2026年福建省泉州市洛江区九年级 质检数学试题（含解析）中考模拟

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（满分：150分；考试时间：120分钟）
温馨提示：请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，否则不得分．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 下列各数中为无理数的是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握开方开不尽，无限不循环小数等是无理数，来进行判断即可．
【详解】解：A．是有理数，不符合题意；
B．是有理数，不符合题意；
C．1是有理数，不符合题意；
D．是无理数，符合题意；
故选：D．
2. 2026年春运期间，全社会跨区域人员流动量约950000000人次．将950000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值．
【详解】解：将950000000用科学记数法表示为．
3. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】需根据合并同类项、积的乘方、二次根式加减的规则逐一判断选项．
【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故A选项错误，不符合题意；
B、与不是同类项，无法合并，故B选项错误，不符合题意；
C、积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得，故C选项正确，符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能直接合并被开方数计算，，故D选项错误，不符合题意．
5. 如图，该几何体的俯视图（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了几何体三视图，从上面看几何体得到的图形为俯视图，熟练掌握几何体的三视图是解题关键．
根据图形，看得见的轮廓用实线画出，即可求解．
【详解】解：由图可知：该几何体的俯视图是一个大四边形，右下角有一个小四边形，且看得见的轮廓用实线表示，
故选：C．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 掷一枚均匀的硬币，正面朝上，这是随机事件；
B. 调查长江流域的水污染情况，可以采用全面调查的方法；
C. 某次抽奖活动中，中奖的概率为，表示每抽奖50次一定有一次中奖；
D. 甲、乙两人各进行10次射击测试，两人成绩的平均数都是8.5环，方差分别是2和1.5，则甲的成绩更稳定．
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机事件定义，调查方式选择，概率的意义，方差的性质，逐一判断各选项即可．
【详解】解：A、掷一枚均匀的硬币，正面朝上的结果不确定，符合随机事件的定义，故A正确，符合题意；
B、长江流域范围广，无法完成全面调查，应当采用抽样调查，故B错误，不符合题意；
C、中奖概率为，表示大量重复试验时，平均每50次抽奖可能中奖1次，并非抽奖50次一定有一次中奖，故C错误，不符合题意；
D、方差越小，成绩越稳定，甲的方差2大于乙的方差1.5，因此乙的成绩更稳定，故D错误，不符合题意．
7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，

，.
，
，.
.
故选：C.
本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.
8. 如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，，，再根据正切的定义计算即可得出结果．
【详解】解：由题意可得：，，，
∴，
∴．
9. 在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得，
∴，
根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故选：A．
10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，
∵，
∵，
∴两点位于对称轴左侧，点位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，
解得：，
故选：．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接提公因式进行因式分解即可．
【详解】解：．
12. 某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是______．
【答案】12
【解析】
【分析】先求摸到红球的频率，再用20乘以摸到红球的频率即可．
【详解】解：摸到红球的频率为，
估计袋中红球的个数是（个）．
故答案为：12．
本题考查了用样本估计总体，关键是求出摸到红球的频率．
13. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵正六边形与正方形的两邻边相交，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
14. 如图，内接于，，与相切于点，则_____度．
【答案】50
【解析】
【分析】连接，，根据圆周角定理求出的度数，利用等腰三角形的性质求出的度数，再根据切线的性质得出，最后利用角的和差关系即可求解
【详解】解：连接，
，



与相切于点
15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，顶点，在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为6，点的纵坐标为，点的坐标为．则_____．
【答案】4
【解析】
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，连接交于点，推导出
，，点在的平分线上，得到证明，推导出，，再根据点P为的中点，得到，代入求解即可．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接交于点，则
，，
四边形是菱形，点的纵坐标为6，点的纵坐标为，
，，
，
∴点在的平分线上，
，
∴
，
， ，
，，
四边形是菱形，
∴点P为的中点，
，
，
．
16. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，可得，之后可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．约公元前240年，阿基米德算得，已知，在此基础上使用两次“调日法”得到的近似分数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先将已知带分数化为假分数，根据“调日法”的计算规则，结合已知的得到新的不等式，再次使用“调日法”计算即可得到结果．
【详解】解：将和化为假分数，得
，，
因此阿基米德所得不等式为，
由已知，可得第一次调日法后，不等式为，
根据“调日法”的规则，得到的近似分数为：
．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】7
【解析】
【分析】先计算二次根式的乘法、绝对值、零指数幂，再计算加减即可得出结果．
【详解】解：
．
18. 如图，点在的边上，且，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
由得到，可证明，推出．
【详解】证明：，
，
在和中，，
，
．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】此题主要考查了分式的化简求值，先去括号，再计算除法，化简后将代入计算即可，依据分式的混合运算法则，正确化简分式是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 我国古诗词源远流长，我校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为，，，四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：

