江西省景德镇市乐平市2022-2023学年下学期九年级期中学业评价数学试卷（含解析）

这是一份江西省景德镇市乐平市2022-2023学年下学期九年级期中学业评价数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

江西省景德镇市乐平市2022-2023学年下学期九年级期中学业评价数学试题
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．﹣2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．化简+的结果为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
3．将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（　　）

A． B．
C． D．
4．下列说法中正确的是（　　）
A．为了了解我国中学生的课外阅读情况，应采取全面调查方式
B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖
C．若a是实数，则|a|＞0是必然事件
D．甲、乙两组数据方差分别为0.03和0.13，则甲组数据比乙组数据稳定
5．如图在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝π，以AB为直径作半圆，形成了3部分封闭且不重合的图形，其中两部分面积分别为S1和S2．则S1和S2的关系为（　　）

A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
6．二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0解为（　　）
A．x1＝﹣3 x2＝﹣1 B．x1＝1 x2＝3
C．x1＝﹣1 x2＝3 D．x1＝﹣3 x2＝1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解：a2﹣4＝　 　．
8．记者从2022年高质量发展新闻发布会上获悉，截至2022年年底，国家能源集团风电装机达到5600万千瓦，继续保持世界第一．其中数据5600万可用科学记数法表示为 　 　千瓦．
9．方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根为x1，x2，则﹣2x1x2+的值为 　 　．
10．在《九章算术》的“方程”一章中，二元一次方程组是由算筹布置而成的．若图1所示的算筹图表示方程组，则图2所表示的方程组为 　 　．

11．如图，在△ABC中AC＝BC，∠ACB＝90°．以AC为一边在AC的右侧作等边△ACD，连接BD，则∠ABD的度数为 　 　．

12．如图，在坐标系中，正方形OABC的边长为2，点P是x轴上一动点．若BP与∠ABC的两边所组成的角的度数之比为1：3，则点P的坐标为 　 　．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：﹣（π﹣3.14）0﹣|﹣2|+cos60°．
（2）如图，在▱ABCD中，将△ABC沿对角线AC翻折得到△AB′C，B′C交AD于点E．
求证：△AEC是等腰三角形．

14．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
15．“十一”黄金周期间，小芬与小亮逛了两家商场，看到两家商场都有“幸运大转盘”有奖销售活动，购物一次就能转动转盘一次进行抽奖，指针指向交界处时，当作指向右边的扇形．A商场的转盘如图1所示，B商场的转盘如图2所示．两人发现，两个转盘都被分成四格，奖励的等级如图所示，图1中转盘的四格等分圆面，图2中的“三等奖”区域、“谢谢惠顾”区域的圆心角都是95°，“一等奖”区域的圆心角是80°．
（1）①在A商场中转转盘一次，中一等奖的概率是　 　；
②在B商场中转转盘一次，中一等奖的概率是　 　；
③在A，B商场中分别转转盘一次，中二等奖的概率分别为P（A），P（B），则P（A）　 　P（B）（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）小芬与小亮在A商场都购物一次，每人都转动转盘一次，请你用列表法求出小芬与小亮在A商场至少有一人中一等奖的概率．

16．如图，点E是正方形ABCD内一点，且EB＝EC．请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中，作出BC边的中点．
（2）在图2中，作出CD边的中点．

17．在平面直角坐标系中，将Rt△OBC按如图所示方式放置，已知OB＝3，BC＝2，∠OBC＝90°．将△OBC先向右平移2个单位，再向上平移m（m＞0）个单位后得到△DEF．
（1）直接写出D、F两点的坐标；（用含m的代数式表示）
（2）若点D、F均落在反比例函数y＝的图象上，求m的值及反比例函数的解析式．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．某地区原来每天需要处理732吨生活垃圾，恰好需要用12个A型、10个B型预处置点位进行处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天能多处理6吨生活垃圾．
（1）求一个B型点位每天能处理生活垃圾多少吨？
（2）由于垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理6吨生活垃圾．若该地区计划再增设A型、B型点位共5个，试问：至少需要增设几个A型点位才能当日处理完？
19．为了落实“双减”工作，提高作业质量，增强作业针对性、有效性，某中学设置了分层作业，并对学生每天完成书面作业时间t（min，取整数）进行了随机抽样调查．根据调查结果制成了如图所示的不完整的频数分布直方图（每组含小数据不含大数据，从左到右依次记为A，B，C，D，E，F）和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 　 　；补全频数分布直方图．
（2）下列结论正确的是 　 　（填序号）．
①样本中，完成作业时间t中位数在75≤t＜90组内；
②样本中，完成作业时间t的众数在60≤t＜75内；
③时间段90≤t＜120对应扇形的圆心角度数为90°
（3）中学生每天完成作业的时间少于90min，不少于45min视为课业负担适中，请你估计该校800名学生中，课业负担适中的学生有多少人？

