初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）13.1 三角形中的边角关系教案

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）13.1 三角形中的边角关系教案，文件包含选择性必修二《经济与社会生活》阶段检测第五单元交通与社会变迁原卷版docx、选择性必修二《经济与社会生活》阶段检测第五单元交通与社会变迁解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
学校
课题
13.1.1 三角形中边的关系
年级
八年级
学科
数学
课标分析
认真研读课标是备好一节课的基础，课标根据学生的年龄特点和认知水平对“三角形中边的关系”提出了不同的教学要求。
3~4 年级
5~6 年级
7~9 年级
内容要求
认识三角形 ， 会根据图形特征对三角形（按角 ）进行分类。
知道三角形任意两边之和大于第三边。
理解三角形 、 等腰 三 角 形 的 概念 ；证明三角形的任意两边之和大于第三边。
学业要求
根据边的相等关系 ，认识等腰三角形和等边三角形 ，形成空间观念和初步的几何直观。
探索并说明三角形任意两边之和大于第三边的道理。
掌握三角形的概念 ；知道图形的特征 、共性与区别 ，形成几何直观和推理能力。
教材分析
从内容本质上看，本节内容是沪科版八年级上册第十三章《三角形中的边角关系、命题与证明》的章起始课，主要是在学生已学过的一些三角形知识的基础上，进一步系统地研究它的概念、表示、分类及性质，明确三角形的研究思路和结构体系，体会知识之间的共性，感悟类比思想的重要性。
从知识上下位关系上看，三角形是最简单的多边形，其研究的路径、方法具有普适性，是研究其他图形的基础。教材对三角形的研究是借助之前所学习的线段、角、相交线、平行线等知识作为铺垫， 由研究一般三角形到特殊三角形（如直角三角形、等腰三角形、等边三角形），由研究一个三角形的边角关系到研究几个三角形的全等或相似， 由定性研究到定量研究。
学情分析
从学生已有知识经验上看，小学阶段已学习过三角形的基础知识，初步了解三角形的边、角、等腰三角形、等边三角形的简单知识，但对三角形的概念、三边关系的理解不严谨；七年级阶段已系统掌握了边、角的相关知识，但还不能清晰的梳理研究路径。所以教学时，一方面要充分利用学生已有知识经验，又要不失时机地把他们偏于感性认识的知识加以系统化，在说理的过程中，让学生熟悉几何符号、几何图形和文字语言的运用。
从学生的年龄特征和认知规律上看，八年级学生比较活跃，具有一定的独立思考和分析问题的能力，但思维更多地依赖具体直观形象，教学时应充分利用他们的这方面的特点。在介绍新概念、讲授新知识时，要注意从学生熟悉的事物入手，通过观察、实验、猜想、再适当说理，适当地给学生提供一些能运用所学知识解决的问题，培养学生的推理能力和应用意识。
教学目标
一级目标
二级目标
具体表述
关键能力
核心素养
抽象能力、几何直观、推理能力、应用意识
四基
基础知识
掌握三角形的概念、表示、分类、性质
基本技能
体会几何图形研究的一般路径，进一步研究三角形中边的关系
基本思想
在整个研究过程中培养学生的类比思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想以及从一般到特殊的研究方法
基本活动经验
让学生经历五个活动环节，发展合情推理和演绎推理的能力，使学生对图形与几何的研究从感性认识提升到理性认识
四能
发现、提出问题
在已经学习线段、角、相交线、平行线的基础上，提出研究三角形的有关概念的问题
分析、解决问题
在运用研究成果中，培养学生用数学的思维思考问题，有条理的分析问题和解决问题的能力
品格与价值观
培养学生勇于研究的态度和对图形与几何学习的兴趣
教学重点
类比已有知识经验确定本节课的研究路径，展开对三角形的概念、表示、分类、性质的研究。
教学难点
三角形的概念的生成。
教学准备
课前：利用平板发布预习任务，让学生梳理已经学过的图形与几何的知识，收集生活中含有三角形的图片。
课中：智慧课堂、学生平板、教师平板、导学案， 电子白板、电子课本、聚焦功能、数学画板、分类活动、学生讲、抢答、随机选人、全班作答，拍照上传、讨论、思维导图、翻翻卡、几何画板
