精品解析：浙江台州市2026届高三第二次教学质量评估数学试题（含答案与解析）

这是一份精品解析：浙江台州市2026届高三第二次教学质量评估数学试题（含答案与解析），共4页。试卷主要包含了04， 已知为等比数列，，，则， 已知为第二象限角，且，则， 已知实数，，若，，则， 已知函数，则， 设，为常数，则等内容，欢迎下载使用。
2026.04
本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
选择题部分（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为等比数列，，，则（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 17
【答案】A
【解析】
【详解】由等比中项的性质知，
若该数列的公比为，则，显然，
所以.
2. 已知为第二象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由为第二象限角，知，
而，故.
3. 设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立；
对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立；
对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立；
对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥，
由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立.
4. 已知实数，，若，，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】，故，，
，故，所以，
因为，所以，，
所以.
5. 已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ）
A. 体积为B. 表面积为
C. 两条母线的夹角的最大值为D. 过顶点的截面面积的最大值为2
【答案】D
【解析】
【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断AB的正误，求出轴截面的顶角值后可判断CD的正误.
【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误；
对于B，圆锥的母线长为，
故圆锥的表面积为，故B错误；
对于C，设圆锥轴截面顶角为，则，
而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误；
对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为
而，故当，，故D正确.
6. 已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（ ）
A. 为定值B. 为定值C. 为定值D. 为定值
【答案】C
【解析】
【分析】设（），利用两点斜率公式求，再分别求即可判断.
【详解】因为点是抛物线上异于的动点，
故设（），
则，，
对于选项A，，不是定值，A错误；
对于选项B，，不是定值，B错误；
对于选项C，，为定值，C正确；
对于选项D，，不是定值，D错误.
7. 设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 为纯虚数
【答案】B
【解析】
【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根，必为共轭复数，，故C错误；
又，故为实数，故A,D错误，
又，则方程的根为，
即，
，
由 得，，
故，故B正确.
8. 已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】时，分数列仅有一个1、仅有两个1、仅有三个1讨论求出；同理求出即可．
【详解】解：时，把数列的5项依次排列，
数列只有一个1时，时，共3种，同理也有3种；
时，共2种，同理也有2种；
时，共1种；
数列仅有两个1时， 共4种；
数列仅有三个1时，共1种，
综上，；
时，
数列只有一个2时，时，共3种，同理也有3种；
时，共4种，同理也有4种；
时，一种；
数列仅有两个2时，时，共2种，
同理时也有2种；
时，共8种；
时，共1种；
数列仅有三个2时，共4种，
综上，
．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B.
C. 的值域为D. 是图象的一个对称中心
【答案】BC
【解析】
【分析】由最小正周期的公式计算判断选项A；计算函数值判断选项B；计算正弦型函数的值域判断选项C；代入检验函数的对称中心判断选项D.
【详解】函数，最小正周期为，A选项错误；
，，B选项正确；
，，所以的值域为，C选项正确；
时，，又，
则是图象的一个对称中心，D选项错误.
10. 设，为常数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由，利用两个二项式乘积及其展开式通项求对应项系数判断A、B，应用赋值法求奇偶数项的和判断C、D.
【详解】由，
对于，展开式通项为，，
对于，展开式通项为，，
所以，A对，
，B对，
令，则，
令，则，
所以，则，C错，
，D对.
11. 已知正四面体的棱长为4，顶点在平面的同侧，点，顶点到平面的距离分别为1，2，直线与平面交于点，则（ ）
A. 直线与平面所成角为B. 平面与平面所成角为
C. D. 点到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据线面角的定义可求其正弦值，故可判断其正误，对于B，求出的面积，进而求出面面角的余弦值判断其正误，对于C，利用空间垂直关系的转化可判断其正误，对于D，利用向量法可求点到平面的距离，从而可判断其正误.
【详解】
设在平面内的射影为，在平面内的射影为，连接，
则，
对于A，因为，所以为直线与平面所成的角，
而，而为锐角，故，故A正确；
对于B，因为，故，故四边形为梯形，
而，，故，故四边形为直角梯形，
同理
而，故.
在中，，
故，
而，设平面与平面所成角为，
则，故平面与平面所成角不为，故B错误；
对于C，由题设平面，而，故平面平面，
故三点共线，而，故为的中点，
故，故，
连接，则，而，，故，
而平面，故平面，而平面，
故，故C正确；
对于D，由C的分析可得，故.
由可得为的中点，故，
连接，则，故.
过作平面的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，
设，则，
故，消元可得，故，
故D正确.
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量，，，若，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量平行坐标表示可得之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可.
【详解】，，即，
，
，当时，取得最小值.
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据双曲线的定义求出，然后利用余弦定理分别表示出及，再根据两个角的关系列出方程求出，即可求出双曲线的离心率.
【详解】
因为，所以，
所以，即.
因为，，所以
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得.
因为，所以，
即，解得，所以.
所以.
14. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______.
【答案】##
【解析】
【详解】由题设可取，
又，，
，
故.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【小问1详解】
已知，
由正弦边角关系得，化简得，
应用辅助角公式可得，而，所以.
【小问2详解】
由余弦定理，得，解得，
所以，故的周长为.
16. 如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线性质以及线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系求出相应的向量坐标，再求出两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值，进而求得正弦值.
【小问1详解】
证明：连接交于点，如图所示：