20．图1是放在散热支架上的笔记本电脑实物图，图2是它的侧面示意图，点B，C，D处可转动，支撑架AB＝BC＝CD＝DE＝28cm．若电脑显示屏的边EF＝26cm，且EF垂直于桌面AB，∠ABC＝30°，∠BCD＝75°，∠CDE＝60°．
（1）求∠DEF的度数．
（2）求笔记本电脑显示屏边的端点F到桌面AB的距离．（结果精确到1cm）（sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，1.41）

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，射线BD⊥AB，点P是射线BD上一动点，连接CP，已知AB＝10，AC＝6．
（1）若PC∥AB，如图1，求BP的长．
（2）若PC与⊙O相切，如图2，求BP的长．

22．已知抛物线n：y＝x2﹣m（m≠0）与x轴从左到右交于A、B两点，顶点为C．
（1）△ABC的形状是 　 　．
（2）若AB＝4，求m的值．
（3）直线y＝x与抛物线n从左到右交于D、E两点，P是线段DE的中点，PF∥y轴与抛物线n相交于点F．
①若PF＝，求m的值；
②求△DEF的面积（用含m的代数式表示）．
六、（本大题共12分）
23．数学课上，老师给出了下面命题：
把一个三角形绕着某点（顺时针或逆时针）旋转90°后得到的三角形，与原三角形的对应线段（如：边、高、中线、角平分线等）都存在对应相等，且互相垂直的关系．

（1）为了验证这个结论，小宇同学把△ABC绕着点A逆时针旋转90°得△AB′C′，如图1，显然△ABC≌△AB′C′，所以B′C′＝BC．请你完成证明B′C′⊥BC的过程．
（2）为了验证这个结论，小明同学在（1）基础上，选择对应中线，于是分别取AB、A′B′的中点G、G′连接CG、C′G′，如图2．求证：CG＝C′G′且CG⊥C′G′．
拓展应用
（3）如图3，在正方形ABCD中，把等腰Rt△EFC（∠ECF＝90°）如图放置，连接AE、AF，点G为AF的中点，连接DG．请你猜想DG与AE的关系，并证明你的结论．


参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题只有一个选项正确，每小题3分，共18分）
1．﹣2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
解：∵﹣2×＝1．
∴﹣2的倒数是﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．
2．化简+的结果为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】原式变形后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
解：原式＝﹣＝＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】直三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个等边三角形的底面组成．
解：选项A、B、C均可能是该直棱柱展开图，不符合题意，而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意，
故选：D．
【点评】考查了几何体的展开图，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．
4．下列说法中正确的是（　　）
A．为了了解我国中学生的课外阅读情况，应采取全面调查方式
B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖
C．若a是实数，则|a|＞0是必然事件
D．甲、乙两组数据方差分别为0.03和0.13，则甲组数据比乙组数据稳定
【分析】直接利用概率的意义以及必然事件、全面调查的意义分别分析得出答案．
解：A．为了了解我国中学生的课外阅读情况，应采取抽样调查方式，原说法错误，故此选项不合题意；
B．某彩票的中奖机会是1%，买100张也不一定会中奖，原说法错误，故此选项不合题意；
C．若a是实数，则|a|≥0是必然事件，原说法错误，故此选项不合题意；
D．甲、乙两组数据方差分别为0.03和0.13，则甲组数据比乙组数据稳定，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了概率的意义以及方差，正确掌握概率的意义是解题关键．
5．如图在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝π，以AB为直径作半圆，形成了3部分封闭且不重合的图形，其中两部分面积分别为S1和S2．则S1和S2的关系为（　　）

