山东省济南第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中数学试题（含解析）

这是一份山东省济南第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 函数的图象大致为， 已知函数，，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章6.1.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】依题意，，所以.
2. 从6本不同的数学书，4本不同的英语书中任取1本，则不同的取法种数是（ ）
A. 10B. 24C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分两类：
第一类，取数学书，有6种不同的取法；
第二类，取英语书，有4种不同的取法.
故共有种不同的取法.
3. 函数的极小值点为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，即的极小值点是2.
4. 5名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（ ）
A. 8种B. 15种C. 种D. 种
【答案】C
【解析】
【详解】由题意知，每位大学生都有3种选择，根据分步乘法计数原理，共有种选法.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析的符号以及该函数的零点，结合排除法可得合适的选项.
【详解】因为，则，得，
所以排除BD．
由，可得或，排除A.
6. 将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积最大时，（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由题意确定容积关于的函数表达式，求导，确定单调性即可求解.
【详解】因为铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，
所以无盖方盒的底面积为，高为.
设方盒的容积为，则，
令，
得或（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，方盒容积最大.
7. 已知定义在上的函数满足，则必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设，则，所以在上单调递增，则，即，所以.
8. 若，且不等式对任意的恒成立，则t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由，得，即，.
设，则，当时，，所以在上单调递增.
由，得，因为，所以，即对任意的恒成立.
设，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，则.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于各函数导数的计算，正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【详解】若，则f'x=3x2ex+x3ex=x2ex3+x，所以A正确；
若，则，所以B不正确；
若y=ln2x+5，则，所以C正确；
若fx=sin2x2=12−12cs4x，则f'x=2sin4x，所以D不正确.
10. 已知函数，，则（ ）
A.
B. 当时，函数在上单调递增
C. 当时，过点且与曲线相切的直线方程为
D. 当时，直线是曲线与曲线的公切线
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于A，，A正确.
对于B，当时，，则，因为，所以在上不单调递增，B错误.
对于C，当时，，，设切点坐标为，
则切线l的方程为，所以，解得，
所以切线l的方程为，即，C正确.
对于D，当时，曲线与的公共点为，
由，得，则，所以曲线在点处的切线方程为，
由，解得，所以直线与曲线相切，所以D正确.
11. 已知函数，则（ ）
A. B. 有4个极值点
C. 在上有零点D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，代入计算即可；对于B，求原函数的极值点即求导函数的变号零点即可；对于C，求函数在某区间是否有零点，利用零点存在性定理判断即可；对于D，判断函数在某区间的单调性即求其导函数在该区间的正负情况即可.
【详解】对于A选项，由，所以选项A正确；
对于B选项，令函数，
则，
所以为偶函数，，
令函数，则，
令函数，则，
当时，，所以在上单调递减，
即在上单调递减，所以，
则在上单调递减，所以，
即，所以在上单调递减，
则在上单调递增，即在上单调递增，
在上单调递减，因为，
，，
所以在上有1个极值点，在上有1个极值点，
所以只有2个极值点，所以选项B错误；
对于C选项，由，，
由零点的存在性定理可知在上有零点，所以选项C正确；
对于D选项，，
当时，，，
因为，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】通过求导，再令即可求解.
【详解】因为，
所以，
故.
13. 2025的不同正因数的个数为________．
【答案】15
【解析】
【分析】先将2025写成，再根据正因数的求法结合分步乘法原理，即可求得答案.
【详解】由题意知，
则可设2025的正因数为，其中，
由分步乘法计数原理可得2025的不同正因数的个数为，
故答案为：15
14. 五一长假期间，要从6人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天的情况，则不同的安排方法种数为__________.
【答案】3750
【解析】
【详解】第一天的值班人员，从6人中选1人，有6种选择；
第二天的值班人员，不能与第一天相同，有5种选择；
第三天的值班人员，不能与第二天相同，有5种选择；
第四天的值班人员，不能与第三天相同，有5种选择；
第五天的值班人员，不能与第四天相同，有5种选择.
故不同的安排方法种数为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 袋中装有9个白球和8个红球，每个球编有不同的号码，现从中同时取出2个球.
