浙江省台州市2025-2026学年第一学期高二期末质量评估数学试题（试卷+解析）

这是一份浙江省台州市2025-2026学年第一学期高二期末质量评估数学试题（试卷+解析），共26页。试卷主要包含了02， 直线的倾斜角为， 设，向量，且，则满足的方程为， 设，则， 由曲线围成图形的面积为， 已知函数，则下列说法正确有等内容，欢迎下载使用。
2026.02
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 设，向量，且，则满足的方程为（ ）
A. B.
C D.
3. 设，则（ ）
A. B.
C D.
4. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则线段的长度为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
5. 在平行六面体中，已知，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯设各层球数构成一个数列，则（ ）
A. 28B. 36C. 45D. 55
7. 由曲线围成图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列说法正确有（ ）
A. 当时，在区间上单调递增
B. 当时，在上单调递增
C. 当时，是函数的极小值点
D. 当时，函数有三个零点
10. 设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（ ）
A. B. C. D.
11. 设数列为无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称为“阶递减数列”.则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为“阶递减数列”
B. 若，则为“阶递减数列”
C. 若，则为“阶递减数列”
D. 若为“阶递减数列”，则数列不存在最小值
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线的方程为_______
13. 已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点.若，且，则双曲线的离心率为__________.
14. 已知长方体中，，点是底面内的动点，点为棱上的动点，且，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的三个顶点是.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求的面积.
16. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的取值范围．
17. 已知等差数列的首项，且，数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18. 如图所示，在平面四边形中，，为等边三角形，沿将折起，设二面角的平面角为.

