浙江省台州市2025届高三第二次教学质量评估数学试题（解析版）

这是一份浙江省台州市2025届高三第二次教学质量评估数学试题（解析版）试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（ ）
A. ，4B. ，4C. ，2D. ，2
【答案】D
【解析】圆的圆心坐标为，半径为.
故选：D
2. 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】等差数列的公差，由，得，解得，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.
故选：B
3. 若随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得，即，
因为随机变量，且，
故.
故选：B.
4. 已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】复数，，
则
，解得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
5. 已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，
则，，
已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为： .
故选：A.
6. 已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，
所以，
因为函数既有极大值，又有极小值，
则关于的方程有两个不等的正根、，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
7. 已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（ ）
A. 4B. C. 3D.
【答案】B
【解析】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心在线段上，
连接并延长交于，连接并延长交AB于D，
设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式，
∴，，
设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式，
∴，C=CD=，则，
设正三棱台的外接球的半径,
得，解得，即.
故选：B.

8. 已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由双曲线定义得，，，
设，则由图，，
在中，由余弦定理得，解得，
∴.
在中，由余弦定理得，
∴，故离心率
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是定义域为R且周期为2的函数，其部分图象如图所示，则下列选项对恒成立的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】A选项：由已知，函数是定义域为R且周期为2，则将的图象往左和往右复制延伸可得的图象，
可知函数关于y轴对称，为偶函数，A选项正确；
B选项：由图象可知为函数图象的对称轴，故，B选项正确；
C选项：令，则，又，
则恒成立，即单调递增，
当时，，即，
由图象可知，在时，单调递增，，
时，单调递减，，C选项错误；
D选项：由图象可知，在时，，，
令，则，在该区间单调递增，
且，则，满足，
则当时，，单调递减，，
当时，，单调递增，，
则，，即，即，
令，该函数周期，且关于轴对称，则在R上恒成立，D选项正确.
故选：
10. 已知，，，则下列选项正确的是（ ）
A. 的取值范围是B. 的最大值为30
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】对于选项A：由向量模长的三角不等式，
当且仅当同向时，取得最大值9；
当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0，
由于长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的，
故的取值范围是[0，9]，故选项A正确.
对于选项B， ，
当同向时，，
的最大值为，B选项正确.
对于选项C，D， ，
设，则上式为①，
当与反向时，
，
所以代入①式得，
所以当时，取得最小值为，此时，
所以，这种可能性是存在的，故选项C是正确的，选项D是错误的.
故选：ABC
11. 如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是（ ）

