2026凉山州高三下学期二模数学试题含解析

这是一份2026凉山州高三下学期二模数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡收回， 的二项展开式的第 项的系数是， 下列命题中，正确的命题是等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分.第 I 卷（选择题），第 II 卷（非选择题），共 4 页，满分 150
分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､座位号､准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，
并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书
写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.
3.考试结束后，将答题卡收回.
第 I 卷（选择题，共 58 分）
一､单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 复数 是实数，则实数 （ ）
A. 0 B. 1 C. D. 0 或 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用实数定义计算即可得.
【详解】由题意可得 ，解得 .
2. 向量 与 共线，则 的值为（ ）
A. -4 B. 4 C. 9 D. -9
【答案】A
【解析】
【详解】由向量 与 共线，得 ，
所以 .
3. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
第 1页/共 18页
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数单调性可解出集合 、 ，再利用并集定义即可得解.
【详解】由 ，可得 ，故 ，
由 ，可得 ，故 ，
则 .
4. 的二项展开式的第 项的系数是（ ）
A. 10 B. C. 5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对 ，有 ，
则 ，
故 的二项展开式的第 项的系数为 .
5. 如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道 的长度，工程测量员测得
隧道两端的 两点到 点的距离分别为 ，且 ，则隧道的长
度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理计算即可得.
第 2页/共 18页
【详解】
，
故隧道的长度 .
6. 若正方形 的四个顶点在曲线 上，则正方形 的面积的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由方程确定曲线的形状，再确定曲线上的点到原点距离最大的点，进而求出最大面积.
【详解】曲线 关于 轴成轴对称，关于原点成中心对称，
当 时，曲线方程为 ，即 ，
此时曲线是以 为圆心， 为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点）及原点，
因此曲线 是上述圆弧及其关于坐标轴、原点对称而得的图形，加上原点，
圆弧 到原点距离最大值为 ，对应的点为 ，
点 关于坐标轴、原点对称点为 ，点 顺次连接得正方形，
并且是符合条件的面积最大的正方形，所以正方形 的面积的最大值为 4.
7. 函数 的定义域为 ，将曲线 向左平移 个单位得到函数 的图象，且
，则 可以是（ ）
A. B.
C. D.
第 3页/共 18页
【答案】B
【解析】
【分析】逐项求出对应 后，检验是否满足 即可得.
【详解】对 A：若 ，则 ，
由 ，故 A 错误；
对 B：若 ，则 ，
则 ，
，
即满足 ，故 B 正确；
对 C：若 ，则 ，
由 ，故 C 错误；
对 D：若 ，则 ，
由 ，故 D 错误.
8. 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得 5 个数据
，用 表示这个物体的长度，当函数 取最
小值时， （ ）
A. 4.8 B. 5.2 C. 5.3 D. 5.6
【答案】B
【解析】
第 4页/共 18页
【分析】展开 可得 是关于 的二次函数，利用二次函数性质计算即可得.
【详解】 ，
即 是关于 的二次函数，则当 取 时 取最小值，
此时 .
二､多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对得 6 分，有错选得 0 分；若本题正确答案为 2 项，则选对 1 个得 3 分；
若本题正确答案为 3 项，则选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分.）
9. 点 在抛物线 上， 是 的焦点，以 为始边， 为终边的角
为坐标原点，则（ ）
A. 的坐标为 B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由抛物线定义可得 A；设 ，则可利用 表示出 、 ，再利用该点在抛物
线上即可得 B；利用 B 中所得计算 C；利用 B 中所得可求出 、 ，再利用两点间距离公式计算即可得.
【详解】对 A：由抛物线 可得其焦点 ，故 A 正确；
对 B：设 ，由 ，则 ，
，则有 ，
即 ，解得 或 （负值舍去），
即 ，故 B 正确；
第 5页/共 18页
对 C：由 B 知： ，故 C 错误；
对 D：由 B 知： ，则 ，故 D 正确.
10. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 .依据 的独立性检验
（ ），可判断 与 不独立
B. 已知 ，则
C. 已知随机变量 ，若 ，则
D. 设随机变量 ，若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用独立性检验判断 A；利用互斥事件的加法公式计算判断 B；利用二项分布的期望、方差公式列
式求解判断 C；利用标准正态分布，结合裂项求和法判断 D.
【详解】对于 A，由 ，得 与 不独立，A 正确；
对于 B，由 及 ，得 ，B 正确；
对于 C，随机变量 ，且 ，则 ， ，C 错误；
对于 D，随机变量 ，
第 6页/共 18页
，因此 ，D 正确
11. 已知圆台的上，下底半径分别为 ，母线长为 ，半径为 的球 与圆台的两个底面和侧面都
相切，则下列命题中正确的有（ ）
A. 成等差数列
B. 圆台的侧面积
C. 成等比数列
D. 圆台的体积
【答案】BCD
【解析】
【分析】圆台有内切球，轴截面是有内切圆的等腰梯形，故母线长 .过梯形上底顶点作高，构成直
角三角形，两直角边为 、 ，斜边为 .由勾股定理： ， 展开化
简得 ，即 .然后逐项分析.
【详解】由球与圆台的两个底面和侧面都相切，得圆台高 ，且截面为梯形有内切圆，如图所示:梯形
的内切圆与上底，下底和腰相切于点 ，易得 ，故 .
选项 A：由 ，得 ，故 A 错误.
选项 B：圆台侧面积 ，代入 ，得 ，故 B 正确.
选项 C：如上图，作出圆台的轴截面，截面图形为等腰梯形，内切圆为球的大圆，梯形高为 . 过梯形上
底一端点作下底的垂线，得直角三角形：
水平直角边： ，竖直直角边： ，斜边：母线 .
由勾股定理： ， 展开： ， 化简得：
， 成等比数列，正确.
第 7页/共 18页
选项 D：圆台 体积 ，而 ，
故 ，D 正确.
第 II 卷（非选择题，共 92 分）
三､填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 若 ，则点 到平面 的距离 __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量坐标公式计算出 、 可求出平面 法向量，再利用空间中点到平面距离公
式计算即可得.
【详解】 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 , ，故 ，
则 .
13. 若数列 满足 ，则 前 6 项的平均数 __________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用递推公式求出 的通项公式，然后得到答案.
【详解】令 ，则 ，即 是公差为 2 的等差数列，
由 得 ，
故 ，
第 8页/共 18页
于是 ，
所以 ， ， ，
， ，
，
故 前 6 项的平均数 .
14. 已知 ，则 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用 ， ，将 转化为 的函数，利用导数分析其单调性，得到
其取值范围.
【详解】由 ， ，得 ，所以 .
.
令 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
即 恒成立，所以 是减函数.
所以 .
所以 的取值范围为 .
四､解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 设函数 ，且 ，曲线 在点 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
第 9页/共 18页
（2）求 的极值.
【答案】（1）
（2） 极小值为 ，无极大值.
【解析】
【分析】（1）根据切线的几何意义表示出切线斜率，进而可以求 a 的值；
（2）根据导数得到函数的单调性，进而求出函数极值.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
求导得 ，
曲线在点 处的切线斜率 .
已知切线方程为 ，故斜率为 ，
则 ， 解得 ，即 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，定义域 .
求导得 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
故 在 处取得极小值，
极小值为 ，无极大值.
16. 袋子中有若干个大小相同的小球，其中 3 个白球， 个黑球.
（1）每次从袋子中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回.若第 1 次摸到白球的概率为 ，求在第 1 次摸到白
球的条件下，第 2 次摸到白球的概率；
（2）将袋子中所有小球排成一排，记至少有两个白球相邻的概率为 ，若 ，求 的最大值.
第 10页/共 18页
【答案】（1） ；
（2）4
【解析】
【分析】（1）由古典概率公式求出 ，再利用条件概率公式求解.
（2）利用对立事件的概率公式，结合组合计数问题列出不等式求解.
【小问 1 详解】
由第 1 次摸到白球的概率为 ，得 ，解得 ，
所以在第 1 次摸到白球的条件下，第 2 次摸到白球的概率 .