（1）当时，
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）求三棱锥外接球的表面积；
（2）记平面与平面的夹角为，当为何值时，取到最大值.
19. 已知圆与轴交于两点（在的右侧），与轴正半轴交于点，点是圆上的动点，过作轴，垂足为的中点为（当点经过两点时，规定点与点重合.），记的轨迹为.
（1）求曲线方程；
（2）过点的直线与曲线相交于两点，求的取值范围；
（3）当不与两点重合时，过点作的垂线交曲线于点，求面积的取值范围.
台州市2025学年第一学期高二年级期末质量评估试题
数学
2026.02
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系计算即可.
【详解】因为直线方程为，所以该直线的斜率为1，
所以该直线的倾斜角为.
故选：C.
2. 设，向量，且，则满足的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的充要条件，结合空间向量的坐标运算即可得解.
【详解】因为向量，且，
所以，即.
故选：A.
3. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复合函数导数公式直接计算可得结果.
【详解】.
故选：B.
4. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则线段的长度为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的性质即可求解．
【详解】可知抛物线的焦点为，准线方程为，
点在抛物线上，则点A到准线的距离即为AF的长，
所以．
故选：B．
5. 在平行六面体中，已知，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果.
【详解】在平行六面体中，，
.
因为，，
，
所以，即.
故选：C
6. 如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯设各层球数构成一个数列，则（ ）
A 28B. 36C. 45D. 55
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的前项和公式计算即可.
【详解】由题意可知，，
所以.
故选：B.
7. 由曲线围成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据曲线的对称性，先求得曲线在第一象限部分的面积，即可求得曲线围成的图形的面积.
【详解】令，得或；令，得或.
以代替，以代替，方程仍然成立，
所以曲线关于轴，轴，原点对称.
所以可先分析的情况.
当时，，即，
所以曲线在第一象限的部分由以为圆心，以为半径的半圆和一个三角形，及原点组成.
所以其面积为.
所以曲线围成图形的面积为.
故选：B.
8. 若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分离参数，转化为求两函数图像交点的问题，画出在区间的图像即可.
【详解】因为在区间各恰有一个零点，所以在区间各有一个解，
当时，，故可化为，
令，，则问题转化为与在各有一个交点.
设，
，
时，，
故，在单调递增，
又，所以时，，，在单调递增.
时，设，
故在上单调递增，
又，故存在使成立，
，，单调递减；，，单调递增.
又，，所以存在使成立，
，，单调递增；，，单调递减.
又,
所以大致图像如图所示，
故的取值范围为
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 当时，在区间上单调递增
B. 当时，在上单调递增
C. 当时，是函数的极小值点
D 当时，函数有三个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】求函数的导数，代入相应的的值，利用导数分析函数的单调性，逐项判断即可.
【详解】函数，定义域为.
.
当时，.
当时，，所以在区间上单调递减，所以A错误.
当时，恒成立，所以在上单调递增，所以B正确.
当时，令，则或.
所以当时，；当或时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以是函数的极小值点，所以C正确.
当时，.
所以当时，；当或时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
因为，
所以函数在上各有一个零点，共三个零点，所以D正确.
故选：BCD.
10. 设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】设两点坐标，利用点差法获得直线的斜率与线段的中点横纵坐标间的关系，逐项判断即可.
【详解】设，记AB的中点为.
则，两式相减得，.
当直线的斜率不存在时，，线段中点在轴上，没有符合的选项；
当直线的斜率为零时，，线段中点在轴上，没有符合的选项；
当直线的斜率存在且不为零，即时，设斜率为.
所以，即，即.
对于A，若作为线段中点，则，
直线的方程为，即，
由，得.
因为，
所以方程组有两解，直线与双曲线有两个交点，
即可以作为线段中点，所以A正确；
对于B，若作为线段中点，则，
直线的方程为，即，
由，得.
因为，所以方程组无解，直线与双曲线没有交点，
即不可以作为线段中点，所以B不正确；
对于C，若作为线段中点，则，
直线的方程为，即，
恰为双曲线的一条渐近线，所以与双曲线无交点，
即不可以作为线段中点，所以C不正确；
对于D，若作为线段中点，则，
直线的方程为，即，
由，得，
因为，
所以方程组有两解，直线与双曲线有两个交点，
即可以作为线段中点，所以D正确.
故选：AD.
11. 设数列为无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称为“阶递减数列”.则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为“阶递减数列”
B. 若，则为“阶递减数列”
C. 若，则为“阶递减数列”
D. 若为“阶递减数列”，则数列不存在最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据“阶递减数列”的定义逐项计算判断即可.
【详解】对于A，因为，所以为“阶递减数列”，A正确；
对于B，因为，
因为，当均为偶数时，，不满足；
当为奇数时，为偶数时，，
为奇数时，，不满足，
所以不为“阶递减数列”，B错误；
对于C，因为，
因为，所以，所以存在正整数，使得对任意，均有，
比如取可使不等式对所有n成立，所以为“阶递减数列”，C正确；
对于D，若为“阶递减数列”，则存在正整数，使得对任意，均有，
所以该数列不存在最小值，D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线的方程为_______
【答案】
【解析】
【分析】利用求导得到导函数，代入得到切线斜率，再求出切点坐标，根据点斜式写出切线方程即可.
【详解】由题意，，所以，则，
因为当时，，所以在处的切线的方程为：，即.
故答案为：.
13. 已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点.若，且，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的定义及“且”，可用表示，结合余弦定理可得的关系，从而求得双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的焦距为.
由题可知，得，所以.
因为，且，所以.
中，由余弦定理得，
所以，
化简得，所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
14. 已知长方体中，，点是底面内的动点，点为棱上的动点，且，则的最小值为__________.
【答案】8
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设出点、点坐标，根据求出点的轨迹方程，进而得到的代数式，与相加，结合某一点到两个固定点距离的最小值求解即可.
【详解】以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，， ，，.
设（底面内，，），（棱上，）.
则，，
在中，，
在中，，
因为，所以，
整理得，即点的轨迹为平面上以为圆心，2为半径的圆在底面内的部分.
.
以下部分在平面上以平面直角坐标系求解.
的最小值为平面上圆心到的距离减去半径2，
即.
所以
令，则表示平面上轴上的点到点和点的距离之和.
在平面上作关于轴的对称点，
所以的最小值即为的距离，，
即，
此时为直线与轴的交点，直线方程为：，
则，所以.
点为直线与圆在矩形内的交点.
直线：，则.
综上，，当，时，等号成立.
故答案为：8.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的三个顶点是.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）
（2）17
【解析】
【分析】（1）求出边所在直线的斜率，根据直线的点斜式方程，写出边所在直线的方程；
（2）利用两点间距离公式求边的长度，利用点到直线的距离公式求边上的高，进而求得的面积.
【小问1详解】
直线的斜率为，
所以边所在直线的方程为，即.
【小问2详解】
线段，
设为点到直线的距离，则，
.
即的面积为.
16. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的取值范围．
【答案】（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
（2）
【解析】
【分析】（1）直接求导即可解决；
（2）根据（1）所求的单调区间求解即可．
【小问1详解】
，
所以在和时，在时，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
【小问2详解】
由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以可知函数在区间上的最小值为，
函数在区间上的最大值在中取到，
，则，
因此函数在区间上的最大值为，
综上，函数在区间上的取值范围为．
17. 已知等差数列的首项，且，数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算公差，即可得的通项公式；由，可得数列是首项为1，公比为3的等比数列，并写出数列的通项公式；
（2）根据错位相减求和法可得数列的前项和.
【小问1详解】
设等差数列公差为，则由，可知，
即，解得.
则的通项公式为.
当时，，所以，
当时，，即
所以数列是首项为1，公比为3的等比数列.
所以
【小问2详解】
由（1）得，
所以①
所以②
，得，
所以，
所以.
18. 如图所示，在平面四边形中，，为等边三角形，沿将折起，设二面角的平面角为.