课后：利用平板发布课后分层作业，精准化批改和数据反馈，掌握学生的学习情况。
教学方法
启发式教学方法
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
智慧课堂应用及分析
1.功能选择
2.应用价值
3.评价体现
时长
课前
1. 分享云平 台微课让学生预习
2. 平板发布课前作业：
（ 1）梳理已经学过的图形与几何的知识
（2） 收集生活中含有三角形的图片
从云平台
上寻找合
适的微课
给孩子们
预习，检
查孩子们
提交的课
前作业，
并标记优
观看微课进行预习，完成知识梳理，收集
生活中含
有三角形
的图片并上传作
1. 功能选择
微课分享
知识梳理
课前发布
秀作业和
典型作
业。
业。
收集生活中含有三角形的图片
2. 应用价值
云平台的资源非常丰富，微课的分享实现了课前的高质量预习。
孩子们通过知识梳理对图形与几何知识的进行了复习，并且可以在课上直接调取优秀作业进行分享。
联系生活实际，让孩子们寻找生活中的三角形，课上还可以有选择性的让学生从中找出三角形， 自然引出研究的课题。
3.评价体现
课前作业反馈中可以看出大部分同学都非常认真，部分同学需要进一步修改和完善知识框图的梳理，课前在线作业更高效，更便于课上及时调取优秀作业和有用的图片进行教
学展示。
课中
活动一：明确研究问题
一、数学知识层面
本章开始进入几何部分的学习，学生分享课前所梳理的图形与几何的知识框图，发现一条线可以画出直线、射线、线段，两条线可以画出角 、 平行线 、 相交线，那如果给你三条线段，你能画出一个什么熟悉的几何图形？动手画一画。
预设：三角形
二、实际生活层面
展示学生课前作业，并选取其中一张图片，引导学生抽象出图中的三角形
数学知识
层面上，
教师引导
学生从一
条线到两
条线再到
三条线，
感受数学
知识内部
的整体
性，理解
几何知识
的逻辑一
致性。
实际生活层面上，教师引导学生从生活现实中抽象出研究对象，感受数学与生活的联系。
学生分享
自己梳理
的知识框
图。尝试
利用学生
蒋功能从
实际生活
的图片中
抽象出三
角形，培
养学生的
抽象能
力，学会
用数学的
眼光观察
现实世
界。
1. 功能选择：
屏幕推送（开始上课时）
学生分享自己梳理的知识框图（00 分 48 秒开始）
利用学生讲功能边画边说出图片中的三角形（02分41秒开始 )
2. 应用价值：
屏幕推送的功能实现了让每位学生都能清楚的看到课件上的内容，保证他们不会因为位置、光线、视力等原因错过重要知识点。
学生分享自己梳理的知识框图实现了展示优秀作业的目的，增强学生的自信心。
利用学生讲功能，边画边说出课前收集的图片中的三角形， 目的在于找到本节课与生活的联系。
00 :
05
-
04 : 34
3. 评价体现：
课件在平板上显示更加清晰，课中学生看到自己的优秀作业，充分调动了孩子们的积极性、增强了他们的自信心。利用实际生活图片，边讲边画三角形，真实并具有趣味性，培养学生学会用数学的眼光观察现实世界。
课中
活动二：
确定研究
路径
一、引出本节课课题问题1：观察你画出来的三角形由哪些元素构成？
预设：有点、边、角
引出课题：13.1.1三角形中边的关系
二、唤醒已有认知经验
回顾七年级线和角的研究过程，我们研究了线和角的哪些内容，是按怎样的研究思路展开的？
打开智慧
课堂中的
电子教
材，利用
聚焦功能
带领学生
回忆线
段、角的
相关知
识，在此
基础上梳
理出几何
研究的一
般路径。
学生认真
浏览电子
课本，在
教师的引
领下唤醒
线和角的
相关知
识，得出
线和角的
研究路
径。
1.功能选择：
电子课本（04 分 48 秒开始）
聚焦功能（04分55秒开始）
2.应用价值：
对于传统教学， 当需要回顾以前所学知识和展示书本关键词时，随时随地找到课本是不太方便的，智慧课堂下的电子教材具有这样的便捷性，实现了方便快捷的调取所需年级的书，及时聚焦关键知识点。
4.评价体现：
利用电子书，有效帮助学生回忆已有知识经验，而且其中的聚焦和圈画功能还能及时提醒孩子什么是重点，引导学生提炼出图形与几何研究的一般路径， 比直接给出研究思路要深刻的多，帮助学生体会类比思想的重要性，突破教学重点。
04 :
34
-
06 : 58
课 中
活动
三：
展开
研究
过程
一、 概念
