2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷）专题五 “阅读与思考”题解题策略

这是一份2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷）专题五 “阅读与思考”题解题策略，共7页。
圈划关键词：重点标注新概念的名称、定义、符号、规则、公式或方法步骤。
用简单例子验证：用材料中的例子或自己编一个最简单的例子（如特殊数值、简单图形）代入，亲手操作一遍，确保真正理解规则。
明确“已知”与“新知”：分清哪些是题目给的新知识，哪些是已学的旧知识
思考这个新概念与学过的哪个知识点相似？（例如：新运算 ↔ 有理数运算；新函数 ↔ 函数图象性质；新几何概念 ↔ 三角形、圆的性质）。
将新概念的语言翻译成你熟悉的数学语言或模型
前1-2个小问通常是直接应用定义，属于“送分题”。严格按定义操作，细心计算或推理。
答题格式可模仿材料中的示例。
最后的小问通常是综合探究，需要灵活运用新定义。
解题关键：将新定义作为已知条件，与其它几何性质、函数知识、方程思想结合，构建方程或模型。
常用思想：分类讨论、数形结合、从特殊到一般
核心快招与破题思路
类型一：新运算、新函数（代数类）
定义一种新的运算法则（如：a※b=ab+a+b），或定义一种新的函数（如：[x]表示取整函数）。
快招1：代数化
把新定义转化为常规的代数式。
快招2：特值探路
用具体数值代入，感受规律。
快招3：数形结合
若是新函数，务必画图！通过图象分析性质（增减性、对称性、最值）。
快招4：转化为方程/不等式
问题“若 x※5=23，求x”就是解方程；比较大小就是解不等式。
类型二：新几何概念（几何类）
定义一种新的几何图形关系（如：“等邻边四边形”、“智慧三角形”、“旋补三角形”）。
快招1：图形化
在图上准确标注出新定义涉及的点、线、角关系。
快招2：模型联想
思考它是否是特殊图形（等腰、直角、全等、相似）的复合或变式。
快招3：性质推导
从定义出发，推导其必然具备的几何性质（边相等、角相等、垂直等）。
快招4：构造与转化
通过添加辅助线，将新图形问题转化为全等、相似、勾股定理等经典问题。
1．阅读与思考
下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________．
A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想
(2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)B
(2)86
(3)17
【分析】（1）根据转化思想解答即可；
（2）仿照材料中的例题解答过程解答即可；
（3）仿照材料中的例题解答过程解答即可．
【详解】（1）解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想；
（2）解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式．
；
（3）解：我们从这个式子的结构出发，构造（）的对偶式．
．
2．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
神秘的数字黑洞
在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人去探索．数字黑洞就是其中之一．所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次“特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数．这个固定整数我们称为数字黑洞，本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小数．
四位数黑洞研究：
取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个数字相差，如，等除外），将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到，我们称为四位“黑洞”数．
例如：取四位数；
大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：；
小数：取这四个数字能构成的最小数，本例为：；
差：求出大数与小数之差，本例为：；
重复：对新数按以上算法求得新数为：；
重复：对新数按以上算法求得新数为：；
重复：．
任务：
(1)学习小组成员，取六位数，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密码，这个密码是 ；
(2)类比阅读内容，小组成员研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是 ；
(3)小组成员发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差”操作中，最大数和最小数的差能被整除，请证明这个结论．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】此题考查了数字规律问题，列代数式，有理数的减法，整式的加减的应用，解题的关键是正确分析题意．
（）根据“重排求差”法求解即可；
（）任取三位数，根据“重排求差”求解，进而找到规律；
（）根据题意得到最大三位数为，所组成的最小三位数为，然后作差求解即可．
【详解】（1）解：取六位数；
大数：这六个数字能构成的最大数为
小数：这六个数字能构成的最小数为；
差：大数与小数之差为；
故答案为：；
（2）解：任取三位数；
大数：这三个数字能构成的最大数为：；
小数：这三个数字能构成的最小数为：；
差：大数与小数之差为：；
重复：对新数按以上算法求得新数为：；
重复：对新数按以上算法求得新数为：；
重复：，
∴这个数是，
故答案为：；
（3）解：设一个三位数各数位上的数由组成，且，
则所组成的最大三位数为：，所组成的最小三位数为：，
∴最大数与最小数之差为
，
∵为正整数，
∴最大数和最小数的差能被整除．
3．阅读与思考
