云南省大理白族自治州2025届高三上学期二模考试数学试题（Word版附解析）

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（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）
考生注意：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名，准考证号，考场号，座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合交集的概念求解即可.
【详解】因，，
所以，
故选：A
2. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】在中，，
由，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 已知向量和的夹角为，且，，则（ ）
A. 3B. C. D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的数量积公式和运算律求解即可.
【详解】由题意可得，
故选：A
4. 若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥的特征先计算底面圆半径，面积，周长，结合圆锥的表面积公式计算即可.
【详解】由题意可知该圆锥母线2，高为；底面圆半径为1，则其周长为，面积为，
所以该圆锥的侧面积为，表面积为.
故选：B
5. 某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（ ）
A. 85B. 90C. 95D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态密度曲线的对称性求解即可.
【详解】由正态密度曲线的对称性，数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同，
所以，
故选：C
6. 已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最小值时的值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式和下标和的性质求解即可.
详解】，且公差，所以，，
所以，则，，
所以等差数列中，前10项为负数，后面都为正数，
所以前项和取得最小值时的值为10，
故选：C
7. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点到直线和圆上的点到直线的距离公式求解即可.
【详解】圆的圆心到直线的距离为，

所以，
记点到直线的距离为，则的面积，
所以，
又圆心到直线的距离为，所以，
又，所以，
故选：B
8. 已知，是定义域为函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用，的奇偶性联立方程组得，则根据题意可得成立，构造，按的不同取值分类讨论在的单调性即可.
【详解】由题意可得，
因为是偶函数，是奇函数，所以，
联立，解得，
又对任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，则，
所以在上单调递增，
①若，则对称轴，解得；
②若，则在单调递增，满足题意；
③若，则对称轴恒成立；
综上，,
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角函数的定义和诱导公式求解即可.
【详解】由角的终边经过点，得点到原点的距离，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC
10. 某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：）（ ）
A. 当对折6次时，的最小值为
B. 当对折6次时，的最小值为
C. 一张长边长为20cm，厚度为0.05cm的矩形纸最多能对折5次
D. 一张长边长为20cm，厚度为0.05cm的矩形纸最多能对折7次
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题目所给公式，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】令，由题意可得，即，解得，
所以当对折6次时，的最小值为，故B正确，A错误；
当，时，
，
所以该矩形纸最多能对折5次，故C正确，D错误，
故选：BC
11. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，焦点为，.下列判断正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 的离心率为
C. 若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为
D. 若点为的上支上一点，则的内切圆的半径为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用双曲线的几何性质、渐近线方程和离心率公式判断AB，利用双曲线的定义判断C，利用三角形等面积法判断D.
【详解】对于A，由可得，其渐近线的方程为，则，
所以的方程为，故A正确；
对于B，易知，，即，所以离心率为，故B正确；
对于C，如图所示：
根据双曲线定义可得，所以，
又，，因此，
当三点共线时，满足题意，此时的最小值为，故C错误；
对于D，若点为的上支上一点，则，如图所示：
由可得，，
又，因此的周长为，
易知的面积为，
设的内切圆圆心为，半径为，
易知，即，
解得，故D正确，
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则______.
【答案】5
【解析】
【分析】根据复数的加法法则和模长公式计算即可.
【详解】由题意，
则，
故答案为：5
13. 小王参加抽奖游戏，现有3个箱子，里面装着大小、形状完全一样的卡片，3个箱子里分别有8张、10张、12张，若每箱中有2张中奖卡片，则随机选择一个箱子抽取，中奖的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式和全概率公式求解即可.
【详解】记事件{在第个箱子中抽奖，}，事件{中奖}，
则由题意可得，，，
由全概率公式可得，
故答案为：
14. 若是的极值点，则______；在上的最小值是______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】利用极值点的定义和导数的几何意义求解即可.
【详解】由可得，
因为是的极值点，
所以，解得，
此时，，
令得，令得或，
所以在单调递减，在和单调递增；
因为，所以在单调递增，在单调递减，
又因为，，，
所以在的最小值为，
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查.数据显示，200人中中老年人共有75人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍.