学生利用智慧课堂中的白板功能边画边描述是如何画出三角形的，不断完善自
概念的教
学中，教
师引导学
生边画边
描述三角
概念的学
习中，学
生在教师
的引导
下，在做
1.功能选择
白板（07分37秒开始）
06 :
58
-
25
己的语言，得出概念中的关键词。
学生利用智慧课堂中的数学画板强调概念中的关键词：不在同一条直线上
预设：学生再次对定义进行补充完善，得到完整的三角形的概念， 由不在同一条直线上 的三条线段 ，首尾依次相接，所组成的封闭图形叫做三角形。
练习1. 如图是用三根细棍组成的图形，其中符合三角形概念的图形是( )
利用抢答的形式发布练习1，这个功能学生特别喜欢，有利于激发学生学期积极性
。
二、 表示
图形语言：
文字语言：三角形有三个顶点、三条边、三个角。
符号语言：△ABC点A、点B、点C
AB、AC、BC或 a、b 、c， ∠A、∠B、∠C
三、 分类
探究1：你能选择一中分类方式，将下列
形的概念，此时
学生说的
可能不够
全面，这
为后面不
断完善定
义的活动
提供了价值。
表示方法
的教学中
, 教师引
导学生从
三种语言
上表示三
角形，感
受数学符
号的简洁性。
分类的教
学中，教
师引导学
中学，学
中悟，打
破概念性
教学直接
给出的局
面，实现
了概念教
学的创生过程。
表示方法
的学习中
, 学生经
历用符号
表示数学
知识的探
究之路，
体会数学
的明确性
、简约性
。
分类的学
习中， 学
生尝试按
数学画板（10分08秒开始）
抢答（11分42秒开始）
分类（15分09秒开始）
:
57
6个 三角形进行 合理分类吗？
学生按角和边两种分类方法进行分类，这里要注意引导分类要按一个标准，不重不漏的分类，并利用学生讲功能形成韦恩图 , 分类后对等腰三角形做简单介绍
四、 性质
探究2：从点B出发，沿三角形 的边到 点C , 有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？
A
c
b
B C
a
引导孩子得出三角形的任意两边之和大于第三边。
追问1：你能利用所学的基本事实证明这一性质吗？
基本事实：两点之间线段最短
追问2：你能利用不等式的基本性质得出三角形两边之差的关系吗？
得出：三角形任意两边之差小于第三边
生在已有
知识经验
的基础选
择一种分
类标准，
形成知识
内在层级
关系的子
类系统结
构，使得
这类对象
所包含的
事物结构
化。同时
要注意做
到不重不漏
性质的教
学中，教
师要引导
学生在小
学利用量
一量、测
一测得到
的三角形
任意两边
之和大于
第三边的
基础上，
学会利用
基本事实
去证明这
一结论，
同时通过
不等式的
基本性质
变形得到
三角形任
意两边之
差小于第三边
照自己的
分类标准
进行合理
分类，这
一过程中
可能按边
分会出现
把等边三
角形和等
腰三角形
分为两类
, 此时教
师应抓住
课堂生成
的问题，
让孩子真
正学会发
现问题、
解决问题
性质的学
习中， 学
生在探究
2的 研 究
中发现直
线比折线
短，所以
想到两点
之间线段
最短这一
基本事实
。并能由
已有性质
再得到新
的性质，
发现了知
识之间是
层层递进
、紧密相关的。
学生讲功能（18分11秒开始）
2.应用价值
抢答功能有利于调动学生的积极性。
白板的价值在于能直接画线段，也方便修改，展示起来更直观和可视化，学生边画边描述什么是三角形，在调整线段位置的过程中，不断完善概念中的“ 首尾依次相接 ”、“封闭图形”这两个关键词。
数学画板中的数学资源有利于培养学生的几何直观素养 , 教学中学生在利用三条线段拼三角形的过程中，发现了一种特殊情况——三条线段都在同一条直线上是不可以组成三角形的，所以进一步完善概念中的“不在同一条直线上 ”的关键词，突破教学难点。
分类功能可以实现灵活的拖拽，改变了以往还要用剪纸和吸铁石进行展示的方法。
学生讲功能实现了学生边讲边画出韦恩图，这一过程可以展现出学生的思考过程。
3.评价体现
学生通过实验操作不断完善三角形的概念，在深入研究中掌握三角形的表示和分类，学会用数学的语言表达现实世界。
课 中
活动四：运用研究成果
五、 运用
练 习2. 下列长度 的三条线段能否组成三角形？为什么？
引导学生发数学的学习需要方法：