下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)将分式化为部分分式．
(2)函数可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到？
(3)拓展：当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近，请你直接写出的最小值以及的值．
【答案】(1)
(2)函数可以由反比例函数先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
(3)的最小值为1，的值为2
【分析】（1）仿照示例求解即可；
（2）结合示例根据“左加右减、上加下减”的平移规律解答即可；
（3）先将分式化为部分分式，再依照示例求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：函数可以由反比例函数先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到；
（3）解：
，
∴当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，
∴当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近2，
∴根据题意可得的最小值为1，的值为2．
4．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成下列任务．
任务：
(1)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________；
(2)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值，这个最值是___________；
(3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当长为多少时，矩形花圃的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题．
【答案】(1)，小，
(2)大，；
(3)当长为米时，矩形花圃的面积最大，最大面积是平方米
【分析】本题考查了二次函数的几何应用，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题干提供的解题过程，模仿即可作答；
（2）先整理原式得，计算化简得，结合题干的结论，即可作答．
（3）设的长为米，建立，根据二次函数的性质，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，得
当时，即（负值已舍去），有最小值，
把代入
得；
故答案为：，小，
（2）解：依题意
∵
∴
当时，有最大值，且
此时，
解得（舍去）
故答案为：大，；
（3）解：设的长为米，
则
∴
则
∵
∴开口向下，在时有最大值
把代入
得
∴当长为米时，矩形花圃的面积最大，最大面积是平方米．
5．阅读与思考
阅读下列材料完成后面任务．
仅利用折纸将线段三等分
我们已经学过线段的中点、三等分点、四等分点等概念，并且可以利用三角函数等方法求出线段的三等分点，下面介绍一种新的方法可以利用其将线段三等分—折纸法．
具体步骤如下．
第一步：如图1，准备一张长为，宽为的矩形纸片．
第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使得点B的对应点F落在边上，展开后得到折痕．
第三步：如图3，再将该矩形纸片沿过点C的直线折叠，使得点D的对应点H落在上，展开后得到折痕．
第四步：如图4，再将矩形纸片折叠，使得点G落在边上的点M处，展开后得到折痕，则M为的三等分点，即．
下面是该结论的部分证明过程：
证明：由折叠的性质，得．，根据勾股定理，可得．
设，，…
任务：
(1)请再仔细阅读上面的操作步骤，完成材料中剩余的证明过程．
(2)在解决问题的过程中，我们通过计算的长，从而得到结论，这里运用的数学思想方法是 .（填序号即可）
①函数思想；②公理化思想；③数形结合思想；④分类讨论思想．
(3)如图5，在图4的基础上，将矩形纸片沿着折痕折叠后，点C恰好落在上的点Q处，连接，判断四边形的形状，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)③
(3)正方形，见解析
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，正方形的判定，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）由折叠的性质，可得，，，进而得出，，设，利用勾股定理列方程，求出，即可证明；
（2）根据运用的数学思想方法作答即可；
（3）根据矩形和折叠的性质证明即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质，可得，，．
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
；
（2）解：通过计算的长，从而得到结论，这里运用的数学思想方法是数形结合思想，
故答案为：③；
（3）解：四边形是正方形．证明如下：
四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可知，，，
，
四边形为矩形，
又
四边形是正方形．
6．阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务一；
（1）请你补充完整小明的日记：①______，②______，③______．
任务二：
（2）若多项式是一个完全平方式，利用以上结论求出的值；
任务三：
（3）除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程，请你再举出一例．
【答案】（1）①，②有两个相等的实数根，③一；（2）：或6；（3）：用配方法求二次函数的顶点坐标
【分析】本题考查完全平方公式，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系：
