2026年浙江舟山市金衢山五校联考初中毕业生学业水平第一次数学质量监测（含解析）

这是一份2026年浙江舟山市金衢山五校联考初中毕业生学业水平第一次数学质量监测（含解析），共11页。试卷主要包含了全卷共三大题，24小题，共8页，考试时不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。
1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟．
2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上．
3．考试时不能使用计算器．
第I卷（选择题）
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1. 已知四个数：，，，，其中正数的个数是 （ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的乘方．根据乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义逐一计算，再根据正数大于0即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴是正数
∵，，
∴是正数
∵，，
∴是正数
∵，，
∴是负数
∴正数共有3个，
故选：C．
2. 如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：该几何体由4个小正方体组成，从上方看时，其布局如图所示．
3. 我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．数130000000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为正整数，正确确定和的值即可解答．
【详解】解：数130000000用科学记数法可表示为．
4. 下列计算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘、除法运算法则计算各选项，即可判断正误．
【详解】解：.，错误；
.，正确；
.，错误；
.，错误．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B. “掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件
C. 描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图
D. 调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵必然事件是一定会发生的事件，打开电视时不一定正在播放《新闻联播》，
∴A选项错误；
∵随机事件是可能发生也可能不发生的事件，掷质地均匀的骰子，向上一面的数字可能为1到6中任意一个，得到数字2是可能发生也可能不发生的事件，即是随机事件，
∴B选项正确；
∵折线统计图适合反映数据的变化趋势，扇形统计图仅能反映各部分占总体的比例，要描述一周内最高气温的变化情况，适宜用折线统计图，
∴C选项错误；
∵全面调查适用于范围小，易完成的调查，长江某段水域范围大，无法对所有鱼类进行全面调查，适宜用抽样调查，
∴D选项错误．
6. 为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校欲购进《论语》《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元；若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元．设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两次购买的等量关系，总费用等于两种图书的费用之和，据此列出方程组即可．
【详解】解：购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元，
可得；
购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元，
可得
因此可列方程组．
7. 已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（ ）
A. 8B. 5C. 3D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数中，当，时，图象经过一、三、四象限，据此解答即可．
【详解】解：∵ 一次函数的图象过第一、三、四象限，
∴，即，
观察选项，只有选项D中的0满足．
8. 如图，四边形是菱形，于，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可求出的长．
【详解】解：设与交于点，
四边形是菱形，，，
，，，
在中，，
，
，
．
9. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转40°得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式和数形结合的思想解答．
根据旋转的性质可知，，从而可以得到和的面积相等，再根据图形可知，阴影部分的面积=扇形的面积的面积的面积，然后代入数据计算即可解答本题．
【详解】解：由题意可知，，
故和的面积相等，
∵在中，，将绕点逆时针旋转后得到，
∴阴影部分的面积是：，
故选：C．
10. 如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，点和圆的位置关系，勾股定理，由题意可得点在以点为圆心、为半径的圆上，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴点在以点为圆心、为半径的圆上，
如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，
则，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即最小值是，
故选：．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11. 计算的结果是________．
【答案】
【解析】
【详解】解：．
12. 数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出3张卡片所有等可能的排列结果数，再找出从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果数，再根据概率公式计算即可．
【详解】解: 将写有“2026”、“中考”、“必胜”的三张卡片分别记为、、，
把三张卡片随机排成一行，所有等可能的结果为：、、、、、，共种，
其中从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果只有种，
故恰好排成“2026中考必胜”的概率是．
13. 计算：的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果．
【详解】解：
，
∴的结果是．
14. 如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质可得出过点C，，，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出，根据，则当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，即可求解．
【详解】解：由题意，得，，，，，
作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，
则过点C，，四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，
即的最小值为．
15. 如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____；
【答案】12
【解析】
【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可．
【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且，
∴，
∴，
∴．
16. 如图，内接于，为的直径，点B是的中点，延长至点D，连接，若，，则的长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意得，，，，求得，，根据计算即可．
【详解】解：∵内接于，为的直径，点B是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，第24题12分，共72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质，乘方，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行化简，再计算即可．
【详解】解：原式
．
18. 下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程．
（1）请指出两名同学的错误分别在第几步；
（2）请你写出正确的解答过程．
【答案】（1）嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据有理数的混合运算法则分析判断即可．
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可．
【小问1详解】
解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步．
【小问2详解】
解：原式．
19. 如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）若，，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查圆的知识，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识，解题的关键是掌握以上定理，进行解答，即可．