只要满足较小的两条线段之和大于最长线段，便可构成三角形 ;若不满足 ，则不 能构成三角形。
练习3. "%E9%A2%98%E7%9B%AE2.gsp" 如图，D是△ ABC中BC边上一点，
连接AD。
（1）图中有几个三角形？他们分别是
（2） 图中以D为顶点的三角形分别是
以AB为边的三角形分别是 以∠C为内角的三角形分别是 ∠C的对边是 （3）若△ABC的的三边长分别 为3，2a-1 , 8，则a 的取值范围是 练 习3是根据课本 习题 1进行 的 改编 ，将课堂知识合理融合，考察的知识点更全面
。
六、 特例
运用的教
学中，教
师发布全
班作答，
或是拍照
上传，根
据学生完
成练习后
的数据反
馈，进行
精准化教
学和差异
化指导，
落实因材施教。
特例的教
学中，教
师通过对
课本习题
的改编，
运用的学
习中， 学
生对于练
习 2直 接
在平板上
作答，对
于 练 习 3
在学案上
作答，并
拍照上传
。
特例的学
习中，并
认真分析
题目，借助方程
1.功能选择
全班作答（26分16秒开始）
拍照上传（29分00秒开始）
几何画板（32分17秒开始、39
25
:
57
-
40
:
37
练习3. "%E9%A2%98%E7%9B%AE2.gsp" 如图，D是△ ABC中BC边上一点，
连接AD。
（4）若点D在BC边上运动，回答下列问题
。
①点D在BC边上运动时，图中△ABD的形状有哪些变化？
②当△ABD等腰三角形时，且周长为20cm , 如果腰长是底边长的2倍，求各边长。
③当△ABD等腰三角形时，且周长为20cm , 如果一边长为5cm , 求另两边长。
④点 D 在 BC 边上运动时，边 AD 会成为哪些特殊的线段？
融入课本例题， 灵活整合书本内容，使得知识自然的产生，得到对三角形中特例(等腰三角形） 的研究，渗透从一般到特殊的研究方法。
思、分类讨论思想解题，该题有一定的难度，有利于培养学生的推理能力和应用意识。
分47秒开始）
2.应用价值
全班作答发布的客观性习题，在学生完成答案后可以立刻生成正确和错误学生名单，体现了基于数据的精准化教学
。
全班作答发布的主观性作业，学生可以通过拍照上传，老师可以随机抽取一位同学的进行点评，体现了以学习者为中心的教学。
动点问题对学生而言是难点，学生通过操作几何画板，发现了运动过程中特殊的三角形和特殊的线段，让知识变得更加直观，突破了教学中的难点，实现了以学习者为中心的教学。
3.评价体现
解决问题的过程中，结合数学学科特点，合理利用可视化技术，逐步培养学生的推理能力。同时要注重方程思想、分类讨论思想、从一般到特殊的方法的强化和渗透，有意识的引导学生领会这些思想方法在解题过程中的应用，培养学生学会用数学的思维思考现实世界，形成推理能力和应用意识。
课 中
活动
五：
评价
课堂
活动
①本节课，我学到了哪些知识？
②本节课经历了怎样的研究路径？
③本节课，给我感受
教师发起讨论
学生选择
自己想说
的话题说
一说，并
且相互点
赞，互评
1.功能选择
讨论（40分54秒开始）
40 :
37
-
42 :
最深的是什么？
④课后准备对哪方面进行进一步研究？
此外我还知道了……
3. 应用价值
讨论功能改变了以往只能点名个别学生说说自己的想法 , 实现了学生、教师互评的多维度的全班交流互动。
4. 评价体系
这样实时互动，学生之间可以相互点赞，老师也可以给学生鼓励，有效活跃课堂气氛 , 是一种多维度的评价交流活动。
19
课 中
小结
与反
思
利用思维导图和翻翻
卡，总结本节课，让
学生体会图形与几何
的学习是有章可循
的，渗透类比思想。
利用思维
导图梳理
本节课知
识，并截
屏分享给
学生课后
补充，利
用翻翻卡
总结思想
方法和核
心素养
学生学会
用思维导
图的方式
建立知识
之间的联
系
1.功能选择
思维导图（42 秒 20 开始）
截屏分享（43分20秒开始）
翻翻卡（43分35秒开始）
2.应用价值
思维导图有利于学生有条理的梳理知识之间的内在联系
42
:
19
-
44
:
41
, 形成知识体系。
截屏分享的目的是让孩子们课后完善课前自己梳理的知识框图。
翻翻卡在于展现本节课的主要的数学思想和渗透的核心素养。
3.评价体现
小结与反思环节关注学生对知识上下位关系的认识，注重培养学生有条理的梳理问题的能力，在学生回答问题时，更要恰当的评价学生的思考，发挥好评价的积极作用。