（1）根据给定的等式得出规律求①，根的判别式求②，抛物线与轴的交点个数求③；
（2）根据规律列出一元二次方程，求解即可；
（3）配方法求二次函数的顶点坐标．
【详解】解：（1）多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为，
∴，
∴可以看成一元二次方程根的情况为有两个相等的实数根，也可以看成抛物线与轴有一个交点；
故答案为：①，②有两个相等的实数根，③一；
（2）由题意，可得：，
解得：或；
（3）例如：用配方法求二次函数的顶点坐标．
7．阅读与思考
任务：
(1)例1中得到的乘法公式是 （用含，的式子表示）．
(2)请将例2中的剩余过程补充完整．
(3)请尝试使用“算两次”原理解决下面的问题．如图3，在纸片中，对角线，相交于点，，，将纸片沿折叠，点的对应点为点，连接．若，则点到的距离为 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意分两种方法表示大正方形的面积即可求解；
（2）根据题意，利用面积公式分别用表示出、、的面积，并由求得面积，然后建立方程，解方程，即可求解；
（3）作于点，作于点，根据折叠以及平行四边形的性质，先的得出，，，通过角的和差可证明，进而证明四边形是矩形，得到，然后在和中，利用勾股定理求得和，最后在利用等面积法，即可求解．
【详解】（1）解：将其看成一个大正方形则面积为，
将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，面积为，
；
故答案为：．
（2）解：，
，
，
，
，
，
解得，
正方形的边长为．
（3）解：作于点，作于点，如图所示，
四边形是平行四边形，，，
，，
将纸片沿折叠，点的对应点为点，
，，
，
为等腰三角形，，
，
，
，
在中，，
，
，
又在中，，
，
，
又，，
，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，，
设点到的距离为，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，正方形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的内角和定理等，读懂题意利用等面积法求解是解题的关键．
8．阅读与思考
请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．
任务：
(1)若一张银票金额为1240两，密押为“兴忠仁吉”，请根据上述密押规则来判断这张银票的真伪．
(2)已知一张银票的密押为“仁安仁昌”，银票金额在50两以内且为整数，求这张银票的金额．
(3)在现有密押规则下，不同金额的银票生成的密押可能相同，存在造假风险，请你设计一种额外的加密措施，使银票的防伪性更强．
【答案】(1)伪；见解析
(2)16两
(3)见解析
【分析】（1）计算时，的值，根据四位数字，确定对应的欢子解答即可．
（2）根据银票的密押为“仁安仁昌”，得到对应的四位数字是3732，于是得到，求得，结合银票金额在50两以内且为整数，解答即可．
（3）答案不唯一，只要能增加保密性即可．
本题考查了求代数式的值，求平方根，熟练掌握求代数式的值，平方根是解题的关键．
【详解】（1）解：由材料可知，银票金额为1240两，则.
当时，.
对照汉字与数字对应关系得到这张银票的密押为“兴诚昌吉”，这与“兴忠仁吉”不符，
故该银票为假.
（2）银票金额在50两以内，
.
由汉字与数字对应关系得到“仁安仁昌”对应的数字为3732，
.
解得．
由材料可知且为整数，
这张银票金额的末两位数为16.
银票金额在50两以内，
这张银票的金额是16两.
（3）答案不唯一，例如，在密押中增加一个汉字确定银票金额是几位数.
9．阅读与思考
下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)阅读材料中给出的证明过程依据的定理是______；
(2)如图2，在中，和相交于点O，求证：；
(3)如图3，已知内接于，P为内一点，若，，请直接写出的值．
【答案】(1)勾股定理
(2)见解析
(3)65
【分析】（1）根据题意填空结论；
（2）根据平行四边形的性质和中线定理即可得到结论；
（3）根据平行四边形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形，推出AC，BD是直径，连接AC，BD交于O，连接根据矩形的性质和中线定理得到结论．
【详解】（1）解：阅读材料中给出的证明过程依据的定理是勾股定理，
故答案为：勾股定理；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
∵在中，是中线，
∴由中线定理得，，
∵在中，是中线，
由中线定理得，，
；
（3）解：四边形是平行四边形，
，
∵内接于，
，
，
是矩形，
连接，交于O，连接
是矩形，
，，，
根据中线定理，得，
【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握中线定理是解题的关键．
10．阅读与思考
下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________．
(2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）．
(3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系．
【答案】(1)平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）
(2)答案不唯一，见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题中证明过程填写依据即可；
（2）根据题意，作角平分线即可；
（3）过点作，交于点，则，进而证明，即可得出．
【详解】（1）解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）；
（2）答案不唯一，如答图1，点即为所求.
