广东省佛山市2026届高三下学期二模考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份广东省佛山市2026届高三下学期二模考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
2. 设向量 ，则
A. 5 B. 8 C. 15 D. 17
【答案】D
【解析】 ,.
3.等差数列 共有
A. 44 项 B. 45 项 C. 46 项 D. 47 项
【答案】C
【解析】 , .
4.函数 ,则
A. 是奇函数 B. 是周期函数
C. 的最大值为 2 D.
【答案】D
【解析】 , ,故 不是奇函数, 也不是周期函数, ,又 ,且 , .
5.在 中, ,则 的面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,
由正弦定理得 ,
,
.
6.有一组样本数据 ,由这组数据得到新样本数据 ,其中 ,则两组样本数据的数字特征不一定相同的是
A. 中位数 B. 极差 C. 平均数 D. 方差
【答案】A
【解析】设 ,则 ,
,故平均数、方差相同. 设原数据最大值、最小值分别为 ,则新数据最大值、最小值分别为 ,故极差也相同.
取 ,则原中位数为 ,
,新中位数为 不一定相同的是中位数.
7.设 是两个事件，则 “ ” 是 “ 与 互为对立事件” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不是充分条件, 也不是必要条件
【答案】B
【解析】 互为对立事件 ,
,
故 是必要条件. 反之不成立,取 ,
则 ,从而 ,
但 ,故 不互为对立事件, 该条件是必要不充分条件.
8.已知圆锥的顶点为 ,底面圆心为 分别为圆锥的母线, ,则三棱锥 体积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
为底面圆 的直径，
,点 在圆 上 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设 为复数,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】若 ,则 ,与 矛盾, A 错误; 正确; 取 ,则 ,且 ，C 错误； ，D 正确.
10.在平面直角坐标系 中,斜率为 1 的直线 交抛物线 于 两点,交 轴于点 ,则
A. B.
C. 的等差中项是 2 D. 是 的等比中项
【答案】ACD
【解析】直线 ,代入 得 ,
故 ,且 ;
又 ,故 , A 正确;
,而 , 故 ,取 ,则 , B 错误;
, C 正确; 由 且 ,得 , D 正确.
11.从分别写有 的 张卡片中不放回随机抽取 次,每次取 1 张卡片,记第 次取出卡片的数字为 ,定义 为满足 的不同情况数,则
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】记 ,固定 个位置满足 时,有 种,故由容斥原理 .
对 对.
对 ,
对.
对 ,取
, 错.
对 ,
又 ,所以 ,
令 ,得 !,
, D 对.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.随机变量 服从正态分布 ，则 ________.
【答案】0.7
【解析】 关于 对称,且 ,
13.在三棱柱 中, ,则异面直线 与 所成角的余弦值为_______.
【答案】
【解析】 .
又 ,且 平面 .
平面 .
在 中, .
又 ,故所求余弦值为 .
14.已知 分别为双曲线 的左、右焦点, 两点均在 上,且满足 ， ，则 的内切圆半径为________.
【答案】2
【解析】由 ,得 共线,且 在线段 上. 若 分居双曲线两支,则 , ,则 共线,与 矛盾. 故 同在右支.
设 ,
则由双曲线定义得 .
由余弦定理, ,
设 的半周长为 ,内切圆半径为 ,
则 .
又 . 所以 .
而 .
故 .
方法二: 三点共线,且 在线段 上, 结合双曲线定义,得出 两点均在双曲线右支上.
双曲线 .
设 的内切圆圆心为 ,与 分别相切于点 ,内切圆半径为 . 由切线长定理得到 .
在直角 中, .
.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 在一个周期内的图象如图所示， 为图象的最高点， 、 、 为图象与 轴的交点，且 为等腰直角三角形.
(1)求 的解析式，及 为偶函数时的最小正实数 ；
(2)求 的值
.
【解析】(1)
设 ,则
为等腰直角三角形
又 为相邻两个零点,而
相邻两个零点间距为
为偶函数,
的最小正实数为
(2) ，故
最高点 满足
.
