层，塔基呈6角6面、平台用砖石砌成，塔身为砖木结构……
塔高测量设计图
相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E、F均在同一竖直平面内，与地面平行，斜坡的坡角，塔顶端E的仰角，从点A出发沿着坡面前行36米到达点D处，测得塔顶点E的仰角为．
计算结果
…
交流展示
…
项目
内容
课题
测量北大“博雅塔”高度
测量示意图
说明：为“博雅塔”， 为地面，两处观测点，分别位于“博雅塔”两侧，由于地形原因，点高于地面，点，，在同一条直线上，且图中所有点均在同一竖直平面内
测量数据
的度数
的度数
的长度
的高度
课题
测量藏经楼的高度
测量方案
活动小组在距坡底C处5m的E处测得藏经楼顶A的仰角为，在坡底C处测得藏经楼顶A的仰角为．点A，B，C，E都在同一平面内．

测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
仰角的度数
仰角的度数
参考数据
CE的坡度，，，．
……