（3）如答图2，过点作，交于点.
，，.
平分，
.
.
.
.
1．（2025年山西中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．

任务：
(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；
(2)补全问题2的证明过程；
(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
【答案】(1)，等角的补角相等；
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据．
（2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成；
（3）作一个等边三角形即可完成．
【详解】（1）解：设的交点为O，如图；
∵四边形是矩形，
∴；
∵对角线与互为双关联线段，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；

故答案为：；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：等角的补角相等；
（2）解：是的外角，
．
是的外角，
．
，
．
即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是．
，
线段与线段是双关联线段．
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一： 作法二：
如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键．
12．（2024山西中考真题）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
(2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)240
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键．
（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为；
（2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出；
（3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了．
【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，，
∴等边半正六边形相邻两个内角的和为，
故答案为：240；
（2）解：．
理由如下：连接，．
六边形是等边半正六边形．
，．
．
．
在与中，
，
．
；
（3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）．
作法一：
作法二：
．
3．（2023山西中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）
(3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．

【答案】(1)三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
(2)答案不唯一，见解析
(3)平行四边形的周长等于对角线与长度的和，见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可；
（2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可；
（3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得妯结论．
【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
（2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求

（3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于四边形的两条对角线与长度的和，
证明如下：∵点分别是边的中点，
∴．
∴．
同理．
∴四边形的周长．
即瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度的和．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
阅读与思考：
教材内容一
七年级下《不等式与不等式组》中的“阅读与思考”——用求差法比较大小．
两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a，b比较大小，那么
当时，一定有；
当时，一定有；
当时，一定有；
反过来也对，即
当时，一定有；
当时，一定有；
当时，一定有．
教材内容二
八年级上《整式的乘法与因式分解》中的“完全平方式”节选
你能根据图2和图3中图形的面积说明完全平方公式吗？
阅读以上材料完成下列任务：
问题探究
对于图2我们进一步的探讨．
（1）______；______；
（2）比较与的大小，并说明理由：
拓展运用
（3）应用以上结果，求的最小值．
【答案】（1）能，（2）（3）2
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，分式的求值：
（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上2个长方形的面积，得到完全平方公式，直接利用面积公式求出即可；
（2）作差法比较与的大小即可；
（3）利用（2）的结论，利用，即可得出结果．
【详解】解：（1）能，图2：大正方形的面积；
图3：，
∴；
由图可知：；
（2）由（1）知：，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴的最小值为2．
2．阅读下列材料，解决问题．
如图1，已知正六边形，要求在正六边形的内部作一个矩形，且矩形的顶点在正六边形的边上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
小明利用尺规作图只作了部分，如图2所示．
(1)请你根据小明的作图思路，补画出矩形；
(2)在（1）的基础上，连接，若，则线段的长为 ，依据是 ；
(3)如图3，已知正五边形，在其内部作一个矩形，使得点
，分别在边，上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)，三角形中位线的性质定理
(3)见解析