16.近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型(处理、理解和生成人类语言)和多模态模型(处理、理解和生成文本、图像、音视频等)是其中两个重要的领域, 某研究机构对 2025 年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了 14 款进行标准化测试, 由测试数据得到下面的散点图:
(1)用频率估计概率，根据 2025 年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域 2026 年发布的大模型是多模态模型的概率;
( 2 ) 若 为时间变量, 为分数,根据多模态模型数据 表示 2025 年 1 月份， 表示 2025 年 6 月份，… )， 计算得 .
(i) 建立 关于 的线性回归方程;
(ii)根据语言模型的数据建立的回归方程为 ，该区域的某家企业在 2026 年 4 月发布了 1 款标准化测试得分为 68 分的大模型, 定义统计量 值越小的大模型发生的可能性越大,则该款大模型更有可能是
语言模型还是多模态模型, 并说明理由.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
【解析】( 1 )由散点图可知，抽取的 14 款大模型中，多模态模型有 6 款，
估计该区域 2026 年发布的大模型是多模态模型等概率为
(2)(i)由散点图，多模态模型对应的月份为1,6,7,8,9,11

关于 的线性回归方程为
(ii) 2026 年 4 月对应 ,
多模态模型回归方程对应的预测值
语言模型回归方程对应的预测值
该款大模型的实际得分为 68 分,
设 分别为代入多模态模型、语言模型回归方程所得的统计量,则
该款大模型更优可能是语言模型 .
17.如图,在三棱锥 中, 与 均为等边三角形, .
(1)证明: ；
(2)若点 到平面 的距离为 1，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】
(1) 均为等边三角形，且
到点 的距离分别相等
均在线段 的垂直平分面内, 在该平面内,而 该平面
(2)设 为点 到平面 的垂足，则
在 Rt 中，
由( 1 )知 ，又 平面 ， 平面 ，
平面
又 为 外接圆圆心,且 为 中点
以 为原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴, 建立空间直角坐标系,
设 ,则
设平面 的一个法向量为 ,则
设平面 的一个法向量为 ,则
设平面 与平面 夹角为 ,
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.已知函数 为 的导函数,曲线 关于点 对称.
(1)求 的值；
(2) 恒成立.
(i) 求 的值并探究 的零点个数;
(ii) 若 ,且 ,证明: .
【解析】(1) ,
关于点 对称, ,
,
,
.
(2) (i) 由 (1) 知 . 恒成立.
若 ,矛盾;
若 ,矛盾.
,此时 .
代入检验得 恒成立, .
.
令 .
令 .
当 时, 存在唯一导函数零点 ,
在 单调递增,在 单调递减,
又 时, 有两个零点 . 当 时, ,而 ,无零点.
在 上有两个零点 .
由 关于点 对称, 的零点关于 对称,
在 上只有唯一零点 .
共有 3 个零点 .
(ii) 由 (i) 知 ,在 单调递增, 在 单调递减.
关于直线 对称. 且 ,
① 当 时,令 ,
在 单调递增, ,
即 ,
且 在该区间单调递增,
,又 .
② 当 时，令 ，
,
由①知 .
又 ,
在 单调递增, .
③ 当 时,令 ,
且 单调递增, .
综上所述, .
19.椭圆的光学性质是:从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点. 已知椭圆 的左顶点为 ，点 在 上,且在 轴的上方,从 的左焦点 发出的光线 ,经过 反射后,交 于点 . 按照如下方式依次构造点 和 : 光线 经过 反射后,交 于点 : 光线 经过 反射后,交 于点 .
(1)求 的方程；
(2)设直线 的斜率为 ，求证:数列 是等比数列，并求出其公比；
(3)求证:直线 恒过定点，并求出该定点的坐标.
【解析】(1) 左顶点 ，左焦点 ，
的方程为 .
(2)由椭圆的光学性质得，光线 过定点 ，光线 过定点
设过定点 的直线交 于 ,其方程为 .
直线 过 ①
直线 过 ②
②除以①得: ，即
又 在 轴上方,
是首项为 ,公比为 9 的等比数列.
(3)由(2)知
又
设直线 交 轴于定点 ,由 (2) 同理可得
直线 恒过定点 .