A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
【分析】证明半圆面积等于三角形面积，可得结论．
解：∵S半圆＝×π×22＝2π，S△ABC＝•AB•BC＝×4×π＝2π，
∴S半圆＝S△ABC，
∴S1＝S2．
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
6．二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0解为（　　）
A．x1＝﹣3 x2＝﹣1 B．x1＝1 x2＝3
C．x1＝﹣1 x2＝3 D．x1＝﹣3 x2＝1
【分析】首先求出二次函数图象与x轴的另一个交点坐标，进而求出方程ax2﹣2ax+c＝0的解．
解：∵y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，
∴二次函数的图象的对称轴方程为直线x＝1，
∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴方程ax2﹣2ax+c＝0解为x1＝﹣1 x2＝3，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出二次函数图象与x轴的交点坐标，此题难度不大．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解：a2﹣4＝　（a+2）（a﹣2）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
8．记者从2022年高质量发展新闻发布会上获悉，截至2022年年底，国家能源集团风电装机达到5600万千瓦，继续保持世界第一．其中数据5600万可用科学记数法表示为 　5.6×107　千瓦．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：5600万＝56000000＝5.6×107．
故答案为：5.6×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根为x1，x2，则﹣2x1x2+的值为 　25　．
【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，再利用完全平方公式把﹣2x1x2+变形为（x1+x2）2﹣4x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，
所以﹣2x1x2+＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝32﹣4×（﹣4）＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
10．在《九章算术》的“方程”一章中，二元一次方程组是由算筹布置而成的．若图1所示的算筹图表示方程组，则图2所表示的方程组为 　　．

【分析】根据图1所表示方程组，可找出各算筹表示的数量，进而可得出图2所表示的方程组为．
解：根据题意得：图2所表示的方程组为．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．如图，在△ABC中AC＝BC，∠ACB＝90°．以AC为一边在AC的右侧作等边△ACD，连接BD，则∠ABD的度数为 　30°　．

【分析】根据等边三角形的性质得出BC＝CD，得到∠CBD＝15°，进一步求出结果．
解：∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD＝AD，∠ACD＝60°，
∵AC＝BC，
∴BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝45°﹣15°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，运用好等边对等角是解题关键．
12．如图，在坐标系中，正方形OABC的边长为2，点P是x轴上一动点．若BP与∠ABC的两边所组成的角的度数之比为1：3，则点P的坐标为 　（4，0）或（4﹣2，0）或（﹣2，0）　．

【分析】分三种情况分别画出相应图形，根据正方形、等腰三角形以及直角三角形的边角关系进行计算，求出OP的长即可．
解：如图，①当∠CBP1：∠ABP1＝1：3时，则∠CBP1＝90°×＝45°，
∴BC＝CP1＝2，
∴OP1＝2+2＝4，
此时点P1的坐标为（4，0）；
②当∠CBP2：∠ABP2＝1：3时，则∠CBP2＝90°×＝22.5°，
连接OB，则∠OBC＝45°，OB＝＝2，
此时BP2平分∠OBC，
过点P2作P2M⊥OB于M，则P2M＝P2C＝OM＝2﹣2，
∴OP2＝•OM＝4﹣2，
此时点P2的坐标为（4﹣2，0）；
③当∠ABP3：∠CBP3＝1：3时，则∠ABP3＝90°×＝22.5°＝∠BP3C＝∠OBP3，
∴OP3＝OB＝2，
此时点P3的坐标为（﹣2，0）；
综上所述，点P的坐标为（4，0）或（4﹣2，0）或（﹣2，0）．
故答案为：（4，0）或（4﹣2，0）或（﹣2，0）．

【点评】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握正方形的性质以及坐标的定义是正确解答的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：﹣（π﹣3.14）0﹣|﹣2|+cos60°．
（2）如图，在▱ABCD中，将△ABC沿对角线AC翻折得到△AB′C，B′C交AD于点E．
求证：△AEC是等腰三角形．