【分析】本题主要考查了多边形的性质，熟练掌握矩形的性质、尺规作图以及正五边形和正六边形的性质是本题解题的关键．
（1）再找出和的中点，即可构造矩形；
（2）根据三角形中位线定理求解即可；
（3）分别过，作的垂线，与以及的交点，即为，．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图，
∵是的中点，是的中点，
∴，，
故答案为：，三角形中位线的性质定理；
（3）解：如图：
3．阅读与思考
【阅读材料】
如图1，在中，点D在边上，过点D作射线与直线交于点E．若，则称射线为中关于边的等角分线，点D为等角分点．特别地，当时，则称此时的射线为平行等角分线．
【概念辨析】
(1)若是等腰三角形，且，，射线是中关于边的等角分线，则的度数为______．
【作图计算】
(2)如图2，在等腰三角形中，，．
①尺规作图：作中关于边的平行等角分线，交边于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
②求的长．
【答案】(1)50
(2)①图见解析；②
【分析】（1）首先利用等边对等角求出，然后利用等角分线的定义求解即可；
（2）①首先作的垂直平分线交于点D，然后作交于点E即可；
②连接，过点A作于点F，则，由三线合一得到，利用勾股定理求出，设，则，，利用勾股定理求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
∵射线是中关于边的等角分线，
∴；
（2）解：①如解图1，射线即为所求；
②如解图2，连接，过点A作于点F，则，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∵点D在线段的垂直平分线上，
∴，
设，则，，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
4．阅读与思考
阅读下列材料，请完成后面的任务．
任务：
(1)材料中问题1的“▲”处应填写____________．
(2)请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整．
(3)如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长．
【答案】(1)②④；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）根据邻对等四边形的定义，逐一分析各四边形的性质：矩形和正方形的邻角相等且对角线相等，满足定义；菱形、平行四边形的邻角不一定相等，对角线也不一定相等，不满足定义；
（2）通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到角的等量关系，结合等腰三角形的性质和邻补角的定义，完成角的和为的证明；
（3）利用（2）的结论求出的度数，在中求出的度数，构造直角三角形，通过锐角三角函数计算的长度．
【详解】（1）解：根据邻对等四边形的定义，
①菱形：邻角互补，且对角线不一定相等，故不是邻对等四边形；
②矩形：邻角均为，对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形；
③平行四边形：邻角互补，对角线不一定相等，故不是邻对等四边形；
④正方形：邻角均为对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形；
故答案为：②④．
（2）证明：延长至点，使得，连接．
∵四边形是邻对等四边形，
∴，．
在和中，，
∴，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：∵四边形是邻对等四边形，
∴由（2）的结论可知，且．
，
．
在中，，
．
过点作于点，
在中，，，
．
在中，，，，
．
5．阅读与思考
小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一．19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的．”小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅读她的笔记，并完成下列任务．
问题：已知：线段（如图）．求作：在线段上找一点C，使得．（尺规作图）
任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为：_________
任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程．
任务三：请你再用一种不同的方法，在线段上找一点，使得．（尺规作图，保留痕迹，不写作法，不用证明）
【答案】[任务一] 平行线分线段成比例定理；[任务二]见解析；[任务三]见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质等知识点．
任务一：由平行线分线段成比例定理即可判定；
任务二：根据等边三角形导角得到，则，那么，则，即可得到．
任务三：分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则，那么四边形是菱形，则，再在射线上截取，则，那么，所以，那么，由可得，则，因此，故．
【详解】解：任务一：
证明：，．
（平行线分线段成比例定理），
故答案为：平行线分线段成比例定理；
任务二：
证明：由作图可知和均为正三角形
且
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
任务三：
解：如图，点即为所求：
6．阅读与思考
请你阅读小宇的数学思考，并完成相应的任务．
任务：
(1)填空：上述证明中的“依据”是指________．
(2)补全证明：请你用初中所学的知识补充小宇证明中的不完整部分．
(3)结合小宇的数学思考，请你判断①两边分别相等，其中一组等边的对角都是锐角且相等时，两个三角形是否全等；②两边分别相等，其中一组等边的对角都是直角时，两个三角形是否全等．请直接写出结果，不必证明．
【答案】(1)等角的补角相等
(2)见解析
(3)①两边分别相等，其中一组等边的对角都是锐角且相等时，两个三角形不一定全等；②两边分别相等，其中一组等边的对角都是直角时，两个三角形全等．
【分析】（1）根据等角的补角相等，即可解答；
（2）根据等角的补角相等，证明，证明，推出，再证明，推出，根据即可证明结论；
（3）①通过作图即可判断；②根据即可判断两个三角形全等．
【详解】（1）解：证明中的“依据”是指等角的补角相等，
故答案为：等角的补角相等；
（2）证明：如图2，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则．
∵，，且，
∴，（等角的补角相等）
