2026宁波高三下学期二模数学试题含解析

这是一份2026宁波高三下学期二模数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了 集合 ，则 中的元素个数为， 在钝角 中， ，则 的面积为， 数列 满足， 定义在 上的函数 满足等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.将条形
码横贴在答题卡“贴条形码区”.
2，作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试题卷上的答案无效.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以
上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠､不要弄破.
选择题部分（共 58 分）
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 复数 的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
2. 集合 ，则 中的元素个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知正方形 的边长为 1，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
5. 某中学校园十佳歌手比赛中，7 位评委对某歌手的评分分别为 ，记为数组
，将数组 中去掉一个最高分和一个最低分后保留的 5 个有效评分记为数组 ，对这两个数组进行比较，
有（ ）
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A. 极差相同 B. 方差相同
C. 分位数相同 D. 平均数相同
6. 在钝角 中， ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，设 是三个不同的实数，且满足
，则 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 数列 满足： 为 的前 项和，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 若 是两个不相等的正实数，则双曲线 与双曲线 的（ ）
A. 实轴长相等 B. 焦距相等
C. 离心率相同 D. 渐近线相同
10. 定义在 上的函数 满足： ，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 正四棱台 的高为 ， ， ，点 均在平面 内，且直线
与 夹角的正切值的最小值为 ，则（ ）
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A. 点 的轨迹的长度为
B. 直线 与 所成角的正切值的最小值为
C. 线段 的长度的最小值为
D. 点 到直线 的距离大于
非选择题部分（共 92 分）
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ，则 __________.
13. 在等差数列 中， 为其前 项和，若 ，则 __________.
14. 如图，已知定点 轴于点 ， 是线段 上任意一点， 轴于点 ，
于点 与 相交于点 ，则 的最小值为__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 的最大值为 1.
（1）求常数 的值；
（2）求使 成立的 的取值集合.
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16. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 ，斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点.当 的面积最大时，求直线 的方
程.
17. 在 中， 为 的中点，如图，沿 将 翻折至
位置，满足 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）线段 上是否存在点 ，使得 在平面 内的射影恰好落在直线 上.若存在，求出 的长
度；若不存在，请说明理由.
18. 某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态 1 为生成状态，在此状态下，工具根据用户输入的提示､
主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态 2 为优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行
校对､润色､改写或结构优化.已知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持
称为一次自动操作.假设首次（第一次）自动操作后处于状态 1 和状态 2 的概率均为 ，且之后每次自动操
作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关. 表示从第二次自动操作开始，
每次自动操作时从状态 到状态 的概率，若 ，且 .
（1）记前 2 次自动操作后的状态中状态为 1 的次数为 ，
（i）求前 2 次自动操作后的状态中第一次状态为 1，第二次状态为 2 的概率；
（ii）求随机变量 的期望 ；
（2）记事件 ：前 次自动操作后的状态中状态 1 和状态 2 均为 次，当 时，证明：
.
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19. 设 ，函数 .
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）若 ，若 与 的图象有两个公共点，求 的取值范围；
（3）若存在 ，使得 与 的图象有三个公共点，求实数 的取值范围.
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