【分析】（1）由算术平方根的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质及特殊角的三角函数值可分别求出、（π﹣3.14）0、|﹣2|及cos60°的值，再求出整个算式的值即可；
（2）由AD∥BC得∠CAE＝∠ACB，由折叠得∠ACE＝∠ACB，则∠CAE＝∠ACE，所以CE＝AE，则△AEC是等腰三角形．
【解答】（1）解：﹣（π﹣3.14）0﹣|﹣2|+cos60°＝3﹣1﹣2+＝．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAE＝∠ACB，
由折叠得∠ACE＝∠ACB，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴CE＝AE，
∴△AEC是等腰三角形．
【点评】此题重点考查算术平方根的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定等知识，此题涉及的知识较多，但难度不大．
14．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据求公共解集的方法求出不等式组的解集．
解：，
解不等式①得：x≥﹣3；
解不等式②得：x＜16；
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜16，
表示在数轴上如图：

【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
15．“十一”黄金周期间，小芬与小亮逛了两家商场，看到两家商场都有“幸运大转盘”有奖销售活动，购物一次就能转动转盘一次进行抽奖，指针指向交界处时，当作指向右边的扇形．A商场的转盘如图1所示，B商场的转盘如图2所示．两人发现，两个转盘都被分成四格，奖励的等级如图所示，图1中转盘的四格等分圆面，图2中的“三等奖”区域、“谢谢惠顾”区域的圆心角都是95°，“一等奖”区域的圆心角是80°．
（1）①在A商场中转转盘一次，中一等奖的概率是　　；
②在B商场中转转盘一次，中一等奖的概率是　　；
③在A，B商场中分别转转盘一次，中二等奖的概率分别为P（A），P（B），则P（A）　＝　P（B）（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）小芬与小亮在A商场都购物一次，每人都转动转盘一次，请你用列表法求出小芬与小亮在A商场至少有一人中一等奖的概率．

【分析】（1）①直接由概率公式求解即可；
②直接由概率公式求解即可；
③求出P（A）和P（B），即可求解；
（2）列表得出共有16个等可能的结果，小芬与小亮在A商场至少有一人中一等奖的结果有7个，再由概率公式求解即可．
解：（1）①在A商场中转转盘一次，中一等奖的概率是，
故答案为：；
②在B商场中转转盘一次，中一等奖的概率是＝，
故答案为：；
③P（A）＝，P（B）＝＝，
∴P（A）＝P（B），
故答案为：＝；
（2）列表如下：

共有16个等可能的结果，小芬与小亮在A商场至少有一人中一等奖的结果有7个，
∴小芬与小亮在A商场至少有一人中一等奖的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．如图，点E是正方形ABCD内一点，且EB＝EC．请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中，作出BC边的中点．
（2）在图2中，作出CD边的中点．

【分析】（1）连接AC、BD，它们相交于O点，连接EO并延长交BC于F，则F点满足条件；
（2）FE交AD于H，连接CH交BD于G，则AG的延长线交CD于P，则P点满足条件．
解：（1）如图1，点F为所作；
（2）如图2，点P为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正方形的性质．
17．在平面直角坐标系中，将Rt△OBC按如图所示方式放置，已知OB＝3，BC＝2，∠OBC＝90°．将△OBC先向右平移2个单位，再向上平移m（m＞0）个单位后得到△DEF．
（1）直接写出D、F两点的坐标；（用含m的代数式表示）
（2）若点D、F均落在反比例函数y＝的图象上，求m的值及反比例函数的解析式．