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴；
（3）解：①两边分别相等，其中一组等边的对角都是锐角且相等时，两个三角形不一定全等；
在和中，，
如图，通过作图，可知与不一定全等．
；
②两边分别相等，其中一组等边的对角都是直角时，两个三角形全等．
在和中，，如图，
．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的全等的判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
7．阅读与思考
下面是小宇同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)如图2，若，求出的值．
(2)根据（1）中的计算，请你模仿三角形中位线定理归纳出“弹头形”中位线的性质：________
(3)如图3是一个抛物线形的桥洞，桥下水面的宽为4米．如图4是一种方形顶篷的观光船，已知这种观光船的顶篷距水面的高度恰好为桥洞顶端到水面高度的一半，则这种观光船顶篷的宽度不大于多少米才能保证顺利通过该桥洞？（结果保留一位小数，）
【答案】(1)
(2)“弹头形”中位线平行于底边且等于底边的
(3)观光船顶篷的宽度不大于米时，才能保证顺利通过该桥洞
【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质等知识，理解题意并抽象成数学问题是解题的关键．
（1）求出抛物线的函数解析式，再求出点E、F的坐标，即可求得，从而求得结果；
（2）由（1）所求，即可得到“弹头形”中位线等于底边的；
（3）考虑抛物线桥洞是一个“弹头形”，根据（2）可求得其中位线，从而可求解．
【详解】（1）解：由题意得；
设抛物线解析式为，把点B坐标代入得：，
解得：，
∴；
当时，，
解得：，
即，；
∵，
∴，
∴；
（2）解：“弹头形”中位线的性质： “弹头形”中位线平行于底边且等于底边的；
故答案为：“弹头形”中位线平行于底边且等于底边的；
（3）解：考虑抛物线形的桥洞即“弹头形”中位线，其长度为（米），
故当观光船顶篷的宽度不大于米时，才能保证顺利通过该桥洞．
8．阅读与思考
阅读下列材料，完成后面任务．
利用二次函数的图象解不等式
我们知道，利用一次函数的图象可以解一元一次不等式，那么对于不等式，如何求它的解集呢？我们可以类比前面的学习经验来解决这个问题．
第一步：画出二次函数的图象．
列表如下：
描点、连线，如图1所示．
第二步：确定二次函数的图象与轴的交点．
由图象可以看出，二次函数的图象与轴的交点为和．
第三步：确定不等式的解集．
由图象可知，当或时，二次函数的图象位于轴的上方，，即，
不等式的解集为或，同理，可得不等式的解集为．
任务：
(1)利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是______．（从下面选项中选出一个）
A．数形结合思想 B．统计思想 C．公理化思想
(2)请你用阅读材料中的方法解不等式，在如图2所示的平面直角坐标系中，直接画出函数图象，并参照材料中第三步的分析过程写出你的分析过程．
【答案】(1)A
(2)不等式的解集为或，画图及过程见解析
【分析】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，掌握数形结合的方法是解本题的关键；
（1）根据题干部分的阅读提示可得答案；
（2）先构建二次函数，再画二次函数的图象，建立对应的不等式，再利用数形结合的方法解题即可．
【详解】（1）解：利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是数形结合思想．
故选A；
（2）画函数的图象如图所示．
列表如下：
描点并连线：
将不等式进一步变形为，
观察图像可知，抛物线与轴相交于和两点，
当或时，
二次函数的图象位于轴下方，此时，即，
不等式的解集为或．
构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下：
探究：例题：已知，求的值．
解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式．
．
应用：……
利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况
对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如，，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况．
我们已知学习过反比例函数，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0．对于部分分式我们可以令，则函数，可以看作是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的新函数．那么当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，此时的值无限接近．例如，已知部分分式，我们令，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，所以的值无限接近2．
……
问题背景：
数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于，故，于是他们对两个正数之和与这两个正数之积的关系展开了探究．
探索发现：
发现结论：如果，那么（当且仅当时等号成立）
解释证明：
当时，
当时，
如果，那么（当且仅当时等号成立）
年月日 星期六
关于完全平方公式的思考完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛，今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现：
，．
我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律：
；．
若多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为①______；
王华的探索发现：
若多项式是完全平方式，也可以看作是一元二次方程根的情况为②______时；
还可以看作抛物线与轴有③______个交点时，
数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索多反思．
“算两次”原理
富比尼原理（），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系．
例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式．