（1）正好是白球、红球各1个的取法有多少种？
（2）正好是2个红球的取法有多少种？
（3）至少有1个白球的取法有多少种？
（4）2个球的颜色相同的取法有多少种？
【答案】（1）72 （2）28
（3）108 （4）64
【解析】
【分析】（1）由分步乘法即可得解；
（2）利用组合的知识运算即可得解；
（3）分为白球、红球各一个和两个全是白球，结合分类加法即可得解；
（4）分为两球全是白球和两球全是红球，结合分类加法、组合即可得解.
【小问1详解】
从9个白球中取1个白球，有9种取法，
从8个红球中取1个红球，有8种取法，所以共有C91C81=9×8=72种取法.
【小问2详解】
从8个红球中取2个红球，有种取法.
【小问3详解】
至少有1个白球的取法包含两类：第一类是1个白球、1个红球，第二类是2个白球.
由分类加法计数原理知共有C91C81+C92=9×8+9×82=108种取法.
【小问4详解】
2个球的颜色相同包含两类：第一类是2个白球，有C92=9×82=36种取法；
第二类是2个红球，有种取法.
故共有种取法.
16. 2026年2月6日至22日冬奥会在意大利举办，某高山滑雪运动员在冬奥会期间的一次滑雪比赛中滑行的路程S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为
（1）求该运动员从1s到3s时滑雪的平均速度；
（2）求该运动员在时滑雪的瞬时速度；
（3）当该运动员的滑雪路程为90m时，求此时的滑雪速度.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平均速度的概念，求出从1s到3s时的路程，进而求出结果；
（2）根据瞬时速度的概念，求出结果即可；
（3）根据函数导数的几何意义，求出结果即可；
【小问1详解】
当时，，
所以从1s到3s时的滑雪的平均速度为．
【小问2详解】
因为，
所以，
即该运动员在时滑雪的瞬时速度为．
【小问3详解】
当时，，
所以，．
由，即，解得或（舍去）．
因为，所以此时的滑雪速度为．
17. 已知函数（）.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，，求的取值范围.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减
（2）
【解析】
【分析】（1）应用导数研究函数的单调性即可；
（2）问题化为对恒成立，应用导数求不等式右侧的最大值，即可得.
【小问1详解】
当时，，易得的定义域为，
，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
由，即，即对恒成立，
设函数，则（），
设函数（），易知在上单调递减，所以，
所以，则在上单调递减，得，
所以，即的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若恰有3个零点，求的取值范围.
【答案】（1）（或）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可.
（2）将变形为关于lnxx2的一元二次方程，令t=lnxx2，将函数零点问题转化为二次方程根的分布问题，结合导数与单调性及最值的关系求解即可，
【小问1详解】
fx=lnx2−ax2lnx2−x4=fx=lnx2−2ax2lnx−x4，定义域为.
则f'x=2lnxx−2a2xlnx+x−4x3，所以f'1=−2a−4，
又，
则曲线在点处的切线方程为y−−1=−2a−4x−1，
即2a+4x+y−2a−3=0.
【小问2详解】
令，得lnx2−2ax2lnx−x4=0x>0，
即x4lnxx22−2alnxx2−1=0x>0.
设函数，则ℎ'x=1x⋅x2−2xlnxx4=1−2lnxx3，
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则ℎxmax=ℎe=12e.
当时，，当时，，且当时，，当时，，
作出的大致图象，如图所示.
令，则.
显然不是方程的根，
所以函数gt=t2−2at−1=0有两个零点，因为，
所以且，
所以且g12e=14e2−ae−1>0，
得，即的取值范围为−∞,14e−e.
19. 已知函数.
（1）当，时，证明：.
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
（3）若方程的两根分别为，且，证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）令gx=ex−a+1x−csx并对函数求导得出其单调性，求出其最小值即可得出结论；
（2）将不等式化简可知ex+x≥elnax+lnax，结合函数在上单调递增，构造mx=exx,x∈0,+∞，可求得mxmin=m1=e，可得.
（3）令φx=x−lnx−lna，可得在上单调递减，在上单调递增，令Fx=φ2−x−φx=2−2x−ln2−x+lnx,x∈0,1，求导可得在上单调递增，因此φ2−x1