【分析】（1）先求出点C坐标，再根据平移规律即可得到D、F两点的坐标．
（2）把D，F两点坐标代入y＝中即可求出m与k的值，从而得到反比例函数的解析式．
解：（1）∵OB＝3，BC＝2，
∴B（0，﹣3），C（2，﹣3），
∵△OBC先向右平移2个单位，再向上平移m个单位后得到△DEF，
∴D（2，m），F（4，﹣3+m）．
（2）∵D（2，m）、F（4，﹣3+m）在反比例函数y＝的图象上，
∴，
解得k＝12，m＝6，
∴反比例函数的解析式为．
【点评】本题考查了点的坐标平移规律，待定系数法求反比例函数解析式，熟记平移规律，熟练运用待定系数法是解题关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．某地区原来每天需要处理732吨生活垃圾，恰好需要用12个A型、10个B型预处置点位进行处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天能多处理6吨生活垃圾．
（1）求一个B型点位每天能处理生活垃圾多少吨？
（2）由于垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理6吨生活垃圾．若该地区计划再增设A型、B型点位共5个，试问：至少需要增设几个A型点位才能当日处理完？
【分析】（1）设一个B型点位每天能处理生活垃圾x吨，则一个A型点位每天能处理生活垃圾（x+6）吨，根据“12个A型、10个B型预处置点位每天正好处理732吨生活垃圾”，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设增设y个A型点位，则增设（5﹣y）个B型点位，根据新增处置点后每日可处理生活垃圾不少于732吨，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：（1）设一个B型点位每天能处理生活垃圾x吨，则一个A型点位每天能处理生活垃圾（x+6）吨，
根据题意得：12（x+6）+10x＝732，
解得：x＝30．
答：一个B型点位每天能处理生活垃圾30吨；
（2）设增设y个A型点位，则增设（5﹣y）个B型点位，
根据题意得：（30+6﹣6）（12+y）+（30﹣6）[10+（5﹣y）]≥732，
解得：y≥2，
∴y的最小值为2．
答：至少需要增设2个A型点位才能当日处理完．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19．为了落实“双减”工作，提高作业质量，增强作业针对性、有效性，某中学设置了分层作业，并对学生每天完成书面作业时间t（min，取整数）进行了随机抽样调查．根据调查结果制成了如图所示的不完整的频数分布直方图（每组含小数据不含大数据，从左到右依次记为A，B，C，D，E，F）和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 　64　；补全频数分布直方图．
（2）下列结论正确的是 　①③　（填序号）．
①样本中，完成作业时间t中位数在75≤t＜90组内；
②样本中，完成作业时间t的众数在60≤t＜75内；
③时间段90≤t＜120对应扇形的圆心角度数为90°
（3）中学生每天完成作业的时间少于90min，不少于45min视为课业负担适中，请你估计该校800名学生中，课业负担适中的学生有多少人？

【分析】（1）用C组的学生数除以25%，可求出抽查的学生人数；用样本容量分别减去其他5组的人数，可得B组人数，进而补全频数分布直方图；
（2）①根据中位数的定义判断即可；②根据众数的定义判断即可；③用360°乘时间段90≤t＜120所占比例即可判断；
（3）用总人数乘45≤t＜90的人数所占的百分比即可．
解：（1）本次调查的学生人数为：16÷25%＝64（人），
B组人数为：64﹣4﹣16﹣20﹣12﹣4＝8（人），
补全频数分布直方图如下：

故答案为：64；
（2）①样本中，完成作业时间t中位数在75≤t＜90组内，原说法正确；
②样本中，完成作业时间t的众数在45≤t＜60和75≤t＜90内，故原说法错误；
③时间段90≤t＜120对应扇形的圆心角度数为360°×＝90°，原说法正确．
故答案为：①③；
（3）800×＝550（人），
答：估计该校800名学生中，课业负担适中的学生大约有550人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数、众数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．
20．图1是放在散热支架上的笔记本电脑实物图，图2是它的侧面示意图，点B，C，D处可转动，支撑架AB＝BC＝CD＝DE＝28cm．若电脑显示屏的边EF＝26cm，且EF垂直于桌面AB，∠ABC＝30°，∠BCD＝75°，∠CDE＝60°．
（1）求∠DEF的度数．
（2）求笔记本电脑显示屏边的端点F到桌面AB的距离．（结果精确到1cm）（sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，1.41）