例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高．现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边在上，它的两个顶点，分别在，上，高与交于点，求加工成的正方形的边长是多少厘米．
思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算的面积来求解．
方式一：．
方式二：．
解：设正方形的边长为，则．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∴．
……
“密押术”中的数学智慧
明清时期，山西晋商票号为保障银票安全，采用了多种防伪手段，“密押术”是其中最重要的一种．所谓“密押术”就是在银票上用特定的汉字来代替数字，使关键的金额、时间等信息仅内部人员可解读．某校数学兴趣小组研究了“密押术”之后，结合所学的数学知识针对十两以上万两以下的银票设计了一套独特的金额密押规则．内容如下：
（一）汉字与数字对应关系
每个汉字固定对应一个数字（0~9）：吉（0），忠（1），昌（2），仁（3），诚（4），和（5），兴（6），安（7），毅（8），梦（9）．
（二）生成密押
将金额的末两位数记为，然后计算的值，再取结果的后四位数字．然后对照（一）中的对应关系依次得到后四位数字对应的汉字，这四个汉字即为这张银票的汉字密押．例如，一张银票金额为326两，取其末两位数26，代入后的结果为4572．通过（一）中汉字与数字对应关系生成这张银票的密押为“诚和安昌”．
2025年5月4日 星期日
中线定理今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条——中线定理．该词条由《中国科技信息》杂志社参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证．
阅读该词条后，将理解内容记录如下：
中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．
如图1，在中，D为的中点，可得．
下面是该定理的证明过程：
证明：如图1，过点A作于点E．
在中，，
同理可得，，．
为证明方便，不妨设，，
=……
我有如下思考：将图1中的以点D为旋转中心旋转，可得到一个平行四边形，通过探究，得出一个猜想“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”……
年月日 星期六
利用平行线探究角平分线分线段成比例
今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．
我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证：
【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）：
证明：过点作，交的延长线于点．
（依据），，．
平分，．
．．
，即．
【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？
……
双关联线段
【概念理解】
如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．
例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．
【问题解决】
问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．
问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．
求证：线段是线段的双关联线段．
证明：延长交于点F．
是等边三角形，
．
，
（依据）．
，
，
；
…
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点．
∵分别为的中点，∴．（依据1）
∴．∵，∴．
∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即．
∵，即，
∴四边形是平行四边形．（依据2）∴．
∵，∴．同理，…
邻对等四边形
【概念理解】
有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中，，那么四边形称为邻对等四边形．
【问题解决】
问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)．
①菱形②矩形③平行四边形④正方形
问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：．
证明：如图2，延长至点，使得，连接，
方法一：
作法步骤：
（1）以A为端点作射线．
（2）在射线上依次截取线段．
（3）连接，过点E作的平行线交AB于点C．
证明：，．
（依据）
方法二：
作法步骤：
（1）以为一边作出等边．
（2）以为的一半为一边作出等边．
（3）连接交于点C．
证明：由作图可知和均为正三角形
且
∴……
我在学习完“探索三角形全等的条件”之后，知道“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等”．那在什么条件下，两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形就可以全等呢？我决定用所学知识研究一下这个问题．
我发现两边分别相等，其中一组等边的对角都是钝角且相等时，两个三角形全等．如图1所示，为钝角，用尺规作，在射线上作，以为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接，得到．
下面是证明的过程（部分）：
通过作图可知，，．
如图2，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则．
∵，，
且，
∴，（依据）
……
∴．
我和老师分享了我的研究成果，老师对我的数学思考给予了充分的肯定，我很开心，今后我还会多多思考，去发现更多数学的秘密．
中位线的数学思考
我们已经学习过三角形中位线的定义和定理，如图1，是的中位线，于点G，交于点F，易证．由此引发思考，图形的中位线可以看作经过图形的高的中点，且与底边平行的直线．三角形的中位线是底边的一半，那其他具有中位线的图形，中位线与底边又有怎样的数量关系呢？
如图2，抛物线与x轴交于原点O和点A，x轴上方的抛物线与线段围成的图形称为“弹头形”即为“弹头形”的底边．过抛物线的顶点B作于点C，称为“弹头形”的高，D是的中点，过点D作，交抛物线于点E，F，则就是“弹头形”的中位线．
通过研究，我发现了“弹头形”的中位线与底边的数量关系．
……
x
0
1
2
3
4
y
5
0
0
5