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2026湖南省新高考教研联盟暨长郡二十校联盟高三下学期第二次联考数学试题含解析

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这是一份2026湖南省新高考教研联盟暨长郡二十校联盟高三下学期第二次联考数学试题含解析，共32页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 若集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（）
A. B. C. D.
3. 已知单位向量，，满足，则（）
A. B. C. 1 D. 2
4. 直线与圆的交点为，，若，则的值为（）
A. B. C. D.
5. 已知函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则的最小值为
（）
A. B. C. D.
6. 已知数列的通项公式为，数列是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则
（）
A. 1013 B. 1014 C. 502 D. 503
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7. 已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则
（）
A. 0 B. C. 3 D. 4
8. 已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可
能为（）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 若，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
10. 在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个
方向之一移动 1 米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人从舞台中心正
东方向 2 米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（）
A. 机器人移动 4 秒来到舞台中心的路径条数为 12
B. 已知机器人移动 4 秒到达舞台中心，则其在 4 秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为
C. 机器人在移动 3 秒来到舞台中心的正北方向上的概率为
D. 移动 1 秒后机器人与的距离为米的概率为
11. 如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一
点，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点．则（）
A.
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B.
C. 若，则的最小值为 2
D. 若，则
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知，则曲线在点处的切线方程为______．
13. 如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到
三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则 ______．
14. 已知数列，令，其中，，且，定义
，则 ______．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员
选取了 200 组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的
同步情况，得到了如下列联表：
信号同步性
思维任务类型合计
信号同步信号不同步
逻辑推理 42 58 100
创造性想象 28 72 100
合计 70 130 200
（1）分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理
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由．
（2）根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16. 在中，已知，且．
（1）求角的大小；
（2）若，为中点，且，求的面积．
17. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的体积为 3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
18. 已知椭圆的上、下焦点分别为，，右顶点为，为锐角三角
形且面积为．
（1）求椭圆的离心率．
（2）过的直线交椭圆于，两点（在的左侧），且的面积与的面积相等．
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）若，求椭圆的方程．
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19. 已知函数，．
（1）当时，证明有唯一极值点；
（2）讨论的零点个数；
（3）若存在，当时，总有，求符合条件的的最小值．
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