（1）当时，
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）求三棱锥外接球的表面积；
（2）记平面与平面的夹角为，当为何值时，取到最大值.
【答案】（1）（i）（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）可以根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，求出线面角的正弦值即可，也可根据几何体的性质，作出线面角的平面角，求出结果即可.
（ii）根据三棱锥外接球的几何性质，设出球心的坐标，根据空间中两点间的距离公式，求出球心坐标和半径，根据球的表面积公式，求出结果即可.
（2）根据面面角的向量求法，设出点的坐标，表示出面的法向量，构造函数，根据二次函数单调性，判断函数最大值，求出结果即可.
【小问1详解】
（i）（方法一）
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
过点作，如图所示建立空间直角坐标系，
则，

所以，平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
所以.
（方法二）
因为平面平面，平面平面，
取中点，连接，则，
所以平面.

连接，所以即为直线与平面所成角.
所以.
（ii）的外心为，所以可设球心坐标为，
由，可得，
解得，
所以半径，三棱锥外接球的表面积为.
【小问2详解】
如图所示，过作.
又因为，所以即为二面角的平面角
如图建立空间直角坐标系，

则，
设平面的法向量，则
即
于是，
又因为平面的法向量，
所以，
令，则
所以当时，取最小，即取到最大值，
此时.
19. 已知圆与轴交于两点（在的右侧），与轴正半轴交于点，点是圆上的动点，过作轴，垂足为的中点为（当点经过两点时，规定点与点重合.），记的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线相交于两点，求的取值范围；
（3）当不与两点重合时，过点作的垂线交曲线于点，求面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）设动点，利用点在圆上，列出有关的方程即可；
（2）当直线的斜率不存在时，直接可求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，得，由直线方程与椭圆方程联立，消去，由得，再利用根与系数的关系表示出，令，求得，进而解得的取值范围；
（3）设直线的方程为，由直线的方程与椭圆方程联立消去，由韦达定理得，由，得到，求得；进而得直线的方程为，根据，令，得利用函数即可求得的取值范围.
【小问1详解】
设，则点，由点在圆上，所以，
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
①当直线斜率不存在时，或3.
②当直线斜率存在时，设直线的方程为，设，
由题意知，
由消去，得，
由得，
由韦达定理得，
于是，
不妨令，
则，所以，
解得，且.
综合①，②可知的取值范围为.
【小问3详解】
设直线的方程为，则
由消去，得，
由韦达定理得，
因为，所以.
即.
于是
即，
化简得.
因为直线不过点，所以.
所以.
所以直线的方程为，
与椭圆方程联立得，
此时.
则，
令，则，且
因为在区间递增，所以.
因此.
所以面积的取值范围为.