（1）完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；
（2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望.
附：，.
【答案】（1）列联表见解析，有关
（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）由题意补全列联表，然后利用独立性检验的原理求解卡方判断即可；
（2）利用超几何分布计算概率，得到离散型随机变量的分布列，求解数学期望即可.
【小问1详解】
中老年共有75人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍，
所以愿意购买新能源车的中老年人数为50人，愿意购买燃油车的中老年人数为25人，青年共有125人，
愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，所以青年中愿意购买新能源车为100人，愿意购买燃油车为25人.
故列联表如下：
零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关；
【小问2详解】
愿意购买新能源车的共有150人，青年人与中老年人的比例为，
所以分层随机抽样抽取的6人中4人是青年人，2人是中老年人，
则的可能取值为0，1，2，
则，，.
所以的分布列如下：
则，
所以这5人中青年人数的期望为.
16. 在中，角所对的边分别为.若，且边上的中线长为.
（1）求的大小；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据余弦的二倍角公式和诱导公式化简可得，再利用正弦定理边化角即可求解；
（2）设，，，先利用平面向量的加法法则和数量积的运算律可得，再根据基本不等式和三角形的面积公式求解即可.
【小问1详解】
由可得，
因为在中，所以，
由正弦定理可得，
因为，，所以，
所以，即，
又，所以，.
【小问2详解】
设，，，根据题意，，
又，所以，化简得，
则，
所以，当且仅当时等号成立.
面积的最大值为.
17. 如图，四棱锥中，，，，平面.
（1）若平面，证明：平面.
（2）若，，二面角的正切值为，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知，由平面，得到，可得，，即可得到平面；
（2）以点为原点，以，所在的直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，设，利用坐标运算分别求出平面和平面的一个法向量，由二面角的正切值，求得二面角的余弦值，再利用坐标运算即可求得，进而求得三棱锥的体积.
【小问1详解】
平面，面，，
又平面，平面，平面平面，，
又，，
又，平面
平面.
【小问2详解】
底面，，底面，，.
又，，，则，
以点为原点，以，所在的直线为，轴，
过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，，，，
，，，.
设平面的一个法向量为，
所以即令，则，，则；
设平面的一个法向量为，
即令，则，，则.
二面角的正切值为，二面角为锐角，
二面角的余弦值为
，解得，所以.
.
18. 已知函数.
（1）若，求函数在点处切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：，.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）对定义域内，都有恒成立，即，令，利用导数求的最大值即可；
（3）利用（2）中结论可得恒成立，将中的替换为，再利用对数的运算性质和等比数列的前项和公式证明即可.
【小问1详解】
若，则，，，
所以切线斜率，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
若对定义域内，都有恒成立，
即恒成立，只需即可，
设，，则，
令，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
故的取值范围为.
【小问3详解】
由（2）得当时，恒成立，即，
将中的替换为，显然，
则，
故，
即.
故.
19. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设.
（1）求的值；
（2）求数列通项公式，并求数列的前项和的取值范围；
（3）求的面积.
【答案】（1）
（2），
（3）16
【解析】
【分析】（1）将代入抛物线方程即可求解；
（2）由点在抛物线上，可得，且，将直线的方程与抛物线方程联立可得出，根据等差数列的定义和通项公式即可求出的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前项和即可；
（3）求出直线的方程，可求出，并求出点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式即可求解.
【小问1详解】
因为点在抛物线上，则，解得.
【小问2详解】
由可知，，
因为点在抛物线上，则，且，
过，，且斜率为的直线，
联立方程，消去可得，
解得或，
因，故，即，
故数列是以首项为2，公差为4的等差数列，所以，
又，所以，
所以
所以，又是关于的递增函数，故，
的取值范围是.
【小问3详解】
由（2）可知：，，，
直线的方程为，
即，
点到直线的距离为，，
所以的面积为.
【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：
（1）定义法：（常数）数列为等差数列；
（2）等差中项法：数列为等差数列；
（3）通项公式法：（为常数，）数列为等差数列；
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
100
25
125
中老年
50
25
75
合计
150
50
200
0
1
2