广东省汕头市澄海区2025-2026学年高二第一学期期末质量监测数学试题（含答案解析）

这是一份广东省汕头市澄海区2025-2026学年高二第一学期期末质量监测数学试题（含答案解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知集合和集合，则（ ）
2. 已知复数（为虚数单位），若为纯虚数，则实数的值为（ ）
3. 下列函数是定义在上的偶函数且在上单调递增的是（ ）
4. 直线圆相交于，两点，则“”是“”的（ ）
5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
6. 抛物线与余弦型曲线的交点个数是（ ）
7. 已知向量，，若，则（ ）
8. 康托（Cantr）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数的最小值为（ ）
（参考数据：，）
二、多选题
9. 圆和圆的交点为，，则（ ）
10. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ）
11. 已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（ ）
三、填空题
12. 已知函数，则_________.
13. 若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距依次成等差数列，则称其为“等差椭圆”，则“等差椭圆”的离心率为______．
14. 如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，若侧面（包含边界）内的动点满足（，），则点的轨迹的长度是________.
四、解答题
15. 数学期末考试中有8道单项选择题，满分40分，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，评分标准规定：答对得5分，不答或者答错得0分.考生甲每道单项选择题都选出了一个答案，能确定其中有5道题的答案是正确的，而其余3题中，有一道题可以排除两个错误选项，另外两个选项选择的可能性都相等；剩余两道题都能排除一个错误选项，另外三个选项选择的可能性都相等.各道单项选择题答对答错彼此互不影响.
(1)求甲得满分40分的概率；
(2)判断甲单项选择题得多少分的可能性最大，并说明理由.
16. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列的前项和，求数列的通项公式与前项和.
17. 如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是线段上的一点（不含端点）.

(1)证明：平面；
(2)若平面，证明：为的中点；
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
18. 在中，角，，的对边分别为，，，若且.
(1)求角的大小；
(2)求的最大面积；
(3)如图，若，点，分别在边，上，将沿着线段对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积.
19. 已知椭圆（）的短轴长为，椭圆上一点到右焦点的最小距离是1，设过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点（在的左侧）.
(1)求的方程；
(2)若轴，
①求证：直线平分.
②若点是直线与的交点，证明：.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．0
D．2
A．
B．
C．
D．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．2
B．3
C．4
D．5
A．
B．
C．
D．
A．5
B．6
C．7
D．8
A．圆的半径为2
B．两圆圆心距
C．公共弦所在直线的方程为
D．公共弦的垂直平分线的方程为
A．的最小正周期为
B．
C．在上单调递减
D．在上有6个零点
A．双曲线的方程为
B．的面积为
C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆内切
D．