安徽淮南市2026届高三第二次数学质量检测数学试题解析版

这是一份安徽淮南市2026届高三第二次数学质量检测数学试题解析版，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 复数 ( 为虚数单位)在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】 ,在复平面内对应点为 .
2. 已知集合 ,则符合条件的集合 的个数为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】 ,所以其真子集有 7 个.
3.已知向量 与 的夹角为 ,则
A. B. C. 1 D. 3
【答案】D
【解析】 ,所以 ,由于 ,所以 .
4.平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案. 其画法是:取第一个正方形 各边的四等分点 作第二个正方形,再取正方形 各边的四等分点 作第三个正方形,以此方法一直循环下去, 就可得到阴影部分图案,如图所示. 设正方形 边长为 ,后续各正方形边长依次为 . 若 ,则 等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知, ,由于 ,故 ,所以数列 是首项为 1,公比为 的等比数列,故 .
5.已知双曲线 的一条渐近线的斜率为 1,一个焦点在抛物线 的准线上, 则双曲线的顶点到渐近线的距离为
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】由题知 ,则双曲线的一个顶点为 ,一条渐近线为 ,距离为 1.
6.已知圆台的上、下底面的半径大小分别为 2 与 4,其母线与下底面所成角的余弦值为 ,则该圆台体积的大小为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由条件知圆台的高为 4,所以该圆台体积为 .
7.设 ,随机变量 的分布列为
则
A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减
C. 的最小值为 D. 的最大值为
【答案】C
【解析】 ,
最小值为 .
8.在平面上有等腰直角三角形 为直角顶点, , 若 到直线 的距离分别为 和 ,则 的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】建立平面直角坐标系 ,不妨设 ,则直线 的方程为 , 设 ,则 ,由 得 可得 ，故 ， 不妨设 ,于是 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知一组大小不等的数据 的平均数为 ,方差为 ,标准差为 ,极差为 ,若 ,则下列关于数据 的结论正确的是
A. 平均数为 B. 方差为
C. 标准差为 D. 极差为 -2a
【答案】AB
【解析】由题意可知数据 的平均数为 ,方差为 ,标准差为 ,极差为 , 于是选项 A、B 正确, 选项 C、D 错误.
10.在 中,角 所对的边分别为 ,且满足 ,则
A. B.
C. D. 内切圆半径的大小为
【答案】ACD
【解析】由条件知 ,
根据余弦定理可得 ,所以 ,因此 .
于是 ,根据正弦定理得 ,于是选项 正确; 又 , 解得 ,所以 ,
,所以选项 B 错误;
所以 ,
根据正弦定理知 ,选项 C 正确;
因此 ，设 内切圆半径的大小为 ，则 ，解得 ，所以 内切圆半径的大小为 ，选项 D 正确.
11.抛物线有如下光学性质: 平行于抛物线的对称轴的光线, 经过抛物线反射后通过它的焦点; 从抛物线焦点发出的光线经抛物线反射后, 沿平行于其对称轴的方向射出; 入射光线与反射光线所成夹角的角平分线垂直于反射点处的切线. 如图, 为坐标原点,一束光线从点 出发平行于 轴射入抛物线 ,经过两次反射后经点 平行射出, 轴,设反射点分别为 ,过点 分别作 的角平分线,两线交于点 ,则
A. 当 时, B. 直线 与 的交点在定直线上
C. 点 在线段 的垂直平分线上D. 面积的最小值为 2
【答案】ABC
【解析】由抛物线标准方程可知, ,设直线 方程为 , 将直线方程代入抛物线方程可得, ,则 ,
当 时,直线 ,所以 , A 正确;
直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
所以 ,
所以直线 与 的交点在定直线 上, 正确;
过点 作 于点 于点 于点 ,
因为 的角平分线交于点 ,所以 , ,又 ,所以点 三点共线,所以点 为 中点,因为 轴,所以四边形 为矩形,所以 ,所以点 在线段 的垂直平分线上, 正确;
取 的中点 ,则 ,且 ,
所以 的面积为 ,
当 时, 的面积有最小值 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知 的展开式中二项式系数之和为 128，则其展开式中系数最小项的系数为________.
【答案】-35
【解析】二项式系数和为 展开式的通项为 ,所以当 时,项的系数最小,为 .
13.已知函数 在区间 上单调递减，且函数图象关于 中心对称， 则 _______.
【答案】
【解析】因为 ,所以 ,因为函数图象关于 中心对称,所以 ,所以 或 . 若 ,当 时, ,函数 递增; 若 ,当 时, ,函数 递减. 所以 .
14.已知定义在 上的函数 ,其导函数为 ,对 ,满足 ,点 分别为曲线 和直线 上的动点, 则 的最小值等于________.
【答案】
【解析】 由已知有 ,即 ,设 ,则 ,由 ,得 ,故 ,设与 平行且与 相切的直线方程为 ,由 ,得 ,故切点坐标为 ,切线为 ,且 ,得 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知递增数列 满足 .
