湖南省新高考教研联盟暨长郡二十校联盟2026届高三下学期第二次联考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省新高考教研联盟暨长郡二十校联盟2026届高三下学期第二次联考数学试题（Word版附解析），共6页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知单位向量 ， ， 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
4. 直线 与圆 的交点为 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数 的图象向左平移 个单位长度后关于原点对称，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列 的通项公式为 ，数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则
（ ）
A. 1013 B. 1014 C. 502 D. 503
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7. 已知 是定义在 上的奇函数， 的图象关于 对称， ，则
（ ）
A. 0 B. C. 3 D. 4
8. 已知随机事件 ， ， 发生的概率均为 ，且 两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可
能为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在舞台上，智能机器人 从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个
方向之一移动 1 米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人 从舞台中心正
东方向 2 米的位置起步，移动规则与 相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（ ）
A. 机器人 移动 4 秒来到舞台中心的路径条数为 12
B. 已知机器人 移动 4 秒到达舞台中心，则其在 4 秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为
C. 机器人 在移动 3 秒来到舞台中心的正北方向上的概率为
D. 移动 1 秒后机器人 与 的距离为 米的概率为
11. 如图，对每个正整数 ， 是抛物线 上的点，过焦点 的直线 交抛物线于另一
点 ，并记 为抛物线上分别以 与 为切点的两条切线的交点．则（ ）
A.
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B.
C. 若 ，则 的最小值为 2
D. 若 ，则
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为______．
13. 如图，在平行四边形 中，已知 ， ， ，现将 沿 折起，得到
三棱锥 ，且三棱锥 外接球的表面积为 ，则 ______．
14. 已知数列 ，令 ，其中 ， ，且 ，定义
，则 ______．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员
选取了 200 组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的
同步情况，得到了如下列联表：
信号同步性
思维任务类型 合计
信号同步 信号不同步
逻辑推理 42 58 100
创造性想象 28 72 100
合计 70 130 200
（1）分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理
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由．
（2）根据小概率值 的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16. 在 中，已知 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 中点，且 ，求 的面积．
17. 如图， 和 都垂直于平面 ，且 ， ， 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若四棱锥 的体积为 3，求平面 与平面 夹角的余弦值的最大值．
18. 已知椭圆 的上、下焦点分别为 ， ，右顶点为 ， 为锐角三角
形且面积为 ．
（1）求椭圆 的离心率．
（2）过 的直线 交椭圆 于 ， 两点（ 在 的左侧），且 的面积与 的面积相等．
（ⅰ）求直线 的斜率；
（ⅱ）若 ，求椭圆 的方程．
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19. 已知函数 ， ．
（1）当 时，证明 有唯一极值点；
（2）讨论 的零点个数；
（3）若存在 ，当 时，总有 ，求符合条件的 的最小值．
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