贵州贵阳市2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷（含解析）

这是一份贵州贵阳市2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷（含解析），文件包含解三角形周长与周长最值问题面积与面积最值问题专项训练原卷版docx、解三角形周长与周长最值问题面积与面积最值问题专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
考试范围：平面向量及其应用、复数考试时间：120分钟总分150分命题人：余东海注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分），在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 零向量没有方向B. 单位向量的模都相等
C. 平行向量一定相等D. 向量的模是负数
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的概念、性质逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】选项A：零向量方向任意，故A错误；
选项B：单位向量的模为1，都相等，故B正确；
选项C：平行向量的方向相同或相反，且模长不一定相等，故平行向量不一定相等，故C错误；
选项D：向量的模非负，故D错误.
2. 已知复数（为虚数单位），则复数的实部是（ ）
A. 2B. -3C. 3D.
【答案】A
【解析】
【详解】由复数，
可知实部是2.
3. 已知向量，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量加法法则，即可求得答案.
【详解】由，得.
4. 计算（为虚数单位）的结果是（ ）
A. 3B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【详解】．
5. 已知向量，则的值为（ ）
A. B. C. 5D. 13
【答案】B
【解析】
【详解】.
6. 下列复数中，是实数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】四个选项中只有选项C 的复数的虚数单位的系数是零，因此只有是实数.
7. 已知向量，且，则的值为（ ）
A. B. C. -6D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】因为，，所以，解得.
8. 计算（为虚数单位）的结果是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的运算结合虚数单位的性质求解即可.
【详解】由题意得
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分），在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9. 下列关于平面向量的说法，正确的有（ ）
A. 相等向量的模相等且方向相同B. 平行向量也叫共线向量
C. 零向量与任意向量平行D. 向量的减法满足交换律
【答案】ABC
【解析】
【详解】对于A：根据相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A正确；
对于B，C：平行向量也叫共线向量；方向相同或相反的非零向量互相平行；
规定零向量与任意向量平行，故B、C正确；
对于D：，
所以向量的减法不满足交换律，故D错误.
10. 关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A. 当时，是实数
B. 当且时，是纯虚数
C. 复数的模
D. 虚数单位满足
【答案】AB
【解析】
【详解】A. 当时，复数简化为，其中为实数，故是实数，正确.
B. 当且时，复数，其中为非零实数，符合纯虚数定义，正确.
C. 复数的模定义为，选项中为立方根，错误.
D. 虚数单位满足，选项中为，错误.
11. 已知向量，则下列计算正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示和模长的坐标表示逐项判断即可.
【详解】由条件可得：
，，
，，
由上可知ABD正确，C错误.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）．
12. 已知复数，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】.
13. 已知向量，且⊥，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意得，解得.
14. 若向量的模为2，向量与方向相同，且，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】向量的模为2，向量与方向相同，且，所以
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算下列复数运算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：．
16. 已知向量，，求：
（1）的坐标；
（2）的值；
（3）的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行计算即可；
（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式进行计算即可；
（3）根据平面向量减法和模的坐标表示公式进行计算即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
因为
所以.
17. 已知复数，（为虚数单位），求：
（1）的模；
（2）；
（3）若，求的共轭复数．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据复数的加法运算法则求，再求.
（2）根据复数的乘法法则求值.
（3）根据共轭复数的定义求解.
【小问1详解】
，
.
【小问2详解】
【小问3详解】
因为，所以.
18. 在中，角所对的边分别为，已知，．
（1）求角的大小；
（2）求边的长度；
（3）求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可求得，可求角的大小；
（2）利用勾股定理可求边的长度；
（3）由三角形是直角三角形可求的面积．
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，又因为，，
所以，所以，
又因为，所以，所以；
【小问2详解】
由（1）可得，又，所以，
所以由勾股定理可得，所以.
【小问3详解】
由（2）知是直角三角形，且，所以.
19. 已知向量，且满足，．
（1）求实数，的值；
（2）求的坐标及模长；
（3）求与的数量积．
【答案】（1）或
（2）当2a→−3b→=−2,−3时，2a→−3b→=13；当2a→−3b→=−10,15时，2a→−3b→=513；
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用向量模的公式求出，结合向量平行的坐标运算即可求出;
（2）利用向量的坐标运算以及模长公式即可求解；
（3）利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【小问1详解】
因为a→=(m,3),a→=13，所以m2+32=13，解得，
因为，当时，2n=6⟹n=3，
当时，−2n=6⟹n=−3，
所以或,
【小问2详解】
当时，a→=(2,3)，b→=(2,3)，则2a→−3b→=−2,−3，
此时2a→−3b→=−22+−32=13，
当时，a→=(−2,3)，b→=(2,−3)，则2a→−3b→=−10,15，
此时2a→−3b→=−102+152=513，
所以当2a→−3b→=−2,−3时，2a→−3b→=13；
当2a→−3b→=−10,15时，2a→−3b→=513；
【小问3详解】
当时，a→=(2,3)，b→=(2,3)，
此时a→·b→=2×2+3×3=13,
当时，a→=(−2,3)，b→=(2,−3)，
此时a→·b→=−2×2+3×−3=−13.