江西省景德镇市乐平市2025-2026学年九年级下学期期中考试数学试卷

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1.-2026的倒数是( )
A. 2026B. -2026C. D. -
2.若二次根式与能合并，则k的值可能是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.如图是一个景德镇陶瓷博物馆收藏的文物，关于该作品的三视图，下列说法正确的是（）
A. 主视图和俯视图相同B. 左视图和俯视图相同
C. 主视图和左视图相同D. 三视图各不相同
4.乐平是“赣剧之乡”，戏曲文化底蕴深厚，某校开展“走进赣剧”文化调查，随机抽取部分学生，统计“最喜欢的赣剧经典剧目”（每人限选一项），并绘制成不完整的统计图表．
根据图表信息，下列说法错误的是（ ）
A. 本次共调查了60名学生
B. 最喜欢二进宫的人数占调查总人数的
C. 若将数据绘成扇形统计图，则“百花亭”对应的圆心角是
D. 最喜欢“打龙袍”的人数比“天女散花”的人数多6
5.在如图所示的电路图中，当开关闭合以后，滑动变阻器从左往右滑动的过程中，电流表的示数I（A）与R（Ω）关系用图象可近似表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.如图：有A，B，C三种三角形木板，小美想将其拼接成三棱锥，以下说法正确的是（）
A. 用1块A与3块B可拼成正三棱锥B. 用1块A与3块C可拼成正三棱锥
C. 用2块A与2块B可拼成三棱锥D. 用2块B与2块C可拼成三棱锥
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
7.因式分解：a2＋ab＝ ．
8.人类已知体积最大的恒星是史蒂文森，它位于银河系盾牌座，距地球约2万光年，是红超巨星，直径达30亿公里，是太阳的2150倍；30亿用科学记数法可表示为 ．
9.已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
10.苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心，则 ．
11.七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是 dm2．
12.如图，点D为等边三角形的中点，连接，将绕点D顺时针旋转（）得到，边、分别与交于点E、F，当的内角是与另两个内角中的一个存在两倍关系时，的度数为 ．
三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
按要求解答：
(1) 计算：；
(2) 如图，，且，试说明：．
14.(本小题6分)
以下是小明同学化简分式的部分运算过程：
解：原式第一步
第二步
第三步
第四步
(1) 上面过程中从第 步有错误；
(2) 请写出完整的正确解答过程．
15.(本小题8分)
已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5．
(1) 如图1，在一定时间段内，，之间电流能够正常通过的概率为 ；
(2) 如图2，请用列表或画树状图的方法，求在一定时间段内，，之间电流能够正常通过的概率．提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能（通电、断开），并且这两种状态的可能性相等．
16.(本小题8分)
如图，已知正六边形的边长为2，请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹．
(1) 图①中，在正六边形的内部找一点G，使得；
(2) 图②中，作出一条长度为的线段．
17.(本小题8分)
如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ，延长 交 于点 ．
(1) 求证： 是 的切线；
(2) 若 ， ，求图中阴影部分的面积．
18.(本小题8分)
为落实“双减政策”，某校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是14000元和7000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.4倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多300本．
(1) 求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
(2) 该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“传统文化”经典读本订购数量不超过400本且总费用不超过12880元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
19.(本小题8分)
“垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点所在的轴旋转．现测得，，，，．
(1) 如图3，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数．
(2) 求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
20.(本小题12分)
如图，直线分别与x轴、y轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴，垂足为点D．
(1) 求直线的解析式；
(2) 若，求k的值；
(3) 在（2）的条件下，过点B作轴，交反比例函数图象于点E，若点M在x轴上且满足，请直接写出点M的坐标．
21.(本小题12分)
随着科技的发展，人工智能已然走进了人们的生活，现从豆包、DeepSeek两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10位用户得分（x）的数据进行整理分析，共分为四组，A：， B：， C：， D：，下面给出了部分信息：
豆包人工智能软件得分数据：64，75，78，85，85，90，92，93，98，100．
DeepSeek人工智能软件在C组（）内的所有得分数据：88，88，89，90．
两款人工智能软件得分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 填空： ， ， ；
(2) 若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对DeepSeek人工智能软件进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数；
(3) 为了使样本数据更精确地反映总体情况，从豆包软件调查得分中又随机抽取5个用户进行统计，若新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88，则两次抽取的共15个用户评分的中位数为 ．
22.(本小题12分)
已知二次函数（，为常数，）．
(1) 求证：该函数的图象与轴一定有两个不同的交点；
(2) 若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围；
(3) 若对于任意的时，恒有随的增大而减小，且图象经过点，求的最大值．
23.(本小题8分)
明明同学在学习完矩形的性质后，对直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这条结论展开了以下探究：
(1) 如图1，中，，平分，于点E；
①若，则 ；
②若，则 ， ．
(2) 如图2，点D为直角边上一点，，将点C绕点D逆时针旋转得到点E．
①若此时点E恰好落在斜边上，试求出的大小；
②如图3，当点E落在的内部时，连接，并过点E作交的延长线于点F，试判断与的数量关系；
③当点E落在的外部时，连接，并过点E作交点F，若此时，，请直接写出的值（请自行画图求解）．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】a(a+b)
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 /
12.【答案】或或
13.【答案】【小题1】
解：
原式
；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