【分析】（1）根据平行线的性质求出∠DEP的度数即可；
（2）根据直角三角形的边角关系，求出DQ、DG、CH即可．
【解答】
解：（1）如图，过点C、点D、点E分别作AB的平行线CM、DN、EP，
∵AB∥CM∥DN∥EP，
∴∠BCM＝∠ABC＝30°，
∵∠BCD＝75°，
∴∠DCM＝75°﹣30°＝45°，
∵CM∥DN，
∴∠DCM＝∠CDN＝45°，
∵∠CDE＝60°，
∴∠EDN＝60°﹣45°＝15°，
∵DN∥EP，
∴∠PED＝∠EDN＝15°，
∴∠DEF＝15°+90°＝105°；
（2）如图，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，则DQ所在的直线交CM于G，DG⊥CM，过点C作CH⊥AB于H，
在Rt△DEQ中，∠EDQ＝90°﹣15°＝75°，DE＝28cm，
∴DQ＝DE•cos∠EDQ
＝28×cos75°
≈28×0.26
＝7.28（cm），
在Rt△CDG中，∠DCG＝45°，CD＝28cm，
∴DG＝CD＝14≈19.74（cm），
在Rt△BCH中，∠CBH＝30°，BC＝28cm，
∴CH＝BC＝14（cm），
∴笔记本电脑显示屏边的端点F到桌面AB的距离为：
EF+QD+DG+CH
＝26+7.28+19.74+14
＝67.02
≈67（cm），
答：笔记本电脑显示屏边的端点F到桌面AB的距离约为67cm．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，射线BD⊥AB，点P是射线BD上一动点，连接CP，已知AB＝10，AC＝6．
（1）若PC∥AB，如图1，求BP的长．
（2）若PC与⊙O相切，如图2，求BP的长．

【分析】（1）连接BC，如图1，先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC＝8，再证明△BCP∽△ABC，然后利用相似比可求出BP的长；
（2）连接OP、BC、OC，如图2，先证明PB为⊙O的切线，则根据切线长定理得到PC＝PB，再证明OP垂直平分BC，接着证明∠BPO＝∠ABC，则可判断△BPO∽△CBA，然后利用相似比计算出BP的长．
解：（1）连接BC，如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝8，
∵BD⊥AB，PC∥AB
∴PC⊥BD，∠PCB＝∠ABC，
∴∠BPC＝90°，
∵∠BPC＝∠ACB，∠PCB＝∠ABC，
∴△BCP∽△ABC，
∴BP：AC＝BC：AB，即PB：6＝8：10，
解得BP＝，
即BP的长为；
（2）连接OP、BC、OC，如图2，
∵PB⊥AB，
∴PB为⊙O的切线，
∵PC与⊙O相切，
∴PC＝PB，
∵OC＝OB，
∴OP垂直平分BC，
∵∠PBC+∠ABC＝90°，∠PBC+∠BPO＝90°，
∴∠BPO＝∠ABC，
∵∠PBO＝∠ACB，
∴△BPO∽△CBA，
∴BP：CB＝BO：AC，即BP：8＝5：6，
解得BP＝，
即BP的长为．

【点评】本题考查了切线的性质：从圆一点引圆的切线，切线长相等．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
22．已知抛物线n：y＝x2﹣m（m≠0）与x轴从左到右交于A、B两点，顶点为C．
（1）△ABC的形状是 　等腰直角三角形　．
（2）若AB＝4，求m的值．
（3）直线y＝x与抛物线n从左到右交于D、E两点，P是线段DE的中点，PF∥y轴与抛物线n相交于点F．
①若PF＝，求m的值；
②求△DEF的面积（用含m的代数式表示）．
【分析】（1）根据题意可求出A、B、C三点坐标，再求出OA＝OB＝OC，即可知△ABC是等腰直角三角形．
（2）由（1）和已知条件即可求解．
（3）由直线与抛物线相交列出方程，由韦达定理写出x1+x2＝2，．
①根据题意求出P的横坐标代入直线与抛物线中，即可求解；
②根据题意知S△DEF＝S△PFD+S△PFE即可求解．
解：（1）令y＝0，则x2﹣m＝0，
解得x＝±m，
∴A（﹣|m|，0），B（|m|，0），
∴OA＝OB＝|m|，
令x＝0，则y＝﹣m，
∴C（0，﹣m），
∴OC＝|m|，
∴AC＝BC＝|m|，
∵OC＝OA＝OB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
（2）由（1）知，AB＝2|m|＝4，
∴m＝±2．
答：m的值为±2．
（3）由直线y＝x与抛物线n相交可知，
x2﹣m＝x，
得x2﹣2x﹣m2＝0，
设方程的两个根分别为x1，x2，
则x1+x2＝2，．
①∵P是线段DE的中点，
∴，
将x＝1分别代入直线y＝x与抛物线y＝x2﹣m，
，
∴PF＝|yP﹣yF|＝||＝，
解得m＝±3或m＝，
经检验，m＝±3或m＝是原方程的解，
∴m的值为m＝±3或m＝．
答：m的值为m＝±3或m＝．
②∵|xD﹣xE|＝|x1﹣x2|＝＝．
∴S△DEF＝S△PFD+S△PFE＝＝×＝．
答：△DEF的面积为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一次函数的综合，二次函数的图象与性质，解题的关键是细心计算．
六、（本大题共12分）
23．数学课上，老师给出了下面命题：
把一个三角形绕着某点（顺时针或逆时针）旋转90°后得到的三角形，与原三角形的对应线段（如：边、高、中线、角平分线等）都存在对应相等，且互相垂直的关系．