【小问 2 详解】
从 个位置中选 3 个放白球，共 种，
三个白球都不相邻：先排 个黑球，产生 个空隙，选 3 个空隙放白球，共 种，
因此三个白球都不相邻的概率为 ，而 ，
则 ，而 ，整理得 ，解得 ，又
所以 的最大值为 4.
17. 已知 为椭圆 的右焦点， 为椭圆 的右顶点， 为椭圆 的上顶
点，坐标原点 到直线 的距离为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 交椭圆 于 两点.求 的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
第 11页/共 18页
【分析】（1）根据 的关系结合条件计算即得；
（2）联立直线与曲线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，再利用弦长公式与点到直线距离公式可表示
出面积，最后利用换元法与基本不等式计算即可得.
【小问 1 详解】
由 为椭圆 的右焦点，则 ，
由 ， ，则 ，
由 ，化简得 ，
由 ，则 ，
化简得 ，
故 或 ，由 ，故 ，则 ，
即椭圆 标准方程为 ；
【小问 2 详解】
设 、 ，联立 ，
消去 可得 ，
，则 ，
， ，
则
，
第 12页/共 18页
点 到直线 的距离 ，
则 ，
令 ，则 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
故 的面积的最大值为 .
18. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求证： ；
（2）若 .
①求 ；
②证明： .
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用两角差的正弦公式计算即可得；
（2）①借助同角三角函数基本关系与二倍角公式计算可得 、 、 ，再利用三角形内角和与
第 13页/共 18页
两角和的正弦公式计算即可得；②令 ，利用三角恒等变换公式可得 ，构造
函数 ，利用导数研究其单调性，最后由零点的存在性定理计算即可得.
【小问 1 详解】
由正弦定理可得 ，
即有 ，
则 或 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ，舍去；
故 ；
【小问 2 详解】
①由 ，则 ，
由 ，则 ，
由 ，则 ，解得 ， ，
故
；
②令 ，由 ，则 ， ，
则
，
第 14页/共 18页
令 ，则 ，令 ，
则 ，故 在 上单调递减，
又 ，
，
由零点存在性定理可得 ，即 .
19. 如图，在三棱柱 中， ， ，二面角 的平面角为
，点 在平面 上的射影为点 .
（1）若四边形 矩形，求 ；
（2）若 ， .
①若 ，求直线 与平面 所成角的最大值；
②当点 在其轨迹上运动时，点 的轨迹是离心率为 的圆锥曲线，记数列 的前 项和为 ，若
，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）先证明点 落在直线 上，再求角.
第 15页/共 18页
（2）①建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值和线面角的正弦值，再结合不等
式的性质可求线面角的最大值.②先判断 的轨迹为椭圆，求出离心率后结合不等式放缩和裂项相消法求
最小值.
【小问 1 详解】
取 中点 ， 中点 ，连接 ，如下图：
因为 为矩形，则 ，且 .
由 ， 可得 ，则 ，
且 .而 ，且 平面 ，则 平面 .
而 平面 ，则平面 平面 .
因为 ， ，则 ，所以点 平面 ，
则 在平面 上的射影 落在直线 上，所以 .
【小问 2 详解】
①设 为 中点连接 ，则 ，
过 作直线 平面 ，以 所在直线分别为 轴，
建立空间直角坐标系 ，如图所示：
则 ， ， ，设 ，
第 16页/共 18页
则 ， ， ，
， ，由 ，
得 ，即 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，故 ，取 ，
因为二面角 的平面角为 且平面 的法向量为 ，
故 即 ，
①若 ，则 ，故 ，
设 与平面 所成的角为 ，则
，
而 ，故 ，当且仅当 时等号成立，故 .
②由①可得 ，故 ，
故 的坐标满足： 且 ，
表示圆柱，而 表示如图所示的平面，
第 17页/共 18页
两者的截面为椭圆，其短轴长为 ，长轴长为 ，
故离心率为 ，所以 ，
，
当 时， ，
当 时， ，矛盾；
当 时， ，
因为 ，
所以 ，
故 最小值为 .
第 18页/共 18页