(1)证明: 为等差数列，并求 .
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 .
【解析】(1) 由条件知 ,
即 , 1 分
所以
于是 或 .3 分
由 为递增数列,得 ,
故 ,
所以数列 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 5 分
故 .7 分
(2)由(1)知 ,10 分 .13 分
16.已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)记点 为椭圆 的左顶点，点 为椭圆 的下顶点，动点 是第一象限内椭圆 上的一点,直线 与 轴交于点 ,直线 与 轴交于点 . 证明: 四边形 的面积为定值.
【解析】(1) 由题意可知 ,
所以 ,
所以椭圆的方程为 .4 分
(2)由(1)可知点 ,设点 坐标为 ,则 ①,5 分
则直线 的方程为 ,与 轴交于点 ,7 分
直线 的方程为 ，与 轴交于点 ， 9 分
所以 ,
11 分
所以四边形 的面积为
.13 分
由①有 ,
所以四边形 的面积为定值 . 15 分
17.在学校举行的科学教育知识竞赛中, 甲、乙两位同学进入了决赛, 决赛以抢答的形式回答问题, 一共回答 3 道题,每道题均从题库中随机抽取,若每道题甲、乙抢到的概率均为 ,每道题甲回答正确的概率均为 ,每道题乙回答正确的概率均为 . 比赛规定每道题由先抢到的同学回答,回答正确, 该同学得1分, 回答错误, 对方得1分, 得分高的同学获胜. 甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立.
(1)若 ，设比赛结束甲的得分为 ，求 ；
(2)为增加比赛的趣味性，拟由 3 道题增加到 5 道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？ 请说明理由.
【解析】
每一题甲抢到并回答正确的概率为 ,1 分
每一题乙抢到并回答错误的概率为 , 2 分
所以,每题甲得 1 分的概率均为 ,4 分
(1)当 时，
又甲、乙回答每道题正确与否均相互独立,所以 , 6 分
于是 .7 分
(2)设回答 3 题时甲获胜的概率为 ，回答 5 题时甲获胜的概率为 ，
则 , 9 分
回答 5 题时甲获胜有三种可能:前 3 题甲均得分；前 3 题甲有 2 题得分，增加两道题甲至少有 1 题得分; 前 3 题甲有 1 题得分, 增加两道题甲都得分, 则有.11 分
所以 .12 分
于是当 时, ,甲获胜的概率增大;
当 时, ,甲、乙获胜的概率相同;
当 时, ,甲获胜的概率减小.
综上, 增加两题后, 甲获胜的概率未必增大, 而是答题能力强的同学获胜的概率增大.15 分
18.如图,在直四棱柱 中, .
(1)证明: 平面 ；
(2)动点 满足 ，且点 在同一球面上，设该球面的球心为 ,半径为 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 当 最大时,求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【解析】(1) 证明: 因为在直四棱柱中, 平面 ,
所以 ,1 分
因为 ,
所以 ,
在 中, ,
所以 ,3 分
因为 ,
所以 平面 . 4 分
(2)因为在直四棱锥中， ， ， ，
所以四边形 为平行四边形,四边形 为正方形,
所以 平面 ,
所以 两两互相垂直,以点 为原点,分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,6 分
根据题意可得: ,
(i) 取 中点 中点 , 因为球 经过点 ，且 为等腰直角三角形， 以球心 在直线 上, 设 ,则
点 在球 上,所以 ,
即 ,
故 , 10 分
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以球的半径 的取值范围是 . 12 分
(ii) 当球的半径 最大时, ,即点 与点 重合, 此时 ,
设平面 的法向量为 ,则有 解得
取 ，得平面 的一个法向量为 ，15 分
因为 平面 ,得到平面 的一个法向量 ,
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 . 17 分
19.已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若对 恒成立，求 的值；
(3)证明: .
【解析】(1) 定义域为 ,求导得 , 1 分
当 时, ,所以函数 在 上单调递减; 2 分
当 时,令 ,解得 ,
当 时, ,
故函数 在 上单调递减,在 上单调递增; 4 分
当 时, ,
故函数 在 上单调递增,在 上单调递减;5 分
综上所述,当 时,函数 在 上单调递减;
当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时,函数 在 上单调递增,在 上单调递减.6 分
(2)因 ，所以由(1)知 不符合题意，于是 . 7 分
若 ,则 ,于是由 (1) 可知当 时, ,不符合题意;8 分
若 ,则 ,于是由 (1) 可知当 时, ,不符合题意.9 分
所以实数 的值为 1 . 10 分
(3)证明:要证 ，
即证 ,
即证 , 11 分
由(2)知 在 上恒成立，其中当且仅当 时等号成立， 于是 对 恒成立.13 分
分别令 代入上式,
可得 ,14 分
将上述 个不等式左右两边分别相加得

所以 , 16 分
所以 .17 分0
1