（1）为了验证这个结论，小宇同学把△ABC绕着点A逆时针旋转90°得△AB′C′，如图1，显然△ABC≌△AB′C′，所以B′C′＝BC．请你完成证明B′C′⊥BC的过程．
（2）为了验证这个结论，小明同学在（1）基础上，选择对应中线，于是分别取AB、A′B′的中点G、G′连接CG、C′G′，如图2．求证：CG＝C′G′且CG⊥C′G′．
拓展应用
（3）如图3，在正方形ABCD中，把等腰Rt△EFC（∠ECF＝90°）如图放置，连接AE、AF，点G为AF的中点，连接DG．请你猜想DG与AE的关系，并证明你的结论．
【分析】（1）延长BC交B′C′于D，交AB′于E，可得出∠B＝∠B′，进而得出∠B′DE＝∠BAB′＝90°；
（2）延长GC，C′G′，证明△AGC≌△AG′C′，同理（1）得出结论；
（3）连接BE，DF，延长DG至M，使MG＝DG，连接AM，证明△AGM≌△FGD，可推出M＝DF，∠M＝∠GDF，证明△BCE≌△DCF，推出BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，从而得出∠GAH＝∠CBE，进而证明△GAD≌△EBA，进一步得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，

延长BC交B′C′于D，交AB′于E，
∵△ABC≌△AB'C'，
∴∠B＝∠B′，
∵∠BAB′＝90°，∠AEB＝∠B′ED，
∴∠B′DE＝∠BAB′＝90°，
∴B′C′⊥BC；
（2）证明：如图2，

延长GC，C′G′交于F，
∵△ABC≌△AB′C′，
∴∠BAC＝∠B′AC′，AB＝AB′，AC＝AC′，
∵点G是AB的中点，点G′是AB′的中点，
∴AG＝，AG′＝，
∴AG＝AG′，
∴△AGC≌△AG′C′（SAS），
∴∠AGC＝∠AG′C′，CG＝CG′，
∵∠AG′C′+∠AG′F＝180°，
∴∠AGC+∠AG′F＝180°，
∴∠GAM′+∠F＝180°，
∵∠GAG′＝90°，
∴∠D＝90°，
∴CG⊥C'G'；
（3）解：如图3，结论：AE＝DG，AE⊥DG．

连接BE，DF，延长DG至M，使GM＝DG，连接M，
∵AG＝GF，∠AGM＝∠DGF，
∴△AGM≌△FGD（SAS），
∴AM＝DF，∠M＝∠GDF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，AB∥CD，
∴∠AHD＝∠GDC，
∵∠MAB＝∠AHD﹣∠G，∠CDF＝∠GDC﹣∠GDF，
∴∠MAB＝∠CDF，
∵∠ECF＝90°，
∴∠BCD＝∠ECF，
∴∠BCD﹣∠BCF＝∠ECF﹣∠BCF，
∴∠BCE＝∠DCF，
∵CE＝CF，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，
∴∠GAH＝∠CBE，
∴∠GAH+∠BAD＝∠CBE+∠ABC，
即：∠GAD＝∠ABE，
在△GAD和△EBA中，
，
∴△GAD≌△EBA（SAS），
∴DG＝AE，∠ADG＝∠BAE，
∵∠BAE+∠DAH＝90°，
∴∠ADG+∠DAH＝90°，
∴∠AHD＝90°，
∴AE⊥DG，
【点评】本题考查了旋转性质，正方形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键熟练掌握“倍长中线”等模型．