数学八年级上册（2024）13.2 命题与证明教学设计

这是一份数学八年级上册（2024）13.2 命题与证明教学设计，共5页。教案主要包含了建构体系，导入新知，理清逻辑，观察思考，探究路径，书写证明，规范格式，思维发散，探索新法，应用定理，得出推论，典例分析，应用新知，发起讨论等内容，欢迎下载使用。
◆课标要求
探索并证明三角形内角和定理.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余.掌握两个角互余的三角形是直角三角形.
◆教学内容
沪科版《义务教育课程标准实验教科书 ·数学》（八年级上册）第 13 章“三角形中的边角关系、命题与证明 ”，第二节“命题与证明 ”，第二课时，教材第 78页至第 80 页.
◆内容分析
本节课选自沪科版数学八年级上册第 13 章“三角形中的边角关系、命题与证明 ”第 2 节第 2 课时“三角形内角和定理的证明及推论 1、2”，主要内容是三角形内角和定理的证明探究.
在此之前，学生研究了三角形的基本元素，并且在小学阶段已经利用折叠、剪拼、量角器度量的方法研究过三角形三个内角之间的关系， 但仅限于观察、操作、实验难以使人信服结论的正确性，所以需进行推理论证.另外，这也是学生首次接触文字命题的证明，需带领学生分析总结文字命题的一般证明步骤.
本节课作为定理证明课，归纳了文字命题的证明步骤，其中关键点在于引导学生探索证明路径.由结论出发联系到“平角是 180° ”、“两直线平行，同旁内角互补 ”，在剪拼法的启发下联想到可以把三个角拼成平角或同旁内角的形式.进一步引导学生思考“搬 ”角的工具有“作一个角等于已知角 ”和“作平行线 ”，在工具多样、路径多样的构建下生成多种证明方法，充分发展学生的几何直观、推理能力等数学核心素养.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：三角形的内角和定理的证明探索.
◆教学目标
1. 了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处.
2. 掌握“三角形内角和定理”的证明.
3. 理解和掌握三角形内角和定理的推论 1 和推论 2.
4. 经历三角形内角和定理的推理过程，培养学生勇于探索、合作交流的精神，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值.
◆学情分析
学生已经比较完整的认识了三角形及其基本要素，对命题、定理的推理论证有了一定的认识，这为本节课探索三角形内角和定理的证明奠定了认知基础.同时八年级学生具备一定的观察、分析、推理能力， 为本节课的深入探究提供了保障.但是在探究新的数学问题时还是会存在一定的困难，比如研究什么，如何研究以及怎么把新问题转化为已知问题来解决，都可能是学生学习路上的障碍.
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：三角形内角和定理证明路径的探究.
◆教学策略
教法 问题驱动、引导探索、启发讲授
学法 操作实践、探索发现、合作交流、认真听讲、独立思考
◆教学过程
一、建构体系，导入新知
前面，我们学习了命题的分类与关系，知晓如何判断命题的真假，这一节课我们在此基础上进一步来探究三角形内角和定理的证明.
[设计意图]构建内容体系，培养学生大单元意识，同时通过回顾命题的分类与真假的判断，让学生理解数学学科体系的形成与建构方式，同时为后续的证明论证奠定基础.
二、理清逻辑、转化问题
环节一 说明证明的必要性
在小学时，我们曾用折叠、剪拼、折叠、量角器度量的方法研究过这个问题，但仅限于观察、操作、实验等方法难以使人信服结果的正确性， 所以需要进行推理论证.
[设计意图]对比同一问题，引导学生思考初中与小学的不同要求，让学生认识推理论证的必要性，培养学生严谨的逻辑思维.
环节二 归纳文字命题的一般步骤
对于这样一句文字命题，与以往证明题不同的是，它的已知和求证并未给出，所以我们需要对其进行改写转化.
步骤一：首先，请同学们找出命题的条件和结论.
步骤二：因为问题与图形有关，请同学们任意画一个三角形.
步骤三：结合图形，写出已知、求证.
步骤四：探索证明路径.
步骤五：写出证明过程.
[设计意图] 通过对比文字命题与一般证明题的差别.引导学生在证明前要先将文字命题转化成证明题的形式，既找出已知和求证，而这需联系上一节课学习的命题的形式与构成，引导学生利用已有知识实现转化改写，同时做到有条理地归纳步骤.
三、观察思考，探究路径
问题 1 你曾在哪里接触过“180°”?