14.【答案】【小题1】
一
【小题2】
解：
．

15.【答案】【小题1】
【小题2】
画树状图如下：
由树状图可知，电流经过，D之间时两个电子元件的状态共有4种等可能的结果，其中，之间电流能够正常通过的结果共有3种．
（，D之间电流能够正常通过）．

16.【答案】【小题1】
解：如图所示，点G即为所求；（作法不唯一）
连接交于点G，
在正六边形中，每个内角均为，
∵，，
∴，
∵四边形与四边形关于成轴对称，
∴，，，
在中，，
∴．
【小题2】
解：如图所示，长度为的线段即为所求；（作法不唯一）
连接交于点O，连接与交于点G，连接与交于点M，
由（1）知，，
∵，，
∴，
∵为正六边形的对角线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．

17.【答案】【小题1】
证明：如图，连接 ，
以 为直径的 交 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线．
【小题2】
解：如图，过点 作 ，垂足为点 ，
在 中 ， ，
。
，
，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，∠OAG=180°-∠BAC=60°，
，
， ，
，
， ， ，
∴ ， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
．

18.【答案】【小题1】
设“传统文化”经典读本的单价是元，则“红色教育”经典读本的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，符合题意
∴，
答：“红色教育”的订购单价是14元，“传统文化”经典读本的单价是10元；
【小题2】
设订购“红色教育”经典读本本，则订购“传统文化”经典读本本，
由题意得：，
解得：，
设订购两种读本的总费用为元，
由题意得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最小值为，
此时，，符合题意，
答：订购这两种经典读本的总费用最低为12400元．

19.【答案】【小题1】
解：，，
，
∵，
，
，
故；
【小题2】
解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
​​​​​​​，，
平分，
而
∴在中，，
又，
，
∴在中，，，
，
，
，
，
到的距离为；

20.【答案】【小题1】
解：将，分别代入直线中，
得，解得，
∴直线的解析式为．
【小题2】
解：∵轴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，，
∴，，
∴，
∵点C在反比例函数的图象上，
将点C代入得：，
解得．
【小题3】
解：如图，过点E作关于y轴的平行线，交的延长线于点F，交x轴于点G，
∵轴，
∴，
∵点E在反比例函数上，
由（2）知，反比例函数解析式为，
将点E代入得：，解得，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可证得：四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴．

21.【答案】【小题1】
87.5
85
88
【小题2】
解：（名），
∴估计估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数约为580名．
【小题3】
88

22.【答案】【小题1】
证明：∵，，
∴该函数图象与轴一定有两个不同的交点；
【小题2】
解：∵，，
∴，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∵，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，
∴点在点的左侧时，
∴，
解得，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴；
当点在点的右侧时，即，解得且，无解集，
∴点在点的右侧，不成立，
综上可得的取值范围为；
【小题3】
解：由抛物线的对称轴为直线，
当，即时，抛物线的开口向上，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，总是存在有随的增大而增大，结论不成立；
当，即时，抛物线开口向下，
∴当时，随增大而减小，
∵当时，总有随的增大而减小，
∴抛物线的对称轴不在轴右侧，即，
∴，，
∵抛物线过点，
∴，即，
∴，
即是的二次函数，
其图象为一条抛物线，这条抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴当时，的最大值为，
∴当且仅当，时，的最大值是．

23.【答案】【小题1】

​​​​​​​
​​​​​​​
【小题2】
①解：∵将点C绕点D逆时针旋转得到点E，点E在斜边上，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴；
②解：，理由如下：
如图，连接，并取线段的中点G，连接，，．
∵将点C绕点D逆时针旋转得到点E，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵G为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∵G为线段的中点，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
③解：如图，连接，并交于点G，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形．
∵将点C绕点D逆时针旋转得到点E，
∴，，
又∵矩形，
∴，
在和中，
∵，
∴．
由②可知：，
又∵，矩形，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，即是等边三角形，
∴，
∴，即．
令，
在中，
∵，，，
∴，
．
∵，
∴．
剧目
打龙袍
二进宫
百花亭
天女散花
人数
15
24
12
9
软件
平均数
中位数
众数
方差
豆包
86
a
b
111.2
DeepSeek
86
c
88
89.8