由是正方形得为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，
于是，又因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由已知，平面，，
所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，

因为，
所以，
因为点为棱的中点，所以，
设平面的一个法向量为，
又，
则，即，
令，则，则，
设平面的一个法向量为，
又，
则，即，
令，则，
记平面与平面的夹角的大小为，则：
，
由图可知平面与平面的夹角为锐角，
故.
17. 2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下：
由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：，，.
（1）证明：；
（2）请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.）
附：一元线性回归方程，其中.
【答案】（1）证明见解析
（2）；3.07（万亿元）
【解析】
【分析】（1）先将原式左侧展开，再根据平均数的计算公式变形即可得证；
（2）由条件求出，即可得一元线性回归方程，将代入回归方程求出预测值，预测值与实际值差的绝对值即为误差.
【小问1详解】
左边
=右边，故等式成立；
【小问2详解】
设一元线性回归方程为，
则，
将代入回归方程可得，解得，
所以一元线性回归方程为.
当时，求得，即2025年的GDP预测值为143.26万亿元，
而2025年GDP的实际值为140.19万亿元，
故误差为（万亿元）.
18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N，
（ⅰ）求切线，的方程：
（ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【答案】（1）
（2）（ⅰ），；（ⅱ）为定值，定值为90°.
【解析】
【分析】（1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得；
（2）（i）设过点P的直线方程为，联立椭圆并结合相切关系得求直线的斜率，即可得；（ii）利用相切关系求得，结合（2）所得，求交点坐标，再应用向量数量积的坐标运算求得，即可得.
【小问1详解】
由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立，
消去y并整理得，
由，即，解得，.
所以切线方程分别为，.
（ⅱ）设且，则且，联立，
所以，则，
由相切关系知，则，
所以，则，
由，则，
所以，则，得，
所以，即，
由，联立直线得，则，
由，联立直线得，，则，
因为，，，
所以，即，
故为定值，且定值为90°.
19. 已知，函数.
（1）当时，求函数的极小值；
（2）证明：当时，对任意，，都有；
（3）若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用导数研究函数的极小值，即可得；
（2）首先应用导数确定为增函数，再得到为增函数，利用单调性即可证明；
（3）设，，从而得到能成立，利用导数及分析法求右侧的最小值，即可得.
【小问1详解】
由，得.
令，解得，，
当时，；当时，；
当时，.
所以在、上单调递增，在上单调递减，
因此，的极小值为；
【小问2详解】
当时，，其中时取等号，
所以为增函数，
对任意的，，不妨设，则，
又，
所以为增函数，得，即，
故；
【小问3详解】
由题意，不妨设，，
因为，所以，
整理得，，
令，，.
①当时，，
此时.
②当时，令，解得，
因此，在上单调递减，在上单调递增，故，
法一：因为，
又因为，得，即
所以，
记，，
则，
因为，所以，
即，
因此，当时，，
又，
综上，，
法二：求最小值的第二种解法.
令，因为，，所以，
下证：，
因为
，
只需证：，
只需证：，
令，则，
因为，
所以，即恒成立，
因此，，
令，则，对于，，
所以，当且仅当时，.
所以a的取值范围是.
年份（x）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
GDP/万亿元（y）
74.64
83.20
91.93
98.65
101.36
114.92
120.47
129.43
134.91