课中
作业布置
1.基础题（必做）：平板发布的基础作业2.拓展题（选做）：平板发布的拓展作业3.素养题（选做）：如图，P 是△ABC 内一点，连接 PB，
PC，BP 的延长线交AC 于点 D，连接
PA，探究 PA+PB+PC与 AB+BC+AC 的大小关系。
教师设计
分层作
业，利用
平板发送
给学生
学生收到作业后课后完成
具体详情见课后部分
44
:
41
-
44
:
58
课中
板 书 设 计
课后
作业布置
1.基础题（必做）：平板发布的基础作业2.拓展题（选做）：
教师设计
分层作
业，利用
平板发送
学生利用平板完成对应题目
1.功能选择
分层作业水平趋势
课后完成
平板发布的拓展作业3.素养题（选做）：如图，P 是△ABC 内一点，连接 PB，
PC，BP 的延长线交AC 于点 D，连接
PA，探究 PA+PB+PC与 AB+BC+AC 的大小关系。
给学生
基础题报告
学生互批基础题
拓展题报告
素养题报告
2.应用价值
利用平板发布课后作业，可以实现客观题自动批改，主观题线上批改，学生间的互批 , 实现评价的多元化，学生在互批过程中体验了一把当老师的感觉，有很好的激励作用。
3．评价体系
分层作业的目的在于因材施教，是个性化学习的体现。平板发布作业批改快捷方便，形成的评价数据精准，该数据的分析有利于教师进一步了解学生的学习情况，为后续教学决策起着导向型作用。
课后
课程反思
一、 自我评价
活动环节
主要内容
技术应用
活动一 ： 明确研究问题
从数学知识层面进行知识梳理，从实际生活层面引入三角形的学习
平板分享微课、发布课前作业；学生讲功能
活动二 ： 确定研究路径
类比线和角的研究路径展开研究
电子课本、聚焦功能、圈画功能、随机选人
活动三 ： 开展研究过程
概念、表示、分类、性质
白板功能 、 抢答 、 数学画板、学生讲、分类
活动四 ： 运用研究成果
问题 1：基础判断题
问题 2：素养提高题
全班作答， 拍照讲解、几何画板
活动五 ： 评价课堂活动
从四个问题中选择自己想说的问题谈谈
讨论、思维导图、翻翻卡、截屏分享、平板发布课后作业
本节课以研究的视角展开，设计了五个课堂活动，活动一是为了明确本节课研究的问题，让学生思考为什么学；活动二在于类比线和角的研究路径展开三角形的研究，让学生梳理该怎么学；活动三从概念、表示、分类、性质，让学生经历在研究中学；活动四给了一个基础题一个素养题，在运用和发现特例中知道学是为了解决问题；活动五的课堂评价，教师仅给出总结的方向，并不限定问题，学生可以自行选择想要回答的问题，让学生感悟学后要有思。
本节课的研究贯穿学生学习的全过程， 活动环节环环相扣、逐层递进，培养学生学会用数学的眼光观察现实世界，学会用数学的语言表达现实世界，学会用数学的思维思考现实世界的能力。同时教学设计结合数学学科特点合理运用智慧课堂技术，有效发挥技术辅助教学的作用，体现出个性化教学、差异化指导和精准教学。
二、问题反思
值得进一步思考的是智慧课堂环境下， 时互动时会出现大量动态数据 , 教师应关注平台提供的数据，从线上线下两个环节共同给予学生评价，激励学生自主学习，对学生进行发展性评价。在教学过程中还发现智慧课堂的某些功能，像几何画板等可视化资源课上分享给全班同学后，孩子们并不能动态操作，只能圈画，有些遗憾，希望某些功能能针对学科的特殊性进一步完善。
三、教学重建
本节课借助智慧课堂和可视化信息技术展开教学，有利于学生更加直观的理解知识，整节课中体会最深的是以下几点：
（1）在回忆角的知识时直接调用电子课本，方便快捷；
（2）在讲解概念的过程中，突破概念课往往直接给出概念的习惯，学生利用平板边画图，边描述三角形是如何形成的，发现问题，完善概念， 自然而然得出完整的三角形的概念，并针对概念中的关键词，利用数学画板中的可视化资源进行展示，直观感受概念中关键词的重要性；
（3）在练习中利用几何画板动态演示也进一步让知识化抽象为直观，充分调动学生的积极性；
（4）智慧课堂所带的抢答功能，能够充分调动学生积极性，全班作答功能实现了基于数据的精准化教学、差异化指导，是真正的因材施教，大大提高了课堂效率；
（5）在小结反思中使用讨论功能改变了以往只能点名个别学生说说自己的想法，实现了学生、教师互评的多维度的全班交流互动。