（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线是性质，可得， 根据垂径定理，即可；
（2）根据三角形的中位线，则，根据，求出，根据勾股定理求出，即可．
【小问1详解】
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点；
【小问2详解】
解：为的中点，为的中点，
，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
20. 中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49．
雅行班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50．
两班抽取的学生体测成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中，________，________，________；
（2）根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？
【答案】（1）49；48；45
（2）慧学班成绩较好，理由见解析
（3）估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义即可得出的值，根据众数的定义即可得出的值，先求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数，再求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数所占比例，即可得出的值；
（2）结合中位数和平均数分析即可得出结果；
（3）分别求出两个班级中满分的人数，再利用800乘以此次体测成绩获得满分的学生人数所占的比例即可得出结果．
【小问1详解】
解：由题意可得：慧学班学生的体测成绩在A组的人数为：（人）,
慧学班学生的体测成绩在B组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在C组的人数为：人，
将慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据按照从小到大排列为：46，47，47，48，48，48，49，49，
故慧学班20名学生的体测成绩处在第位和第位的成绩分别为49和49，故中位数；
雅行班20名学生的体测成绩中出现次数最多的为，故众数，
慧学班学生的体测成绩在D组的人数为：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：慧学班成绩较好，理由如下：
慧学班的平均数与雅行班一样，但中位数49大于雅行班中位数48，所以慧学班较好；
【小问3详解】
解：两个班级中，慧学班满分的有：（人），雅行班满分的有4人．
∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）．
答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人．
21. 一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点D转动到点的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：
）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题目中的条件，首先由，求出，再继续求出，点D转动到点的路径长，是以为半径，B为圆心的圆的周长的一部分，根据占的比例来求出路径；
（2）求点D到直线的距离，实际上是过点D作的垂线交于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解，于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．
【小问1详解】
解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点D转动到点的路径长为()．
【小问2详解】
解：如图，
过点D作于点G，过点E作于点H．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
又∵，
∴点D到直线的距离约为．
22. 如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，．
①线段长为 ．
②四边形的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可得证；
（2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解．
【小问1详解】
证明：连接交于．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：①在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②过点作于，
∵，，，，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
故答案为：．
23. 某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）通过计算说明与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度．
【答案】（1）
（2）与舞台平面l之间的距离符合要求，
【解析】
【分析】（1）由关于原点中心对称的点的坐标特征，可得抛物线的顶点坐标，根据待定系数法即可得抛物线的函数表达式；
（2）由题意可得与舞台平面之间的距离，当时，，可得，结合已知即可得绳索的长度．
【小问1详解】
解：∵抛物线与抛物线关于点成中心对称，顶点的坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把点代入，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：由题意可得与舞台平面之间的距离为，
当时，，
∴，
由题可得的长度为，
∴，
∴与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度为．
24. 在矩形中，，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H．
（1）证明：．
（2）连结交于点K，若，求的值．
（3）作的外接圆，且．
①若与矩形的边相切时，求的长．
②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）①或或；②
【解析】
【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可求证；
（2）过点K作于点M，则，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解；
（3）①由题意可分当与边相切时，当与边相切时，当与边相切时，进而分类进行求解即可；
②连接，过点H作于点R，由折叠的性质可知：，然后可得，则有，进而问题可求解．
【小问1详解】
证明：在矩形中，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴；
【小问2详解】
解：如图，过点K作于点M，则，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：①根据题意得：，，
当与边相切时，此时点H为切点，
如图，设与交于点G、R，连接，，则，
∵，
∴为的直径，
∴点O，F，R共线，且，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当与边相切时，则与边也相切，此时 F，G 为切点，为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
当与边相切时，设与边的另一个交点为点Q，设切点为点N，连接，则，
∵，
∴为直径，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，即，
∴，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴， ，
∴，
∴，
在中，，
解得：或（舍去），即；
综上所述，的长为或或；
②由题意可得如下图，连接，过点H作于点R，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．计算：
嘉嘉：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
琪琪：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
慧学班
雅行班
平均数
47
47
众数
50
b
中位数
a
48
调研主题
装饰舞台—安装电子屏幕
模型抽象
顶棚截面图如图所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点成中心对称，以点为原点，过点的水平直线为轴，过点且垂直于轴的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．舞台平面与轴平行，交轴于点．
安装方式
矩形电子屏幕如图所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点处，左端从抛物线上的点处拉一条绳索固定，轴，交轴于点，点、在边上，边与平行于轴．
任务目标
1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于米；
2．与轴之间的距离为，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计）
数据采集
顶点F的坐标为，，