A. 截口曲线的离心率为B. 该几何体的体积为
C. 该几何体的侧面积为D. 该几何体的上截面面积为
【答案】BCD
【解析】对于A：因为截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面半径为，
故截面椭圆长轴长为，短轴长为，故，
故，故A错误；
对于选项B：因为上、下截面间的距离为，所以，
将该几何体沿A点平行于圆柱底面切割补到以沿点B平行于圆柱底面的位置，
则正好是以底面半径为，高为的圆柱，则，故B正确；
对于选项C：同样以选项B的方法割补，侧面积即为以底面半径为2，
高为2圆柱的侧面，,故选项C正确；
对于选项D：利用椭圆的面积公式：，故选项D正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则=______．
【答案】
【解析】由，平方可得，
，
两式相加得：，
故答案为：.
13. 如图，已知在中，，，，是线段上的动点，、是线段上的动点（在的右侧），且四边形是正方形，则线段长度的最小值是______．
【答案】
【解析】在中，，，，
由余弦定理可得，
因为，则，
设，则，，，
由题意可得，即，可得，
因为，则，
在中，由余弦定理可得
，
即，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
故答案为：.
14. 已知集合，含两个元素的集合．
（1）若，则满足条件的集合A的个数为______；
（2）若，则满足条件的不同的有序数对的个数为______．（结果均要化简）
【答案】①. ②.
【解析】（1）由可得，
.
因为，所以.
又，所以有.
根据集合元素的无序性以及互异性，不妨设，则.
当时，可取2，3，4，……，，共种可能；
当时，可取3，4，……，，共种可能；
当时，可取4，……，，共种可能；
……
当时，可取，，，，，共5种可能；
当时，可取，，，共种可能；
当时，可取，共种可能.
易知1，3，5，……，，，构成了一个以1为首项，2为公差的等差数列，项数为项，
和为.
（2）由（1）知，.
因为，可知为4的整数倍.
①当为奇数时，应取2的奇数倍，
显然在，满足条件有2，6，……，，有个.
在，满足条件有1，3，5，……，，有个.
此时满足条件的不同的有序数对的个数为；
②当为2的奇数倍时，应取4的整数倍，
显然在，满足条件的有4，8，……，，有个.
在，满足条件的有2，6，……，，有个.
此时满足条件的不同的有序数对的个数为；
③当为2的偶数倍，即4的整数倍时，应取4的整数倍，且，
显然在，满足条件的有4，8，……，，有个.
在，满足条件的有4，8，……，，且，有个.
此时满足条件的不同的有序数对的个数为.
综上所述，满足条件的不同的有序数对的个数为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右：
（1）从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率；
（2）该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望.
解：（1）已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中 “不了解” 的人数为100名，
根据古典概型概率公式可得，
所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识 “不了解” 的概率.
（2）原来“不了解”的市民占比为0.1，“非常了解”的市民占比为，“一般了解”的市民占比为，
经过重点宣传后，“不了解”的市民中有转变为“一般了解”，有转变为“非常了解”，其余保持不变，
所以重点宣传后“非常了解”的概率为.
从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，因为每次抽取是相互独立的，且抽取到“非常了解”的概率都为0.6，所以，
根据二项分布的概率公式.
，
，
，
.
所以X的分布列为：
因为，根据二项分布的数学期望公式可得.
16. 已知四棱锥，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，，，AD=2，BC=1，，M是PD的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）当二面角的大小为时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．
（1）证明：如图，取的中点N，连接，又M是PD的中点，
则且，又因为，AD=2，BC=1，
所以且，所以四边形为平行四边形，故,
因为平面,平面,所以直线平面
（2）解：取的中点E，连接,因为三角形为等边三角形，
所以,且
且，所以四边形为平行四边形，,
因为，所以，所以为二面角的平面角，
所以,，所以三角形为等边三角形，
因为平面,平面，
所以平面,作于点O，因为平面，所以,
又因为平面,平面，
所以平面，如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴，
以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，
则,,
显然平面的法向量为，设直线CM与平面ABCD所成角为，
则，
故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为.
17. 已知数列和满足，，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求的值.（其中表示不大于的最大整数，如）
解：（1）由可得，且，
所以，数列是首项和公比都为的等比数列，
所以，，故，
由已知，
可得①，
当时，则有②，
①②得，解得，
也满足，
故对任意的，.
（2）因为
，
所以，
另一方面，当时，
，
所以，，
所以，，
又因为，因此，.
18. 已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求直线l的方程；
（3）过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值.
解：（1）因为抛物线：的焦点为，
所以，
所以抛物线.
（2）由题易知直线的斜率存在．设，则可得．
因为线段的中点为，所以，
所以，则的方程为，即．
（3）设抛物线切线方程为，
，即，由，可得，
，设的方程为，
联立，
，同理，
，
点到直线线的距离，所以，
令，
因为，则，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，此时.
19. 函数的定义域为，记的图象在点处的切线方程为．定义集合；集合．
（1）若，求；
（2）若，为自然对数底数（下同），求证：；
（3）若，求，并说明理由．
（1）解：因为，则，所以，，，
所以，函数在处的切线方程为，故.
（2）解：假设，则存在，使得对任意的，则有，
因为，则，所以，
所以，函数在处的切线方程为，
所以，所以，
当时，，与假设矛盾，
因此，假设不成立，即.
（3）证明：因为，则，
所以，，，
所以，在处的切线方程为，
所以，，
令，
当时，，可知当时，，因此，
，，且时，，
，
令，则，
若，则当时，，则在上单调递增，
所以，，即函数在上单调递减，
此时，矛盾；
②若，则当时，，即函数在上单调递增，
所以，即函数在上单调递减，
此时，矛盾；
③若，则当时，，
即函数在上单调递减，则，
所以函数在上单调递减，此时，矛盾；
④若，则矛盾；
⑤若，当时，，则函数在上单调递增，
所以，，则函数在上单调递增，
此时，
当时，，则函数在上单调递减，
所以，则函数在上单调递增，
此时，
当时，，而，
所以，，则函数在上单调递增，
此时，.
综上所述，.
了解情况
非常了解
一般了解
不了解
人数（名）
580
320
100
0
1
2
3
0.064
0.288
0.432
0.216