山东省泰安市2026届高三二模考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

这是一份山东省泰安市2026届高三二模考试数学试卷含答案（word版+pdf版）试卷主要包含了04， 56，36，75×5+15+1，5 小时”与“性别”无关等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题:
二、多项选择题:
三、填空题:
12. 56
13.36
14.4
四、解答题:
15. (13 分)
(1)解: ∵ 抽取的 100 人中日均运动时间不足 1 小时的人数占比为 5+15100=15
∴ 该校 2000 名学生中日均运动时间不足 1 小时人数约为 2000×15=400 人 .3 分
(2)该校日均运动时间的平均数约为
1100×0.75×5+15+1.25×20+20+1.75×20+6+2.25×10+4
=1100×15+50+45.5+31.5 =1.42 小时.7 分
(3)作出列联表如表所示
9 分
零假设 H0 : “日均运动时间不小于 1.5 小时”与“性别”无关
χ2=10025×10−35×30260×40×55×45=10.774>7.879=x0.005 11 分
根据小概率值 α=0.005 的独立性检验,推断 H0 不成立,即认为 “日均运动时间不小于 1.5 小时”与“性别”有关, 此推断犯错误的概率不大于 0.005 .13 分
16. (15 分)
解: 以 A 为原点, AD,AB,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则 B0,4,0 , D22,0,0,C22,2,0,P0,0,22.2 分
(1)证明: ∵BD=22,−4,0,PC=22,2,−22
∴BD⋅PC=22×22−4×2+0×−22=0
∴BD⊥PC .6 分
(2)设平面 PBC 的一个法向量为 n1=x1,y1,z1,PB=0,4,−22,CB=−22,2,0
则 n1⋅PB=0n1⋅CB=0 ,即 4y1−22z1=0−22x1+2y1=0
取 x1=1 ，则 y1=2,z1=2
∴n1=1,2,2 .9 分
设平面 PCD 的一个法向量为 n2=x2,y2,z2,DC=0,2,0,PD=22,0,−22
则 DC⋅n2=0PD⋅n2=0 ,即 2y2=022x2−22z2=0
取 x2=1 ,则 y2=0,z2=1
∴n2=1,0,1 .12 分
∵csn1,n2=n1⋅n2n1n2=37×2=31414 .14 分
∴ 平面 PBC 与平面 PCD 夹角的余弦值为 31414 .15 分
第(1)问法二:连接 BD,AC .
由已知易知四边形 ABCD 为梯形,且 AC=23,BD= 26,sin∠ACD=ADAC=63,cs∠CDB=cs∠DBA=ABBD=63 ,
∴AC⊥BD .3 分
∵PA⊥ 平面 ABCD,BD⊂ 平面 ABCD
∴PA⊥BD .5 分
∵PA⊂ 平面 PAC,AC⊂ 平面 PAC
∴BD⊥ 平面 PAC
∵AC⊂ 平面 PAC
∴BD⊥AC .6 分
17. (15分)
解: (1) ∵an=2an−1−1n≥2
∴an−1=2an−1−1n≥2 .2 分
又 a1−1=2
∴ 数列 an−1 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列
∴an−1=2⋅2n−1=2n
∴an=2n+1 .4 分
∵a2=b3,2a2+a3=b10
∴b3=5,b10=19
设等差数列 bn 的公差为 d ,则 b10−b3=7d=14
∴d=2,b1=1 .6 分
∴bn=b1+n−1d=2n−1 .7 分
(2) ∵cn=sin2cs2n−1cs2n+1 =sin2n+1−2n−1cs2n−1cs2n+1 .9 分
=sin2n+1cs2n−1−cs2n+1sin2n−1cs2n−1cs2n+1 =tan2n+1−tan2n−1 .12 分
∴Tn=c1+c2+⋯+cn =tan3−tan1+tan5−tan3+tan7−tan5+⋯+tan2n+1−tan2n−1 =tan2n+1−tan1 .15 分
18. (17 分)
解: (1) 当 t=0,y=1 时, Mx=1−2exlnx
∵M′x=−2elnx+1x−2e
∴M′1=1−2e
∵M1=0
∴Mx 在 x=1 处的切线方程为 y=1−2ex+2e−1 3 分
(2) M>0 在 x∈[1,+∞) 上的解集非空等价于∃x∈[1,+∞) ,使得 t0 ,则
∴m′x=2ex−lnx−1
显然, m′x 单调递减
∵m′e=0
∴ 在 0,e 上, m′x>0,mx 单调递增
在 e,+∞ 上, m′x0,m≠n
∵E 过点 P−4,2,Q26,−2
∴16m+4n=124m+2n=1,解得m=132n=18
∴ 椭圆 E 的标准方程为 x232+y28=1 3 分
(2)(i)直线 l:y=kx+2,k≠0∴N2k,4
设 Ax1,y1,Bx2,y2
由 y=kx+2x232+y28=1
得 1+4k2x2+16kx−16=0
∴x1+x2=−16k1+4k2,x1x2=−161+4k2 .6 分
∵ 直线 PA 的方程为 y−2=y1−2x1+4x+4
令 y=4 ,得 xC=2x1+4y1−2−4=2x1+4kx1−4=2k−4+8kx1
∴1k1−1k2=xC+44−2−xC−x24−y2=2k+8kx12−2k−4+8kx1−x24−kx2−2=x1+4kx1−2x1−4kx1+8−kx1x22−kx2kx1
=x1+42−kx2−2x1+4kx1−8+kx1x2kx12−kx2=4x1−x22x1−kx1x2 .8 分
∵x1+x2=kx1x2
∴1k1−1k2=4x1−x22x1−x1+x2=4 10 分
(ii) ∵xD=2x2+4kx2−4=2k−4+8kx2
∴xC+xD=22k−4+8k1x1+1x2=4k−8+8k⋅x1+x2x1x2=4k=2xN
∴N 为 CD 的中点 .13 分
∴NC=ND
如图, PM//CD
∴∠1=∠3
又 ∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴NP=NC=ND
∴∠APD=∠APB=90∘ 15 分
∴PA⋅PB=x1+4x2+4+y1−2y2−2 =1+k2x1x2+4x1+x2+16
=1+k2−161+4k2+4×−16k1+4k2+16=0
∴k=43 .17 分题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
C
B
A
D
A
B
C
C
题 号
9
10
11
答 案
ABD
BC
ACD
日均运动时间
[0.5,1.5)
[1.5,2.5]
合计
男
25
30
55
女
35
10
45
合计
60
40
100