（1）本次共抽取了___________名学生的竞赛成绩，请补全条形统计图；
（2）若我校共有1600人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为等级的学生人数；
（3）我校在竞赛成绩为等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
【答案】（1），图见解析；
（2）估计竞赛成绩为等级的学生人数为人；
（3）甲、乙两人同时被选中的概率为．
【解析】
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，用树状图或列表法求概率，概率公式，根据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键．
（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可；
（2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘全校人数即可求解；
（3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本次共抽取的学生人数为：（人），
成绩为等级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：（人）
∴估计竞赛成绩为等级的学生人数为人；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的有种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率为．
21. 如图，点是正方形的边上一个动点，连接．
（1）在线段上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，圆周角定理，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）作于点即可；
（2）以的中点为圆心，为直径画圆，则点始终在上，连接、，连接交于点，由正方形的性质可得，，从而可得，求出，可得，再由，得出当点、、在同一直线上时，最小，为．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求，
【小问2详解】
解：如图，以的中点为圆心，为直径画圆，
∵，
∴点始终在上，
如图，连接、，连接交于点，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点、、在同一直线上时，最小，为，
∴的最小值为．
22. 如图，在中，，，，是的中线，将沿折叠，点的对应点为点，连接．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由直角三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，从而可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理得出，从而可得，由平行线的性质可得，再由等边对等角得出，即可得证；
（2）由勾股定理可得，延长和交于点，作于点，由（1）可得，证明，得出，，由折叠的性质可得，从而可得，由等面积法求出，由勾股定理可得，再由等腰三角形的性质得出，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵在中，，是的中线，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵在中，，，，
∴，
如图，延长和交于点，作于点，
由（1）可得：，
∵，，
∴，
∴，，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
23. 已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若点和是抛物线上的两点．当，都满足，求的取值范围；
（3）点和分别在抛物线和上（、都不是原点），当时，若的值与无关，求的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用对称轴公式进行求解即可；
（2）分和两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可；
（3）根据题意，推出，根据的值与无关，得到，进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴对称轴为直线；
【小问2详解】
解：①当时，
∵，，对称轴为直线，
∴，
∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
∵，即，
∴，即点的中点在对称轴的右侧，
∴点离对称轴更远，
∵抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∴恒成立；满足题意；
当时，抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴点在对称轴的左侧，点关于对称轴的对称点为，
∵当，都满足，
∴，解得；
综上：或；
【小问3详解】
解：由题意，，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵的值与无关，
∴，
∴，
∴．
24. 综合实践：城市交通中的“绿波带”．
在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．
为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题：
（1）假设汽车以的速度匀速行驶：
①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间．
②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围．
（2）若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围．
【答案】（1）①不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒；②，
（2）
【解析】
【分析】（1）先求A到B的时间：，推导出不能全程绿灯通过，继而求出在B路口等待红灯时间：，B到C的时间：，则总时间为，即可解答；
②先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可；
（2）先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：①A到B的时间：，
A路口秒绿灯，秒红灯．
汽车36秒到达B路口，遇到红灯，
因此不能全程绿灯通过；
在B路口等待红灯时间：，
B到C的时间：，
总时间：
答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒．
②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至．
汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯，
∴，解得，
∵，
∴x的取值范围是：，
C路口绿灯每次都延迟，因此：
第1次绿灯：，
第2次绿灯：，
汽车到达C路口的时间：，
由题意，100秒在第二次绿灯内，
∴，
解得，
∵，
∴y的取值范围是；
【小问2详解】
解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：，
对B路口：，
解得，
C比A晚15秒绿灯，
因此：
C路口的第1次绿灯：，
C路口的第2次绿灯：，即
A到C总路程：，
对C路口： ，
解得，
∵，
∴．
25. 如图1，在中，将沿弦所在直线折叠，交弦于点．连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，若经过圆心点，求证：为正三角形；
（3）如图3，弦为的直径，的延长线交于点，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）作点关于的对称点，连接、，由轴对称的性质可得，由圆内接四边形的性质可得，再结合，得出，即可得证；
（2）作点关于直线的对称点，连接、、、，由与关于直线对称，得出点在上，从而可得，进而得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，求出，由（1）可得，即可得证；
（3）连接、，设，则，证明出，，从而可得，由相似三角形的性质可得，设，，则，求出，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：如图，作点关于的对称点，连接、，
则，
∵四边形圆内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图：作点关于直线的对称点，连接、、、，
∵与关于直线对称，
∴点在上，，，
又∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∵四边形圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
由（1）可得：，
∴为等边三角形；
【小问3详解】
解：如图，连接、，
设，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，，则，
∴（负值舍去），
∴．