问题 2 由剪拼法获得启发，想要证明三角形内角和为 180° , 可以想办法把这三个角拼成平角或同旁内角的形式，但当图形在黑板上时，无法做到剪切拼接，有什么工具能实现把∠B 搬过去？
[设计意图]通过分析结论引导学生调动现有知识，思考证明路径，利用智慧教学演示剪拼法的一中拼接方式，让学生感受证明路径实现的根本就是“搬 ”角，从而顺其自然地引导学生思考“搬”角工具有什么.
四、书写证明，规范格式
证明 如图 13-15，延长 BC 到点D，以点 C 为顶点、CD 为一边作∠2=∠B，则 CE∥BA. （同位角相等，两直线平行）
∴ ∠A =∠1. （两直线平行，内错角相等）
∵ 点 B，C，D 在同一条直线上，（所作）
∴ ∠1+∠2+∠ACB =180°. （平角的定义）
∴ ∠A +∠B +∠ACB = ∠1+∠2+∠ACB =180°. （等量代换）
在证明过程中，为了需要添加的线，如 CD、CE，称之为辅助线，通常用虚线.
[设计意图]带领学生书写证明过程，培养学生规范的书写习惯，养成良好的逻辑思维.介绍辅助线的作法和用途，培养学生的严谨性.
五、思维发散，探索新法
问题 3 由上述的探究，我们发现“搬 ”角的工具有尺规作图和构造平行线，这种证明方法是把三个角搬到 C 点构造成平角，请同学们思考能不能把角搬到别的地方？比如其他顶点，如 A 点.能不能搬到边上？搬到三角形内部行不行？外部呢？
问题 4 能不能构造成同旁内角的形式进行证明？
[设计意图]利用问题驱动模式，在带领学生分析证明路径和证明工具后，通过连续发问，引发学生思考，探究证明三角形内角和等于 180° 的不同方法.同时引导学生按顺序完成画图，作辅助线，书写证明过程等步骤，训练学生的思维外显能力，培养严谨的逻辑说理能力.
六、应用定理，得出推论
问题 5 如果一个三角形中∠C 是90 ° , ∠A 与∠B 的关系是？你能用一句
话概括吗？
问题 6 反过来，如果已知∠A 与∠B 互余，你能判断出三角形的形状吗？
你能用一句话概括吗？
[设计意图]引导学生从已知定理出发，应用归纳得到相关推论.通过文字语言、图形语言、符号语言的转换， 引领学生建立完善的几何体系，培养学生的总结概括能力以及知识的应用意识.
七、典例分析，应用新知
例 1. 补充完成下列证明.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C =180°.
证明 在 BC 边上取一点 D，过点 D 作 DE∥AB，DF∥AC，分别交 AC，AB于点 E，F.
∵ DE∥AB，
∴∠A= , ∠B= . ( )
∵DF∥AC (所作)
∴∠C= . ( )
∴∠CED= . ( )
∴∠A= . ( )
∵∠EDF+∠CDE +∠BDF = ，
∴∠A +∠B+∠C = 180°. ( )
例 2. 在△ABC 中，
(1) ∠C=90°,∠A=30°,则∠B= ；
(2) ∠A+∠B=90°,则△ABC 是 三角形.
[设计意图]学生尝试完成问题，用本节课所学的内容完成三角形内角和定理的证明以及推论的应用.两个题目对应了本节课的重点内容，例 1 是以例题的形式向学生展示了三角形内角和定理的又一证明方法.例 2 则是对推论的简单应用.
八、发起讨论、课堂总结
[设计意图]利用智慧平板，以讨论的形式，让学生做课堂的主人，畅所欲言回顾总结本节课的内容.
九、课后作业，拓展新知
1.必做：证明文字命题，邻补角的角平分线相互垂直.
2.选做：发挥你的聪明才智，探究三角形内角和定理的多种证明方法.
十、板书设计
略
◆教学反思与评价
本节课的重点是三角形内角和定理证明过程的探索.难点是将三角形的三个角转化成平角或同旁内角的思路探索，以及“搬 ”角工具的回顾研究.为了突出
重点、突破难点， 本节课采用活动演示、问题驱动、自主探索的方式， 引导学生将已有知识和经验与所要探究的问题进行联系,从不同方法中发现内在联系，总结规律，最终解决问题.通过智慧平板等多媒体工具，为学生探究提供广阔的空间，使得知识在课堂上自然生长，方法在课堂上自然习得，让生成建构课堂教学.