河北省沧州市运东七县2026届高三下学期一模数学试题（Word版附解析）

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数学试题
一、单选题
1．已知复数，则其共轭复数（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．的展开式中的系数为（ ）
A．0B．10C．D．20
4．某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A．B．C．D．
5．已知是定义在R上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图，球的半径，，，，为球的球面上的四点.若球面三角形的三条边长均为，则此球面三角形一个内角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．在中，，，D为边BC的中点，则（ ）
A．B．C．D．最大时，
三、填空题
12．函数恒有，且在上单调递增，则__________．
13．已知集合，将与（其中，）的乘积放入如图的方格中，则方格中全部数之和的最大值为______.
14．已知为抛物线上两点，为焦点，为坐标原点，在第一象限，且点的纵坐标大于点的纵坐标，若，则点的坐标为_________.
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
16．已知正项数列的前n项之积为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求的前2n项和.
17．某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分．现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
(1)当a=25时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ii）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；
(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为．若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值．
18．在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点.
(1)若是的左焦点，且，求的值；
(2)设，上存在轴上方一点.若，求的坐标；
(3)设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围.
19．已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：
参考答案
1．A
【详解】，所以，
故选：A.
2．B
【详解】由可得，即，即得，
则.
故选：B.
3．A
【详解】由题意得展开式的通项公式为，
令，，
令，，所以的系数为0.
故选：A.
4．B
【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则，
且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得，
则，解得，而，于是，
，
所以该船完成此段航行的实际速度为.
故选：B
5．A
【详解】因为，，
所以，所以，
因为是偶函数，所以，故，
又因为的图象关于点中心对称，
所以，即，故．
故选：A.
6．C
【详解】由题意得，圆的圆心为，半径．
因为到直线的距离，
当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离，
所以的最小值为．
故选：C．
7．C
【详解】因为球面三角形的三条边长均为，，
所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体.
取的中点，连接，，如图，
则，，且，
则为二面角的平面角.
由余弦定理可得
所以此球面三角形一个内角的余弦值为.
故选：C
8．D
【详解】函数的定义域为，
①当时，，
当时，，不符合题意；
②当时，取，则，不符合题意；
③当时，设，，
则，当且仅当时取等号.
（i）若，即，取，
，，不满足题意；
（ii）若，即，
若在上恒成立，则需在上恒成立，
又，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
故，解得，所以.
综上可知，.
故选：D.
9．BC
【详解】令且，则恒成立，
所以在上单调递减，则，即，
因为且，，
而，
所以，
设且，则，所以在单调递减，
由，得，则，所以.
故选：BC
10．ABD
【详解】对于A，因为，，所以，.
因为与为互斥事件，所以，
所以
，所以，
故，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C,，，
所以，故C错误；
对于D，，故D正确，
故选：ABD.
11．BCD
【详解】，，
，即，
整理得，，
，，即.
对于A选项，，，，，
，，
，，不能确定，故A错误；
对于B选项，，，故B正确；
对于C选项，设，
在中，，，
由余弦定理知，，
在中，，，
由余弦定理知，，
，整理得，
在三角形中，两边之和大于第三边，，，
，，故C正确；
对于D选项，在中，
，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值为，，，
的最大值为；
此时不妨设，则，
又，D为边BC的中点，则，
，，
为边BC的中点，，
又，则是边长为2的正三角形，
，故D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即，
所以，所以
已知在上单调递增，所以，即，解得.
当时，因为，所以，
因为在上单调递增，所以，
解得，所以，
解得，故.
当时，因为，所以.
取，则，因为，
所以，故在上单调递减，不满足题意.
同理可得，时，也不满足题意.
综上可得：.
故答案为：.
13．110
【详解】解：由表格数据可得所有数之和为：
，
，
集合，
，
设，则，，，
当或时，取最大值，最大值为110，
此时，，可取最大值110.
故答案为：110.
14．
【详解】设，，，则，，
结合抛物线定义，，
当位于轴的不同侧时，，
由，
整理可得，所以，，
所以，解得(负值舍)，此时的坐标为；
当位于轴同侧时，，此时无解.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
如图所示，作线段的中点，连接，
因为侧面为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，因为平面，所以，
因为底面为矩形，所以，
因为，面，面，所以面，
因为平面，所以平面面.
（2）
如图所示，作中点，连接，则
由（1）可得，面，面，所以面，
则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系；
则，
可得，
设面的法向量为，则，得，
令，解得，所以面的一个法向量为，
易知面得一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）依题意，，当时，得，则，
由，得，则，即，
当时，，于是，解得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）得，
则，
所以
.
17．(1)（i）0.35；（ii）
(2)7．
【详解】（1）（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为，
则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.35．
（ii）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为，
所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，
同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为，
X的所有可能值为6，7，8，
，，，
所以X的数学期望.
（2）由表知，，则，
从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，则的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为，要使恒成立，当且仅当，
显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
因此，
则，解得，
所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为与的左焦点重合，故，因此.
又因为，而，
所以，解得：(负舍).
（2）因为，又因为，
而，
代入解得.
若在第一象限，则，故在第二象限.
设，而，
整理可得.
代入椭圆方程，可得：.
所以解得(增根舍去)，所以.
因此.
（3）由题意可知：直线的解析式为，
设直线的解析式为()，且、.
联立，
可得，.
根据韦达定理，，.
因为、两点均在直线的左侧，故.
又因为，，因此，
代入化简可得方程.
设，又因为，故.
① 若 ，此时直线与存在两个交点. 若存在，使得，
而，故，
可得，故，因此.
② 若，而此时在的外部，，故.
若存在，使得，
而，
故，可得，故.
综上所述，的取值范围为.
19．（Ⅰ） 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析.
【详解】（Ⅰ）由，可得，其中且，
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时：
令，解得或，
当变化时，的变化情况如下表：
所以，在，上单调递减，在内单调递增.
（2）当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则
由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.
（Ⅲ）证明：不妨设，由（Ⅱ）知，设方程的根为，可得
，当时，在上单调递减，又由（Ⅱ）知可得.
类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，
，即对任意，
设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此.
由此可得.
因为，所以，故，
所以.科普测试成绩x
科普过程性积分
人数
4
10
3
a
2
b
1
23
0
2